学文网平面法向量是垂直于平面的一个非零向量，作为一种辅助工具，它常常被应用在立体几何问题的求解过程中，并充分体现了向量的“数”“形”功能.那么如何用平面法向量求解立体几何问题呢？首先我们要解决一个问题：怎样才能得到一个平面的法向量？
在空间直角坐标系中，根据平面中的两个不共线向量a=（x1，y1，z1）与b=（x2，y2，z2），通过四个步骤即可确定该平面的法向量.
（1） 设. 设所求的法向量为n=（x，y，z）.
（2） 列. 由a·n=0，b·n=0列出方程组x1x+y1y+z1z=0，x2x+y2y+z2z=0.
（3） 解. 用z分别表示x，y，写成如x=2z，y=9z+1这样的形式.
（4） 取. 为z取一个值，并由z的取值确定法向量n的一组坐标.为了方便运算，在取值时应尽量使x，y，z为整数.
确定了平面法向量之后，我们将探讨第二个问题：如何用平面法向量解决立体几何问题？一般来说，使用平面法向量可以解决以下三类问题.
一、求直线与平面所成的角
设a=（x1，y1，z1）为直线l的方向向量，n=（x，y，z）为平面α的法向量，只要求出a与n所成角的大小，就能确定直线l与平面α所成角的大小.
例1 已知三棱锥P-ABC，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，且AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点，求直线NS与平面CMN所成角的大小.
解： 设PA=1，以A为原点，以射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如***1所示.
因为P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M1，0，，N，0，0，S1，，0，所以=-，1，0，=，0，，=，，0.
设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则由·n=0，·n=0可得-+y=0，+=0；解得x=-z，y=- （z∈R且z≠0）.取z=-2，得n=（2，1，-2）.由***2可知，所求角为与n所成角的余角.由cos==可得=45°. 所以直线NS与平面CMN所成角的大小为90°-45°=45°.
点评： （1） 在***1中难以作出直线NS在平面CMN上的射影，但由题设可以方便地确定空间直角坐标系，求出直线NS的方向向量与平面CMN中的两个不共线向量，，故可考虑用向量法求解.
（2） 若取z=2，则n=（-2，-1，2），由***3可知此时所求角为与n所成角的补角的余角.
在使用平面法向量求解直线与平面的夹角时，应借助***形，明确所求角和平面法向量与直线方向向量所成角之间的关系.
设n1是直线的方向向量，n2为平面的法向量，当n1，n2都指向平面的同一侧时，所求角为n1，n2所成角的余角；当n1，n2指向平面的不同侧时，所求角为n1，n2所成角的补角的余角.
二、求二面角的大小
设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2）分别为平面α与平面β的法向量，只要求出向量a与b的夹角，即可得出二面角α-l-β的大小.
例2 如***4所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一矩形，且AB=2，BC=4. PA平面ABCD且PA=6. M，N分别为PB，PD的中点.Q在PC上，PQ=2QC. 试求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.
解： 如***5所示，以点A为原点，以射线AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），P（0，0，6），C（2，4，0）. 因为M，N分别为PB，PD的中点，PQ=2QC，所以M（1，0，3），N（0，2，3），Q，，2.
=（1，0，3），=（0，2，3）. 设平面AMN的一个法向量为a=（m，n，l），则由a·=0，a·=0可得m+3l=0，2n+3l=0；解得m=-3l，n=-l （l∈R且l≠0）.取l=-2，得a=（6，3，-2）.
同理，=-，-，1，=-，-，1，设平面QMN的一个法向量为b（p，q，r），则由b·=0，b·=0可得-p-q+r=0，-p-q+r=0；解得p=，q= （r∈R且r≠0）.取r=10，得b=（6，3，10）.
由***6可判断，二面角A-MN-Q的平面角等于向量a，b的夹角，故所求二面角的平面角的余弦值为cos〈a，b〉==
.
点评： （1） 在解答例2时，利用定义作出二面角A-MN-Q的平面角有一定难度，就算作出了二面角的平面角，再求二面角的大小也有困难.但由已知条件可知PA，AB，AD两两互相垂直，故易建立空间直角坐标系.当作二面角的平面角有困难或利用定义求二面角的平面角的大小有困难时，若能根据已知条件方便地建立直角坐标系，就可以考虑用向量法求解.
（2） 在例2的解答中，若取l=2，则a=（-6，-3，2）.此时，a，b的指向如***7所示，所求二面角A-MN-Q的平面角就等于向量a，b的夹角的补角.
在一般情况下，若二面角两个半平面的法向量一个指向二面角所夹那部分空间的外侧，另一个指向内侧，则二面角的大小即为两个法向量夹角的大小；若二面角两个半平面的法向量同时指向二面角所夹那部分空间的外侧或内侧，则二面角的大小是两个法向量夹角的补角的大小.
三、判定线面、面面的平行与垂直关系
根据立体几何中相关位置关系的判定定理，可通过平面法向量证明平行与垂直等关系.如由直线的方向向量与平面的法向量平行（或垂直）可判定直线与平面垂直（或平行）、由两平面的法向量平行（或垂直）可判定两平面平行（或垂直）等.
例3 如***8所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点且B1M=2，N***段A1D上且A1N=A1D.（1）证明A1D平面AMN；（2）在CD上是否存在一点L，使BL∥平面AMN？
解： 如***9所示，以点A为原点，以射线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由已知可得A（0，0，0），B（5，0，0），D（0，8，0），A1（0，0，4），M（5，2，4），N0，，.得=（5，2，4），=0，，，设平面AMN的一个法向量为n=（a，b，c），则由n·=0，n·=0可得5a+2b+4c=0，b+2c=0.取c=1，得n=（0，-2，1）.
（1） 因为=（0，8，-4）=-4n，所以A1D平面AMN.
（2） 假设存在L（x，8，0）（0≤x≤5）使BL∥平面AMN，则应有n·=0，而n·=（0，-2，1）·（x-5，8，0）=-16≠0，故不存在满足条件的点L.
点评： （1） 我们很难直接由定义或用直线与平面垂直（或平行）的判定定理来解决例3，然而根据题设中的长方体能轻松地建立起空间直角坐标系并求出各点的坐标，故宜选用向量法.从平面法向量的角度考虑，第（1）问即要证明平面AMN的法向量n与平行，第（2）问只需考虑n·=0是否成立即可.这样，求出平面法向量n就能一举二得了！
（2） 当建立直角坐标系较方便，且用传统方法证明两条直线平行或垂直有困难时，宜选用向量方法求解.当较难建立直角坐标系或建立坐标系后计算点的坐标较烦琐时，应考虑使用传统方法求解.