学文网循环小数篇1
纯循环小数指的是从小数部分第一位开始的循环小数，亦就是在纯小数的基础上变成循环小数。纯循环小数是从十分位开始循环的小数，如0.33333333...(1/3)，0.1428571428571....(1/7)等。
混循环小数是指不是第一位开始循环的小数,如0.1666666666...(1/6),0.009090909....(1/110)等。
（来源：文章屋网 ）
循环小数篇2
混循环小数是指不是第一位开始循环的小数。一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
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循环小数篇3
关键词：分数；有理数；无理数；循环小数
中***分类号：G620 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）01-0169-01
无限小数包括两大类：（一）无限不循环小数；（二）无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢？因为所有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数．
一、循环小数如何成分数
【案例1】：把下面小数化成分数
0. 6. 0. 0.2
凭经验我们知道0.可以化为，6.可以化为6，可0.,0.2呢？
下面我们就谈谈循环小数如何成分数：
【案例2】：求0.7，0.77，0.777，0.7777，……的通向公式？
我们知道上式的通向公式为：(1-)（n∈N*）(1)
当n无限增大时=0 （1）式可化为：
案例2的最后一个数可看为0.
0.=
同理可证得0.=，0.2=。
综上所述，n位纯循环小数（X）化分数可表示为： X=(n∈N+且n≥1，x表示X的循环节小数部分，9…9表示按一个循环节的位数写几个9）
二、循环小数化分数的应用
【案例3】：把下列小数化成分数：
5.，3.，0.4，7.2
解：5.=5+0.=5
3.=3+0.=3
0.4=0.4+0.1×0.=+×=
7.2=7+0.2+0.0=
如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数。混循环小数化为分数的方法是：把小数分解为整数部分、不循环小数部分、循环小数部分，然后运用上述方法。
【案例4】：在计算一个正数乘以3.5的运算时，某同学误将错3.5写作3.57，结果与正确答案相差1.4．则正确的乘积结果是______．
解：设这个正数为x，依题意得
3.5x-3.57=1.4
因为3.5=3+=3
所以上述方程可化为3x-3x=1.4
解得x=180．
所以正确的乘积结果应为
3.5×180=×180=644
循环小数篇4
[关键词]循环小数；课堂教学；逻辑思维能力
《小学数学课程标准》提倡“既要让每个学生获得最基础的数学知识，又要着重培养学生逻辑思维能力和创新精神”。因此，培养学生具有初步的逻辑思维能力，是小学数学教学中的一项重要任务。在多年的小学数学教学实践中，笔者探索出了一些帮助学生逻辑思维能力提高的方法。下面，笔者就谈谈自己在“循环小数”教学中培养学生的逻辑思维能力的几点做法。
一、计算，感知循环小数
教师可先让学生分组计算下列五道除法算式：
10÷3=，13÷7=，70.7÷33.4=, 43÷9=, 112.7÷111=
然后，教师引导学生观察余数和商的规律，从而判断：除到被除数的最后一个有效数字后，如果余数依次不断地重复出现，商的小数部分也必须有数字依次不断地重复出现。这样的商就是循环小数。
二、抽象概括循环小数的意义
首先，让学生认识循环小数是无限小数。
1.观察：这些商的小数位数有多少？（无限多）小数部分位数是无限的小数叫做无限小数，循环小数是无限小数。
2.引导学生用学过的小数同这些商比较，如：0.5、9.7、23.508等，小数部分位数有什么特征？可以叫做什么小数？
3.3.1415926……同这些商比较，它是不是循环小数？从而看出无限小数又有两种情况 ：（无限）循环小数和无限不循环小数。
接着，教师重点引导学生自己概括循环小数的意义。
1.引导学生观察、比较。前面让学生认识了这些商的共同特征，即小数部分都有数字依次不断地重复出现，都是循环小数。让学生再来比较它们还有什么不同的地方？（学生回答，教师板书）
（1）依次不断地重复出现的数字，有几个？（一个、两个、三个……概括为：一个数字或者几个数字）
