学文网摘 要：点到平面距离的计算是数学学习中非常重要的一部分，这部分知识极具技巧性、灵活性，证明方法多种多样，解题思想种类繁多，因此解题难度较大。针对计算点到平面时同学们不知道该如何下手这一现象，以下对点到平面距离的求法做简单的整理。
关键词：点到平面距离；体积法；空间坐标法；平行转移法；比例转移法；直接构作法；公式法
一、点到平面距离的基本概念
从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫作这个点到这个平面的距离。这点和垂足间的线段叫作这点到平面的垂线段。其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长。点到平面的距离有如下三条性质：（1）存在性：对于任意一个平面和这个平面外任意一点都存在着距离。（2）唯一性：一个平面和平面外一点到平面间的距离是唯一的。（3）最小性：平面外一点到平面的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值。
在数学的学习中，点到平面距离的计算是非常重要的一部分，本文根据下面一道计算题，浅谈点到平面距离的计算方法。
例：如***，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点E为CC1的中点。求点D1到平面BDE的距离。
二、计算方法
1.运用体积法
运用体积法是利用三棱锥的底面与顶点的转换性，将点到平面的距离转化为求三棱锥的高的一种方法。等体积变换求点面距离，优点是不用考虑垂线段的垂足位置，但计算量有时很大，计算时要细心。其步骤是：先找出一个相关的四面体，求它的体积，再求出所求点对面的那个平面的面积。即：***形体积面积结论。
2.空间坐标法
空间坐标法是几乎适用于所有计算点到平面距离的一种方法，这种方法要求我们有较高的计算能力。其步骤是：先建立空间直角坐标系，相关点用坐标表示，求出目标平面的法向量，再找一条过目标点的斜线段，用内积公式求出它和法向量所成的角，最后求出距离。即：建坐标系坐标化法向量斜线段算夹角求距离。
3.平行转移法
平行转移法的思想是，当难以直接找到已知点在平面内的射影时，可过此点作已知平面的平行线，因为一条直线和一个平面平行，则这条直线到这个平面的距离，即为这条直线上任意一点到这个平面的距离，从而点面距离可通过求线面距离而求得。用这种方法的前提是能找到一条过目标点且与目标平面平行的直线，即为目标点设计一条逃跑通道，且在这条通道上能找到一个好的点。步骤是，先找一条过目标点平行于目标平面的直线，可以使目标点在直线上移动，然后找到一个适当的位置作目标平面的垂线。即：找线找点作垂线算距离。具体做法如下：
设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1两底面的中心分别为O，O1，因为D1B1∥平面DBE，则只需求出点O1到平面BDE的距离。连接EO，过O1作O1HOE，垂足为H，则O1H平面DBE，O1H即为点O1到平面BDE的距离。
4.比例转移法
难以直接找到已知点在平面上的射影，但存在过此点的平面的斜线，利用斜线上任意一点到平面的射影都落在斜线在平面内的射影上，且这些垂线段互相平行、垂线段长度与斜线段长度成比例这一性质，将所求点到平面距离，转化为此点所在斜线上一特殊点到已知平面的距离。步骤是，先找过目标点作目标平面的一条斜线段，然后找到一个适当的位置作目标平面的垂线。即找线找点画垂线算距离。
连接B、D1，再连接O和BD1的中点P。连接PO、PE、EO，过P做PH垂直OE于H。
由斜线上任意一点到平面的射影都落在斜线在平面内的射影上，且这些垂线段互相平行、垂线段长度与斜线段长度成比例，得PH等于点D1到平面BDE距离的一半。
5.直接构作法
直接构作法是根据点到平面的定义，求解的关键是充分利用***形的性质，确定垂足的位置。步骤是，先找过目标点，且与目标平面垂直的平面，然后过目标点作这个平面和目标平面交线的垂线。即：找垂面作垂线算距离。
6.运用公式法
运用公式法是建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标。运用点到平面的距离公式即可求出距离。其步骤为，先建立一个空间直角坐标系，确定各个点的坐标，算出平面方程，最后带入公式。即：建坐标系定坐标定方程代公式得结论。
三、方法总结
求点到平面的距离的常用方法有：
1.运用体积法
将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的体积及高所对的底面面积，则可求出点到平面的距离；点到平面距离是空间距离的一种，用定义法求点到平面的距离时，很多同学苦于确定点在平面内的射影，这种等体积法不用确定点在平面内的射影，即不作高就可求出点到平面距离的方法――等体积法：转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离。方法快而简洁。这种方法由于证明简单，故为常用良法。
2.空间坐标法
求点到平面的距离，传统方法是利用面面垂直的性质定理或者三垂线定理作出点到平面内的射影，其难度在于垂足位置的确定。而利用向量法求距离则可以降低这一难点，其基本方法是建立空间直角坐标系，利用解方程组的方法求解；这种方法求向量在平面上的法向量的射影长即可。引进空间向量以后，若能建立空间直角坐标系，求点到平面的距离似乎比以前更容易了，所以，学生们遇到立体几何题动不动就用向量方法做，固然向量方法简单，但一味地追求一种方法，不仅使学生的思维僵化，而且会淡化后面很多的概念学习与掌握。
3.平行转移法
在立体几何中，求距离是热点的问题，求距离关键在于找出距离或者作出距离，这又是难点也是容易出错的地方。实际上，在立体几何中，点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离是可以相互转化的。若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离。
4.比例转移法
此方法利用斜线上任意一点到平面的射影都落在斜线在平面内的射影上，且这些垂线段互相平行、垂线段长度与斜线段长度成比例这一性质，将所求点到平面距离，转化为此点所在斜线上一特殊点到已知平面的距离。在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离，即为点到平面的距离。
5.直接构作法
过平面外一点找（作或证）这个平面的垂直平面，则点到平面的距离转化为点到交线的距离，过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离。即：找垂面作垂线算距离。这种方法简单，但是要找出垂面不是一件容易的事，这也是用垂面方法解题的难点所在。
6.公式法
建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标，此方法也是运用向量的方法，把几何问题完全转化为代数问题，方法快捷而且有效，运用点到平面的距离公式即可求出距离。其步骤为，先建立一个空间直角坐标系，确定各个点的坐标，算出平面方程，最后带入公式。即：建坐标系定坐标定方程代公式得结论。
其关系可由下面的***2表示：
点到平面距离的求法作出距离直接构作法平行转移法比例转移法？摇不作出距离空间坐标法运用体积法应用公式法？摇
总之，点到平面距离的计算方法多种多样，这部分知识具有技巧性、灵活性，思路多，因此难度大，针对这种题应该选好思路，这才是最重要的。
参考文献：
1.梁俊忠.例说点到平面的解法.数理化学习：高中版，2007（22）.
2.田宝运，王秀珍.浅说点到平面的求法.数理化学习：高中版，2004（04）.
3.吴文尧.中学数学教学参考，2010.3.
（作者单位：广西梧州市塘源66号梧州市第十中学）
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