学文网对于一些复杂的反三角函数问题，如果我们采用普通的三角方法，很难求解.但是，如果我们采用复数法，将反三角函数转化为复数的辐角主值再求解，既方便省事又简化了运算.
一、复数辐角主值与其他反三角函数的关系
z1=arctanyx；（-∞，+∞）；（-π2，π2）；
z2=arcsinyx2+y2；[-1，1]；[-π2，π2].
z3=arccosxx2+y2；[-1，1]；[0，π]；
z4=arccotxy；（-∞，+∞）；[0，π].
复数辐角主值与其他反三角函数的关系如下表：
象限
关系第一象限
x>0，y>0第二象限
x0第三象限
x
x>0，y
z1与argzargz=z1argz=z1+πargz=z1-πargz=z1
z2与argzargz=z2argz=z2+πargz=z2-πargz=z2
z3与argzargz=z3argz=z3argz=-z3argz=-z3
z4与argzargz=z4argz=z4argz=z4-πargz=z4-π
轴向
关系x轴正半轴
x>0，y=0y轴正半轴
x=0，y>0x轴负半轴
x
x=0，y
z1与argzargz=z1=0z1不存在argz=z1+π=πz1不存在
z2与argzargz=z2=0argz=z2=π2argz=z2+π=πargz=z2=-π2
z3与argzargz=z3=0argz=z3=π2argz=z3=πargz=-z3=-π2
z4与argzz4不存在argz=z4=π2z4不存在argz=-z4=-π2
二、应用
1.巧解反三角问题
例1计算arctanx+arctan1-x1+x（x
解：x
-π2
-π
arctan（-x）+arctanx-1x+1
=arg（1-xi）+arg[（x+1）+（x-1）i]
=arg（1-xi）[（x+1）+（x-1）i]
=arg[（x2+1）-（x2+1）i]
=-π4.
arctanx+arctan1-x1+x=π4.
2.求角问题
例2若α，β为锐角，tanα=17，sinβ=110，
试证：α+2β=45°.
证明：α，β为锐角tanα=17，sinβ=110，
又α+2β=arg[（7+i）（3+i）2]
=arg（50+50i）=arg[502（cosπ4+isinπ4）]，
α+2β=π4=45°.
3.求解反三角函数的证明题
例3已知a2+b2=c2，
arcsin1a+arcsin1b=π2（a≠0且b≠0），求证：ab=c.
证明：arcsin1a+arcsin1b
=arc（a2-1+i）+arg（b2-1+i）
=arg[（a2-1）（b2-1）-1+（a2-1+b2-1）i]
=π2.
（a2-1）（b2-1）=1，即a2b2=a2+b2.
又a2+b2=c2，
ab=c.
综上所述，在解决复杂的反三角问题时，如果不能直接求解，可将它转化为复数辐角问题，或可收到意想不到的效果.
参考文献
钟玉泉.复变函数论.北京：高等教育出版社，2013.
李中恢.复数法在三角问题中的应用.南昌：南昌高专学报，2008（4）.
张建忠.复数辐角与反三角函数.甘肃：数学教学研究，1999（1）.
李中恢.复数法在平面几何中的应用.宁波：宁波教育学院学报，2006（4）.
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