（2）依次不断地重复出现的数字，是从哪一位起？（从十分位起，从百分位起……概括为：从某一位起）
2.引起学生做抽象概括，让学生对这些商共同点和不同点进行综合分析，从而抽象、概括出循环小数的意义。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的数叫循环小数。
最后，引导学生用观察、比较、谈话、启发的方法学习循环节、循环小数的分类及简写。
三、组织练习，巩固和深化循环小数的意义
为了使练习起到加强基础、发展学生的智力和培养学生的逻辑思维能力的作用，特设计下列层次性练习。
1.判断下列各小数是不是循环小数，是纯循环小数还是混循环小数，指出循环节，并简写。
0.88……、4.066……、10.383838……、5.71907190……、0.333033003……、49.4949……、18.732626……、72.07272……、3.33030……、0.00707……、0.0601601……、25.733733……、2.3324324……
2.取下面各循环小数的近似值（先保留两位小数，再保留三位小数）。
4.94、0.5、11.07、0.90
3.比较下面三个数的大小。
7.7、7.8、7.76
4.判断下面的化简形式对不对，并分析原因。如：1.40=1.4、0.26300=0.263
循环小数篇5
大多数同学都认为是无理数. 一位同学说：“小学里常把 i 看作，既然 i 是无理数，那么也应为无理数. “不一会儿，又有同学发言：“我用22除以7，计算到它小数部分的较多位，都没有发现循环节，而‘无限不循环小数’就是无理数，所以为无理数.”有的同学对他的发言表示赞同.随即有同学反驳道：“如果一个数是无理数，那么它就一定不能写成分数形式，而就是一个分数，所以它一定是有理数.”教室里顿时安静下来，大家都觉得几位同学都说得挺有道理的.可是它究竟是有理数还是无理数呢？于是，大家都用期待的目光看着老师，老师笑而不语，在黑板上和大家一起演算起来. 看着黑板上一串串密密麻麻的数字，大家似乎发现了： = 3.142857. 哇！这么长的循环节！难怪多数同学把错看为无理数！
思考与实验我看着黑板上的这个循环小数，心想：142857，好熟悉的数字！好像挺面熟的.我记得 = 0.142857.难道这个长长的循环节跟分母“7”有关？我带着好奇回到家，并开始做实验：
= 0.142857， = 0.285714， = 0.428571，……；
= 1.142857， = 1.285714， = 1.428571，……；
= 2.142857， = 2.285714， = 2.428571，……
发现与反思从上述式子可看出，它们的循环节始终有“1、4、2、8、5、7”这几个数字，且排列的顺序也有规律.我想“7”一定是一个有趣的数字！我继续研究下去，希望能找到其中的“宝藏”. 于是我发现：
1×7 = 7，的循环节的最后一位数字就是7与整数部分的0之和7；
2×7 = 14，的循环节的最后一位数字就是4与整数部分的0之和4；
3×7 = 21，的循环节的最后一位数字就是1与整数部分的0之和1；
……
8×7 = 56，的循环节的最后一位数字就是6与整数部分的1之和7；
9×7 = 63，的循环节的最后一位数字就是3与整数部分的1之和4；
10×7 = 70，的循环节的最后一位数字就是0与整数部分的1之和1；
……
15×7 = 105，的循环节的最后一位数字就是5与整数部分的2之和7；
16×7 = 112，的循环节的最后一位数字就是2与整数部分的2之和4；
17×7 = 119，的循环节的最后一位数字就是9与整数部分的2之和的个位数1；
……
循环小数篇6
关键词：C语言，循环结构，for
循环结构式结构化程序设计的三种基本结构之一，应用相当广泛，利用循环结构来处理各种重复操作，既简单，又方便。C语言提供了三种用于实现循环结构的语句，while、do~while和for语句，其中，前两个语句又被称为条件循环，也就是根据条件来决定是否继续循环，后一个语句又被称为计数循环，即就是根据设定的次数来执行循环。由于for语句的功能最强，使用也最为灵活方便，在这我们就主要探讨一下for语句的应用。
1、for语句的一般形式
for（表达式1；表达式2；表达式3）
循环体语句
其执行过程采用流程***1-1来表示。
（1）求解表达式1
（2）求解表达式2，若表达式2的值为真（非0），则执行循环体语句，然后执行第（3）步。若表达式2的值为假（0），则退出循环，执行第（4）步。
（3）求解表达式3，返回第（2）步继续执行。
