三角换元是以三角公式为依托,利用三角函数的性质实现解题的方法;合理的三角换元,能化繁为简、化难为易、化曲为直;本文以部分高考题、高中数学竞赛题为例,谈谈三角换元在数学解题中的应用,供高中师生教学时参考。
一、求最值
例1 求函数f(x)= + 的最大值和最小值。(2013年江西高中数学联赛题)
分析:此题考查的是形如y= + 的无理函数最值的求法,它是高中数学的一个难点内容,充分利用好三角换元,会使求解过程快捷。
解:因为3x-6≥0,3-x≥0,所以可求出函数f(x)= + 的定义域为[2,3],从而可设x=2+sin2θ(0≤θ≤ ),故可设f(x)= + = + = sinθ+cosθ=2sin(θ+ ),而 ≤θ+ ≤ ,这时 ≤sin(θ+ )≤1,所以1≤f(x)≤2,故此函数f(x)的最大值为2,最小值为1。
评注:解此题的关键是通过三角换元把无理函数转化为三角函数,试题别具特色,精致小巧,能较好地考查学生的数学思维水平。上述解法简洁明快,自然流畅。
变式一:设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值为_________。(2011年浙江省数学高考理科试题)
解:现将4x2+y2+xy=1,配方得(y+ )2+( x)2=1,再令y+ =sinθ, x=cosθ(θ∈R),
即x= cosθ,y=sinθ- cosθ,从而得2x+y= cosθ+sinθ- cosθ= cosθ+sinθ= sin(θ+φ),故- ≤2x+y≤ ,即2x+y的最大值为 。
变式二:设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为__________。(2014年陕西省数学高考理科试题第15题)
分析:根据题设结构,可利用三角换元。
解:由a2+b2=5,设a= sinθ,b= cosθ,则ma+nb=m sinθ+n cosθ= sin(θ+φ)=5,所以 sin(θ+φ)= ≤ ,所以 的最小值为 。
二、求解不等式
例2 解不等式 - > 。(第四届IMO试题)
解:由-1≤x≤3,得0≤ ≤1,由sin2θ+cos2θ=1,知可设 =cos2θ,θ∈[0, ],
于是原不等式等价于sinθ-cosθ> ,sin2θ+cos2θ=1,即32cos2θ+8cosθ-15
评析:本题应用三角换元求解无理不等式,不仅减少了计算量,而且思维自然,解法流畅,思维流程创新,对学生的解题能力,大有益处。
变式一:已知x,y,z∈R+,且xyz+x+z-y=0,求证: + +
解:由y= ,tan(α+β)= ,可设x=tanα,z=tanβ,(0
2[cos2α+cos2β+cos2(α+β)]
三、求解方程(组)
例3 解方程x +y =xy。
解:由 ≥0, ≥0,知x≥1,y≥1,
由1+tan2θ=sec2θ,可设x=sec2α,y=sec2β,(0≤α,β< )
则原方程变形为sin2α+sin2β=2,
又sin2α≤1,sin2β≤1,
所以sin2α=1,sin2β=1,即α=β= ,
故有x=y=2。
以上是比较典型的三角换元题目,考题简洁,原生形态,看似平常,实乃新奇,构思精巧,意境高远,有着良好的考查检测功能和较强的命题导向功效,这种代换思想符合新课标改革的理念精神,利于学生融会贯通课本知识,利于启迪学生思维、拓宽知识视野,提高学生分析问题和解决实际问题的能力。
(作者单位:广西桂林市第十八中学)