学文网解分式方程最常用的方法是去分母法,把分式方程化为整式方程,以之求解的过程,但在一些具体方程中,若用去分母的方法,其未知数的次数会增大,运算复杂,计算量加大,易出现错误,因此要善于观察具体方程的特点,对一些特殊分式方程,采用特殊方法,会简化解题过程。解分式方程的方法很多,怎样选择合适的方法去解,从而简化运算呢?下面结合一些例题,向同学们介绍一些解法技巧。
1.因式分解法
因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式,从而简化解题过程。
例4.
解将各分式的分子、分母分解因式,得
检验知,它们都是原方程的根。所以,原方程的根为x1=-1,x2=0。
2.拆项法
拆项法就是根据分式方程的特点,将组成分式方程的各项或部分项拆项,然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是,用此法解分式方程很少有增根现象。
例3.解方程
3.换元法
换元法就是恰当地利用换元,将复杂的分式简单化。为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程。
分析 本方程若去分母,则原方程会变成高次方程,很难求出方程的
解设x2+x=y,原方程可变形为。解这个方程,得y1=-2,y2=1。当y=-2时,x2+x=-2。
Δ
;经检验,是原方程的根,所以原方程的根是。
4.一般法
去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根.产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.
例1.解方程.(2006年・临安市中考题)
分析:在解分式方程的时候,要把分式方程变为整式方程。原方程的两边都要乘最简公分母,在找最简公分母的时候要先把分式方程变形。
解:去分母得2x-5=3(2x-1),即 2x-5=6x-3。
解之得x=-
检验:当x=-时,最简公分母2x-1≠0。
所以x=-是原方程的解。
评注:在解这个分式方程时一定要注意,方程等号右边的常数3也必须乘最简公分母。
6.配方法
配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边,再把左边配成一个完全平方式,进而可以用直接开平方法求解。
解这个方程,得x=±5,或x=±1。
检验知,它们都是原方程的根。所以,原方程的根是x1=5,x2=-5,x3=1,x4=-1。
7.运用各自通分法
例7.解方程:
。
分析:此方程如果直接去分母,得一元三次方程,不易解答。观察此方程可以发现,分子均相同,分母按大小排列依次相差2,所以此方程可采用特殊的方法来解。
解:移项,得:
方程两边通分,得:
方程的两边同乘(y-2)(y-4)(y-6)(y-8),得:-2(y-6)(y-8)=-2(y-2)(y-4)
即y2-14y+48=y2-6y+8
解之得y=5
经检验:y=5是原方程的解
原方程的解是y=5。
总之,解分式方程要看清分式方程的特点,采用灵活的方式把分式方程转化为整式方程,在求出整式方程的解之后不要忘记检验。检验的方法有两种:一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验;另一种是把求得的未知数的值代入分式的最简公分母进行检验。
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