（4）循环结束，执行for语句的后续语句。
既然for语句是用来实现循环结构，那么它就必须包含循环结构的三个基本要素，第一，循环变量赋初化，用于在循环开始前为循环变量设置初始值。第二，循环控制条件，用于控制循环执行的条件，决定循环的次数。第三，循环变量增值，用于修改循环变量，使得循环能够趋于结束。这三要素通常是由表达式1，表达式2，表达式3分别给出。所以for语句的一般形式也可以表示成如下形式：
for（循环变量初始化；循环控制条件；循环变量增值）
循环体语句
例1： 计算sum=1+2+3+……+99+100。
分析：这是一个典型的累加问题，它的重复操作就是加法运算，由于每一项加数都是呈规律性的变化，所以可以把加数作为循环变量，初值为1，进行完一次加法运算后，自增一次，一直变化到100。对于被加数而言，它既是被加数，又要存放累加和，所以在使用前需要清0。
程序：
#include <stdio.h>
void main()
{int sum=0,i;
for(i=1;i<=100;i++)
sum+=i;
printf(“sum=%d ”,sum);
}
2、for语句的变形
for语句的灵活多变，主要体现在3个表达式上，一般情况下，三个表达式用来给出循环的三个基本要素，但这三个表达式也可以是与三要素无关的任意表达式，也可以进行任意表达式的省略，在省略表达式时，表达式与表达式之间的“；”绝对不能省。免费论文。下面就来具体看一下for语句的几种变化形式。
（1）省略表达式1。
省略表达式1，即就是省略了循环变量初始化的语句，根据for语句的执行流，那么就需要在求解表达式2之前完成对循环变量初始化语句的添加。
i=1;
for( ;i<=100;i++)
sum+=i;
（2）省略表达式2。
省略表达式2，即就是省略了循环的控制条件，那么循环控制条件始终为真，这就使得循环陷入到死循环中，所以同样根据for语句的执行流，需要在执行循环体语句之前完成对循环控制条件的添加。
for(i=1; ;i++)
if(i<=100) sum+=i;
else break;
说明：break用在跳出所在的循环体，即提前结束循环。
（3）省略表达式3。
省略表达式3，即就是省略了循环变量增值，那么循环变量始终不发生变化，也就无法使得循环趋于结束，同样会使循环陷入到死循环中，所以需要在执行完循环体语句后添加修改循环变量的语句。
for(i=1;i<=100; )
sum+=i;
i++
（4）其它形式。
i=1;
for(sum=0;i<=100;sum+=i,i++)
;
这里貌似表达式1、2、3都在，但是仔细观察可以看出，表达式1跟循环变量初始化并无关系，实际上相当于是缺省了表达式1的情况。表达式3是一个逗号表达式，不光完成了修改循环变量，还将循环体语句也放在这里进行求解，因此for后面的“；”必须有，这说明循环体语句为空，若缺少这个分号，程序在执行的过程中会错误把循环结构的后续语句作为循环体语句反复执行。
从上面介绍可以看出，for语句使用起来非常灵活，变化形式多样，可以把循环体和一些与循环控制无关的操作放在表达式1或表达式3中完成，使得程序变得短小简洁，但若过分的利用这一特点又会使for语句显得杂乱，降低程序的可读性，所以建议大家最好将3个表达式就用来描述循环的三个基本要素，而与循环三要素无关的语句，放在其它位置进行处理。
3、常见问题的处理。
学生在初学循环结构时，往往不太清楚在什么情况下该用循环结构以及如何用好循环结构，现将教学中常见的需要用循环结构来解决的问题归纳出来，并给出这些问题的编程思路。
第一类题：数值计算题如：
（1）求累加和1+2+3+……+99+100问题；
（2）求阶乘n！=1×2×3×4×……×n问题；
（3）求1！+2！+3！+4！+……+ n！；
（4）求11+22+33+……+nn；
（5）利用公式……；求
直到最后一项的绝对值小于10-6；等等这些类似多个数据加减乘除的问题，数据之间有一定的规律，一般是每个参与运算的数值或与前一个数值有关、或与相号有关，这类问题可以按照以下方法编程实现：
首先找出循环的三个基本要素。其次给出关键步骤，也就是他的重复操作部分。第三就是根据关键步骤里涉及到的变量，该定义的定义，该赋初值的赋初值。最后输出结果。
按照这样的方式，以（5）为例，进行说明。
第一步：循环变量i的初值为1，循环控制条件是最后一项的绝对值小于10-6，设t为下一个运算数，则循环控制条件就为fabs(t)>=1e-6。免费论文。循环变量增值，i=i+2。
