学文网本文作者：李植淮 李春前 孙健康 李全旺 单位：中国路桥工程有限责任公司 清华大学土木工程系 天津市宝坻区公路局
随着全国交通运输网络的发展，桥梁在保证国民经济的正常运行中担负着越来越重要的任务。只有保证桥梁结构的安全，才能保证交通运输的顺畅有序。而无论是新桥的建设，还是旧桥的安全性评估，都不可避免的涉及到一个问题——该结构在未来的服役期间，要承受的最大车辆荷载效应如何确定。桥梁结构荷载效应的不确定性主要来自车辆荷载。车流及荷载效应是一个随机过程，确定未来一段时间内车辆荷载效应的最大值要基于对该随机过程的模拟，公路桥梁车辆荷载研究课题组的做法是[1]：1)通过实际车辆调查得到车重概率模型，然后分一般运行状态和密集运行状态，分别计算车辆的荷载效应；2)利用K-S检验法对车辆荷载效应作5种分布的优度拟合检验，从而确定一天最大荷载效应的截口分布类型F(x)；3)以一天的最大荷载效应(其累计概率函数为F1(x))代表一年的最大荷载效应，设计基准期(T年)内车辆荷载效应最大值的累计概率函数FT(x)为：最后取式(1)累计概率函数的95%分位点作为基准期内车辆荷载效应的设计值。上述方法也是当前建立荷载规范的普遍做法[2]。这样做的问题在于：首先，实际车流通常难以明显区分一般运行时段和密集运行时段；其次，实测车辆荷载效应通常是多峰分布[3―4]，难以用现成的单峰概率分布模型描述；最后，用一天代替一年的荷载效应截口分布，缺乏足够的理论基础。随着动态称重系统(WIM)的广泛应用，人们获得了更多的实际车流数据，并开始研究基于WIM数据的车辆荷载模型[5―6]。利用WIM数据可以准确计算过去某段时间内桥梁发生的车辆荷载效应，然后利用极值理论预测未来桥梁荷载效应的情况[7]。基本做法是[8]：根据有限天数(N天)的实测车辆数据，统计出日最大车辆荷载效应，然后以极值I型描述其概率分布情况，得到累计概率函数F1(x)，那么设计基准期(T年)的最大荷载效应的累计概率函数，FT(x)，表示为：式(2)需要对F1(x)进行很大的外推，而在F1(x)的高分位点，统计概率分布与真实情况往往差异很大，即尾部敏感性[9―10]。认识到这一点，实践中外推的时候，人们采用了“一天代表一年”的假设。此假设由于缺乏理论依据，一直为人所诟病。而如果无法准确对式(2)进行外推，利用WIM数据进行荷载效应分析将变得毫无意义。利用GPD(GeneralizedParetoDistribution)模型，本文对荷载效应的极值进行尾部拟合，没有“一天代表一年”的假设，结果更加准确。然后利用短期实测数据对更长周期的荷载效应极值进行预测，表明改进的GPD模型能够用于车辆荷载效应的极值估计，并与规范方法进行对比，指出了当前工程实践中所采用方法存在的问题。
1极值理论和GPD模型
1.1极值理论根据极值理论[11―12]，对于随机样本{Y}12{,}nYYY，Yi为服从同一概率分布函数F(y)且相互***的随机变量。令12max{,}nnMYYY，那么，存在数列an>0和bn∈R，当n∞时，概率：其中，y>0且(u)。由式(5)可以看出，时GPD退化为指数分布；时GPD为长尾分布；时GPD为截尾分布。
1.2车辆荷载效应极值的GPD模拟对于某桥，根据WIM系统实测数据计算车流在桥上经过时产生的荷载效应。把监测时间按间隔T等分为n段，则荷载效应集合可表示为{Y}12{{},{}{}}nYYY，{}iY表示时间段[,]iittT内全部车辆荷载效应集合。令max{{}}iiXY，则新的集合12{}{,}nXXXX表示监测期间各时间段内最大荷载效应的集合。若T足够长，根据极值理论，随机变量X服从极值分布。任何概率密度函数都可以分为低尾、中间和高尾三个部分[13―14]。本研究只关注其高尾部分。根据GPD理论，当u足够大时，其高尾部分可以用GPD分布来表示，因此，在选定临界点u的情况下，随机变量X的累计概率函数可以表示为(不再区分和)：式(6)中，F(x)表示经验累计概率函数。这样，当外推到的分位点q给定时(q>F(u))，所对应的荷载效应值xq表示为：根据以上分析，只要确定了上临界点u以及参数和，就可以确定高尾部分的分布形式，然后按式(7)来估算荷载效应的极值。采用GPD极值理论确定车辆荷载效应极值的主要步骤可归纳如下：1)根据WIM监测数据，计算荷载效应。选取时间间隔T(通常取为一天)，取各T内荷载效应最大值，得到样本{}iX，i1,n，及其顺序统计量***12{,}nXXX，其中***12nXXX。2)构造经验累计概率函数F(x)，()()/(1),1iiFxFXxinin≤≤≤(8)3)确定高尾部分的数据量，即临界点u的值，并计算参数和。4)利用GPD尾部模型，按可靠性理论计算基准期内荷载效应的极值。若用FT(x)表示时间间隔T内最大荷载效应的累计概率函数，则基准期(T)内最大荷载效应的累计概率函数为：/()[()],TTTTFxFxxu(9)最后，采用与当前规范一致的标准，取FT(x)的95%分位值作为基准期内荷载效应的设计值。