第二步：设sum既是被加数，又用来存放结果。进行一次累加后，就需要求解下一项加数t， sum=sum+t；s=-s；t=s/(i+2)；循环体语句数目超过一条，所以用一对{}括起，使其在逻辑结构上成为一条语句。
第三步：对使用到的变量进行定义，需要赋值的赋值，最后输出结果。若在程序中使用到了库函数，就将该库函数所对的头文件包含进来。
程序如下：
#include <math.h>
#include <stdio.h>
void main()
{int i,s=1;
float sum=0,t=1;
for(i=1;fabs(t)>=1e-6;i=i+2)
{sum=sum+t;
s=-s;
t=s/(i+2.0)
}
printf(“sum=%f ”,sum*4);
}
第二类题：枚举题，如：（1）输入一串字符，分别统计其中的数字、字符、大写字母、小写字母和空格的个数；（2）输出所有的水仙花数（水仙花数是指3位数的各位数字的立方和等于这个3位数本身）；（3）找出1000以内所有的完数（完数是其值恰好等于其因子之和的数）；（4）求100以内所有的素数等等；这类题循环体中要用到条件判断语句（即选择语句），找出一个范围内的所有数据，判断这些数据是否符合某些条件，若符合这些条件则输出。
第三类题：作***题，如：输出菱形***、输出杨辉三角、输出九九乘法表等。这类题要用二重循环，其中外层循环用于控制有多少行，内层循环用于控制有多少列。
第四类题：排序题，如冒泡排序、选择排序等，一般也要用到二重循环。
第五类题：查找题，如对有序数列的折半查找和对无序数列的顺序查找。
第六类题：可以用递归解决的问题，如求n！、求菲波拉契数列、求Xn等等。一般是将大数化小数，如求n！问题变为求（n-1）！的问题。
第七类题：有关矩阵的问题，如：（1）求矩阵各元素的和（或积）；（2）求矩阵对角线的和（或积）；（3）求矩阵两条对角线的和（或积），要求不能重复相加（或相乘）；（4）输出矩阵中的最大（或最小）元素值；（5）输出两个矩阵相乘的结果等问题。涉及到矩阵的编程，一定要用二维数组。
第八类题：可以用迭代法求解的题目。
上述8类是常见的需要用循环结构编程解决的问题，通过把这些问题归纳出来并给出了一般的编程思路，学生对于“什么情况下用循环？”以及“如何实现循环？”会有清晰的了解。
4、小结
循环结构在程序设计中被广泛的使用，而for语句又是使用最为灵活的用于实现循环结构的控制语句。免费论文。对于初学者在学习过程中，应该对问题多做分析，同时通过上机练习，熟练掌握for语句的使用。
[1]谭浩强. C程序设计（第三版）[M]. 北京：清华大学出版社. 2005
[2]杨路明. C语言程序设计[M]. 北京：北京邮电大学出版社. 2003
[3]黄维通，马力妮. C语言程序设计[M]. 北京：清华大学出版社. 2003
循环小数篇7
【关键词】卡普列加数；卡氏甲数；卡氏乙数；广义卡普列加数；循环数符号
如果既约真分数ba（分母a不含2及5的素因数）是一个可化为纯循环小数的分数，例如，59=0.5・，5[]11=0.4・5・，9[]11=0.8・1・，1[]7=0.1・42857・，那么5，45，81，142857等循环数与“卡普列加数”有关系吗？首先，我们来看“卡普列加数”的有关定义：
定义1 取一个任意自然数M，将其平方M2切为两半，并求其和M′.若M′=M，则M即为二阶卡普列加数或二阶卡氏甲数（简称卡氏甲数），M2的运算结果称为卡普列加平方数或二阶卡氏乙数（简称卡氏乙数）.
定义2 若（x）n或[x]n（x为正整数）表示把x重写n遍并串联在一起的n重数，则由重复数x组成的卡氏甲数[x]n称为以x为底数的n重卡氏甲数（简称n重卡氏甲数）.例如：
[（81）3]2=8181812=669420|148761，M′=669420+148761=818181=（81）3.
（为了说明方便起见，在中间插入一个竖记号|，表示前半部分与后半部分的界限）
显然，遵循“定义1”的思路，可以把“二阶卡氏甲数”推广到“三阶卡氏甲数”“四阶卡氏甲数”……（也叫作广义卡普列加数）.例如：
[（81）8]3=5477084898572500|2351615326821940|0353117956423741，
M′=5477084898572500+2351615326821940+0353117956423741=（81）8，
[（5）2]4=554=09|15|06|25，M′=09+15+06+25=55，
其中（81）8，55分别称为三阶、四阶卡氏甲数，[（81）8]3，554的结果分别称为三阶、四阶卡氏乙数.
其次，我们先来研究二阶卡氏甲数的求法.
巧求二阶卡氏甲数
如何求纯循环小数中以循环数为底数的n重卡氏甲数呢？首先，我们探讨纯循环小数的循环数.以17为例.重复应用普通的除法可得17=0.1・42857・ 余3，2，6，4，5，1.下面列出b7（b=1，2，…，6）的余数和商：
其次，我们来求17的循环数142857的平方，并把平方的结果切成两半求和（简称循环和）：
1428572=020408│122449，020408+122449=142857.
再把循环和连续写两遍即142857142857，并把这个数分成6节（每两个数字分成一节），依次分别填入表一中的循环和中.
再次，如果循环和某一节中的两位数与对应的商的一个数字以及下一个数字组成的两位数相同，那么从这两位数开始的循环数，就是一重卡氏甲数.如表一循环和中的1・4・与对应的商数是1及下一个商数是4，那么从14开始的循环数142857就是一重卡氏甲数，并把“1”填在表一n中的对应位置.
最后，余数从“1”开始，按顺时针方向把余数1，3，2，6，4，5围成一圈（如***1），
*** 1然后从“1”开始，按逆时针方向顺序依次可得到6个数（简称反向排列）为1，5，4，6，2，3，并把后5个数依次填在表一n中的对应位置上.这样，由表一可得到另外5个卡氏甲数，如n=4对应的商数c=285714，则（285714）4就是卡氏甲数.所以，由表一可依次得到6个卡氏甲数：（142857）1、（428571）5、（285714）4、（857142）6、（571428）2、（714285）3.
由于大部分的既约真分数b[]a的循环节长度比较长，循环数书写起来很不方便，所以本文规定：循环数符号b[]aλλ表示b[]a的循环节长度表示既约真分数b[]a的最小循环数.例如，由于2[]7=0.2・85714・的循环数是285714，循环节长度为6，则循环数符号2[]7λ=6表示的数为285714，即2[]7λ=6=285714.引进了“循环数符号”后，前面所求的6个二阶卡氏甲数可以简写为：1[]7λ=6
当a-1[]2
6等都是卡氏甲数，那么如何求出它们的卡氏乙数呢？卡氏甲数与卡氏乙数有什么关系呢？我们先来研究（57）λ=63即（714285）3所对应的卡氏乙数：
经过计算，可得等式一：[（714285）3]2=510204081632653060204081632653061225.不妨，把这种表达式称为卡普列加数的一般表达式（以下同）.而2549m=18=510204 081632 653061比卡氏乙数的前半节多1，1049m=18=204081 632653 061224比卡氏乙数的后半节少1.所以等式一可简洁表达为等式二：57λ=632=2549m=6×3-11049m=6×3+1.不妨，把这种表达式称为卡普列加数的混循环数表达式（以下同）.这时混循环数表达式等价于一般表达式.如果把等式二中的前半节减去1和后半节加上1省略不写，就可得近似的等式：57λ=632=2549m=6×31049m=6×3.不妨把这种表达式称为卡普列加数的纯循环数表达式（以下同）.不难发现，近似等式左边的分数57和右边的两个分数2549，1049的关系为：57=2549+1049，即1049=57-572，而5[]7恰好是卡氏甲数57λ=63中底数中的分数.
所以，可以用下面的方法求二阶卡氏甲数（ba）λn所对应的卡氏乙数，即求baλn2的值：
（1）由ba=ba2+ba-b2a2，即ba=b2a2+ab-b2a2，可得卡普列加数的纯循环数表达式： baλn2=b2a2m=nλab-b2a2m=nλ.
（2）由（1）得卡普列加数的混循环数表达式：
baλn2=b2a2m=nλ-dab-b2a2m=nλ+1（其中1是定值，d是常数），由卡普列加数的定义知b2a2m=nλ-d+ab-b2a2m=nλ+1=baλn，再把b2a2m=nλ，ab-b2a2m=nλ，baλn展开代入这个等式，就可以确定d的值（一般d为0或1或2）.
（3）由（2）可以把卡普列加数的混循环数表达式转化为一般表达式.
例 求卡氏甲数[（47）λ=6]2所对应的卡氏乙数.
解 （1）由47=4272+7×4-4272即47=1649+1249，得纯循环数表达式：47λ=622=1649m=6×21249m=6×2.
（2）因为1649m=12=326530 012244其中1649m=12表示1649λ=42中循环数前面的12位数，以下同，（1249）m=12=244897 959183 ，47λ=62=（571428）2=571428571428.
再把上面的展开式代入等式：
1649m=12-d+1249m=12+1=47λ=62，得d=0，
所以，混循环数表达式为：（47）λ=622=1649m=121249m=12+1.
（3）由（2）即得一般表达式为
[（571428）2]2=5714285714282
=326530 612244 244897 959184.
可见，只要知道以循环数为底数的卡氏甲数，就一定可以准确地求出它对应的卡氏乙数.当然，还可以利用循环和求出三阶、四阶……n阶卡普列加数.下面给出4个广义卡普列加数的循环数表达式（其中（1）（2）等价于一般表达式，即准确表达式）：
（1）19λ=1803=1[]729m=8070[]729m=8010[]729m=80.
（2）27λ=6453=8343m=6×455343m=6×4585343m=6×45.
（3）59λ=17284=6256561m=7288436561m=72818666561m=7283116561m=728.
（4）59λ=11425=312559049m=142285459049m=142・1488959049m=142966759049m=142227059049m=142.上面，列举了三阶、四阶、五阶的卡普列加数，那么，到底卡普列加数有几阶呢？从下面的卡普列加数三角形表可以看出至少存在10阶以19的循环数1为底数的卡普列加数.
表二 卡普列加数三角形
说明 （1）此表与杨辉三角形有类似之处，杨辉三角形中间的数，等于与上一行相邻两个数的和，而卡普列加数三角形中间的数，则等于与上一行相邻两个数的差（后数减前数），每一行第一个数都是1，从第二行开始，每一行最后一个数分别是9，92，…，910的值，并且从第三行开始，以最后一个数作为前面各数的分母求和，其和都等于1[]9.如，由第三行可得等式一：181+881=19，由第四行可得等式二：1729+7729+73729=19……
（2）由第三行可得二阶卡普列加数：19λ=19+12=181λ′=90881λ′=91，这个等式中的分数就是等式一中的分数.又因为19λ=1=1，181λ′=9=012345679，881λ′=9=098765432，
所以这个等式可化为一般表达式（以下同）：1102=012345679 0 098765432 1.
同理，由第四行、第五行……第十行、第十一行分别可得下面的3阶、4阶……9阶、10阶卡普列加数：
19λ=181+13=1729λ′=8107729λ′=81073729λ′=811，
19λ=1729+14=16561λ′=729066561λ′=7290666561λ′=72906566561λ′=7291，
……
19λ=198+19=199λ′=980199λ′=980…3874204999λ′=981，
19λ=199+110=1910λ′=990（0）990…34867845910λ′=990348678440910λ′=991.
当然，由上面的等式还可以得到卡普列加数周期循环变化规律的等式（猜想），如：
19λ=181k+13=1729λ′=81k07729λ′=81k073729λ′=81k1（其中k为正整数）.
仿照表二可以看出至少存在（p+1）阶以1p（p为素数）的循环数为底数的卡普列加数.
虽然，不是所有的循环数，都可以找到卡普列加数，但大多数循环数都可以找到卡普列加数.因为卡普列加数是乘方运算中的特例，并且卡普列加数比素数多得多.当我们求出了内循环卡氏甲数（指没有出现周期变化规律的卡氏乙数所对应的卡氏甲数），那么可根据卡普列加数的周期循环变化规律，求出它的外循环卡氏甲数.下面给出卡普列加数的周期循环变化规律（猜想）：
如果baλnm（m，n是正整数，λ是循环节长度）的纯循环数表达式：
baλnm（n
例如，等价于一般表达式的纯循环数表达式：
29λ=1233=8729i=23101729i=2353729i=23，
な侨阶卡普列加数表达式，其中8729+101729+53729=29，根据周期循环变化规律可猜想：
29λ=181k+233=8729λ′=81k8729i=23101729λ′=81k101729i=2353729λ′=81k53729i=23，也是三阶卡普列加数表达式.当k=1时，上面的等式就是：
29λ=181+233=8729λ′=818729i=23101729λ′=81101729i=2353729λ′=8153729i=23，
这个等式经检验是成立的，并且是三阶卡普列加数表达式.
绝大部分的卡普列加数都可以在循环数中找到.可见，循环数与卡普列加数是息息相关的.不但卡氏甲数出现了周期性的变化规律，而且卡氏乙数也出现了周期性的变化规律.最后，让我们一起来继续探讨循环数、卡普列加数的周期现象及其他方面的应用吧！
【参考文献】
[1]谈祥柏编.数：上帝的宠物.上海：上海教育出版社.
[2]闵嗣鹤，严士健编.初等数论.北京：高等教育出版社.
循环小数篇8
关键词： G73；粗车循环；参数选择
中***分类号：TG519.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）24-0061-0
0 引言
在诸多数控加工、数控编程教材及相关文章中都有对G73指令的讲解，但是均以阐述指令格式为主，未准确讲解参数取值的依据以及参数取值在加工中带来的影响，以致学员参数选择不准确，甚至不会选取参数，使得学员编写的程序存在首次空切或过切的缺陷。本文详细分析造成首次空切或过切的原因，正确指导G73指令在加工中的应用。
1 复合形状粗车循环G73
1.1 G73指令格式
1.2 G73指令意义
准确制定G73指令功能参数，是保证G73粗车循环加工顺利运行的关键，通过对加工操作中的经验总结，理解G73参数取值的不同对切削加工具有重要的影响。该指令每次刀具进给量Δi/d，指令参数规范刀具运行的轨迹，如***1。
刀具从循环起点C点开始，快速退刀至D点，在X方向的退刀量为Δu/2+Δi，Z方向的退刀量为Δk+Δw；快速进刀到起刀点；沿轮廓形状偏移一定的数值进行第一次切削，直至终点；快速返回C点，准备第二次循环切削；如此分层切削至循环结束，快速退回循环起点。
2 教材中G73指令参数选择存在的问题
情况1，G73粗车循环指令格式不完整。指令格式应与实际使用相对应，而不仅仅是指令的参数部分。G73完整的格式应包括循环起点、指令参数以及指令对应程序段。情况2，格式完整，但讲解简单，仅说明格式的含义，未阐述格式中指令参数的选择方法。情况3，对指令参数选择有详细的讲解，但是部分概念不清晰，甚至是错误，直接导致程序运行错误。在循环点的选择中以***纸尺寸为基础，没有考虑毛坯的实际情况；对切削深度Δi和精加工余量Δu是半径值还是直径值概念模糊；对切削深度Δi和循环次数d的选择未充分结合精加工余量Δu、***纸尺寸及毛坯尺寸进行调整，防止出现首次空切或过切。
3 G73 指令参数选择分析
G73指令功能参数的选择要在完整格式的基础上，充分结合刀具情况、毛坯情况及***纸要求进行讲解，接下来本文将以实例为载体讲解G73指令参数的选择方法和注意事项，指令运行正常，避免首次空切或过切。
3.1 循环起点的选择。参数选择对应程序段G00X（α） Z（β）；对固定的程序段格式有X轴坐标值α和Z轴坐标值β两个参数。α参数的选择要以加工选择的毛坯尺寸为标准选择，而不能以***纸尺寸为标准，快速定位指令G00要求刀具定位点不能在毛坯上，因此，α参数要求大于或等于毛坯尺寸。β参数选择要进一步保证刀具定位点在毛坯以外，选择在加工毛坯起点正向2-3mm，防止刀具快速定位时与毛坯接触。毛坯尺寸Φ40×100mm，程序段可写为G00 X41.0 Z2.0；其中，α可选择40-42mm，β可选择2-3mm，参数选择过小会造成撞刀，过大会降低加工效率。
3.2 切削深度与退刀量参数选择。参数选择对应程序段G73U（Δi）W（Δk）R（d）；对固定的程序段格式有X轴总切削深度Δi、Z轴粗车总退刀量Δk和加工循环次数d三个参数。Δi参数的选择为毛坯直径减去零件最小直径差值的一半，即为半径差，Φ25直径处的Δi取值为（40-25）/2
=7.5，R14处的直径可能小于25mm，具体数值计算较为麻烦，综合考虑Δi的取值近似为7-9mm。X轴向取值Δi，加工循环次数d，每循环的切削深度为Δi/d，确定切削量，根据刀具的切削能力选择循环次数。Z轴粗车总退刀量Δk加工意义不大，仅用于退刀，为提高加工效率，取值尽量小。对***2程序段可写为G73 U8.0 W0.01 R5；X向总切削深度8mm，循环次数5次，每循环切削深度8/5=1.6mm，Z轴总退刀量0.01mm。
3.3 程序段号与精加工余量参数选择。参数选择对应程序段G73 P（ns）Q（nf）U（Δu）W（Δw）F（f）S（s）T（t）；对固定的程序段格式有起止程序段号ns和nf、X/Z方向精加工余量Δu和Δw、进给量F、转速S和刀具号T七个参数。ns要与刀具路径开始的程序段号对应，nf要与刀具路径结束的程序段号对应，ns和nf的取值按照程序段号取值要求，格式与路径中的对应关系必须保证。Δu是为保证零件尺寸和表面质量预留的加工量，为直径值，取值在0.5mm左右即可，Δw加工意义不大，在切削过程中实际的材料已经去除，因此Δw取值不必过大，0.01即可。f和s依据材料和刀具的情况进行合理取值，t取值依据刀具安装位置和对刀情况进行编写。程序段可写为G73 P10 Q20 U0.5 W0.01 F0.2 S800；程序段中编写参数t造成程序运行报警，未给刀具转换足够的空间。
3.4 首次空切或过切原因分析。首次空切或过切都是发生在第一循环，每次循环的切削量为Δi/d，且为半径值。第一循环切削后剩余的切削量为Δi（d-1）/d，加工经验总结，材料直径D1=D***纸 +Δu+2Δi（d-1）/d。对参数进行计算，（D毛坯- D1）/2为第一循环实际切削量，差值小于或等于零为首次空切，差值大于零可避免空切，差值大于刀具的切削能力造成首次过切。如***2，在Φ25直径处以上述取值分析，D***纸 =25mm，Δu=0.5mm，Δi=8.0mm，d=5，D毛坯=40mm。计算如下：
计算余下四次循环切削后尺寸为35.1、31.9、28.7、25.5。对结果分析，第一循环实际切削量0.85mm，有效避免空切，小于1.6mm，实际切削量小于每循环切削量，不会造成过切，取值合适。Δi取7.5时计算切削尺寸为37.5、34.5、31.5、28.5、25.5，Δi取9.0时计算切削尺寸为39.9、36.3、32.7、29.1、25.5。
4 结语
采用G73粗车循环编程，要结合毛坯尺寸、***纸尺寸和刀具切削能力，合理选取循环起点、切削深度、程序路径、精加工余量等指令参数，理解参数选取对加工带来的影响，控制好第一刀的切削量，防止出现首次空切或过切的缺陷，保证切削效率。
参考文献：
[1]李福运.封闭切削循环指令G73的应用与研究[J].南方金属，2013，06：52-54.
循环小数篇9
一天的数学课上，刘老师正在讲循环小数这一课，老师认真地讲着，我仔细的听着，不敢漏掉一句话。
老师问道：“20除以18的得数是多少？”
我们纷纷拿起笔来，算出结果后，我们异口同声地说道：“1。1循环。”
我仔细的看着数字，发现被除数与除数之差是2，而被除数的十位正好也是二。我便联想到：也许用一个整十数减去（前面）十位数上的数求出除数，再用原数除以所得的数，结果就是一个循环小数。
我的脑子豁然开朗了，像发现了新大陆似的，疯狂的计算着，心里充满了希望。
我想：30减去十位上的3，得27，再用原数30除以所得的数27，我一计算发现它的结果果然是一个循环小数，我又算了几个不同的数，结果也是一个循环小数。看来功夫不负有心人啊！
这下，我胸有成竹地举起了手。老师问：“焦雯晗，你有什么事？”
我站起来，说道：“老师，我发现了一个循环小数的秘密。”
“说来听听。”
“我们选择一个整十数。”
“40。”老师说。
“好。我们先用40减去它十位上的数字4，结果是36，我们再用原数40除以所得到的数36，看得数是几。”
大家都开始计算，一个同学回答道：“1。1循环。”
我又对大家说：“用一个整十数减去它十位上那个不为零的数，再用那个整十数除以所得数，结果就是一个循环小数。”
循环小数篇10
不能说小数包括分数，也不能说分数包括小数。小数由整数部分、小数部分和小数点组成。所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数。无理数为无限不循环小数。小数和分数是两个并列概念，不是从属概念，也不是同一概念。但它们有一定联系，分数都可以化成有限小数或者循环小数，反过来，有限小数或者循环小数都可以化成分数。而无限不循环小数是无理数的一种表示形式，不能化成分数。
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