2GPD模型的参数确定
2.1参数计算GPD模型采用的是顺序统计量的高尾部分。一旦选定了尾部数据量k，也就确定了参数u。对于由小到大的顺序统计量***12{,}nXXX，有：nkuX(11)参数的确定方法有多种，其中HILL估计法[15]较为常用，但由于HILL法在接近0时不太准确，不适用车辆荷载效应的情况。这里经过比较，选择Hosking和Wallis[16]推荐的公式：根据式(5)看出，参数u和确定之后，根据经验分布函数高尾部分的数据，构造散点：按回归分析，便可得到的值。
2.2MSE准则由前面分析可知，GPD模型首先面临的问题就是如何确定尾部数据量。本研究建议采用最小均方误差(MSE)准则来选择尾部数据，即：2u{u,min(MSE()bias()var())}(14)其中：bias2()表示估计的偏差，采用bootstrap重抽样法[12]计算；var()表示估计的方差。式(14)可同时得到临界值u以及参数。
2.3模型修正正如文献[13]所指出的，目前还没有稳定的方法可根据少量数据判断尾部是截尾还是长尾。而在本文的GPD模型中，车辆荷载效应统计时间间隔T通常会取为一天，WIM记录也多在一月左右，这就造成了实际可用数据量很少。依据如此少的数据，在利用最小MSE准则确定尾部数据量及参数时，会出现结果不稳定的现象，有时甚至出现截尾的现象(即参数为负值)，这显然是与实际经验不相符的。同时我们发现，当出现截尾的结果时，往往对应真实的比较接近0的情况。因此在本文中，当0时，就假定0，重新选取尾部数据，得到修正的GPD模型。
3算例及讨论
现有利用WIM系统测得的某桥梁一年的实际通行车流数据，其车辆分类及轴重、轴距统计如表1、表2所示。该桥为60m跨度的简支梁桥。首先，我们根据前30天的WIM数据还原车流状态，计算车流在桥上经过时产生的跨中弯矩；T取为一天，得到每天弯矩的最大值样本{}iX,i1,,30。在工程实践中，{}iX通常假设服从极值I型分布。如果这个假设是合理的，那么{}iX的顺序统计量*{}iX，与其经验累计概率*()iFX，便有如下关系：ln(ln(()))iiXbaFX(15)该关系如***1所示。可以清楚地看出，对于大多数样本，顺序统计量iX与ln(ln(()))iFX有明显的线性关系，如***1中虚线所示。但是，高尾部分最大的几个样本点很明显偏离开了该虚线，表明高尾部分虽然也呈线性关系，但却与主体部分不同，应当用不同的分布参数进行描述。实践中的做法是采用一个极值分布来反映全部数据的分布特征，如***1中实线所示，显然是不够准确的。尤其对于车辆荷载而言，偏离主体部分的那几个最大样本最为工程设计所关注，因此，需要利用更准确的模型对尾部的概率分布进行描述。本文提出GPD模型对尾首先利用式(14)所示的MSE法则确定尾部数据量k。***2给出了均方差与数据量k之间的关系。可以看出，当k=7时，均方差最小，对应的u=1.78×104kN•m，F(u)0.7742，因此，利用尾部的7个数据对GPD模型进行拟合。根据式(12)计算出，是一个截尾分布。根据前面的建议，取，再利用式(13)回归出=0.00106。则一天最大值截口分布为：0.0010641()0.77420.2258(1e),1.7810xFxx利用WIM一年的实际通行车流数据，计算出不同周期内的最大车辆荷载效应，并与GPD模型的预测结果进行了对比，如***3所示。作为对比，如果用极值I型来模拟全部数据，其分布参数为：a=2.24×104kN•m，b=1.39×104kN•m，一天最大值截口分布为：利用式(17)预测出的N天荷载效应最大值也标在了***3中。可以看出，GPD模型能够准确地预测车辆荷载的极值，而极值I型则明显高估。下面分别按以下三种方式计算评估期T(年)内弯矩最大值分布()TFx：1)采用极值I型拟合全部数据，以一天的极值分布代替一年的极值分布，1()[()]TTFxFx。2)采用极值I型拟合全部数据，根据极值理论，3651()[()]TTFxFx.3)采用GPD模型拟合尾部数据，根据极值理论，3651()[()]TTFxFx。三种情形下，采用与当前规范一致的标准，取满足FT(x)=0.95的分位值x作为基准期内弯矩的设计值，则对应上述三种方法，弯矩设计值与设计基准期之间的关系如***4所示。由***4可以发现：1)实践中采用极值I型拟合全部数据获得一天荷载效应的极值分布是不准确的，其结果明显偏大；而进行尾部数据拟合的GPD模型更能反映荷载效应极值随基准期而增大的变化规律。2)实践中采用了“一天代表一年”的假设，得到了与GPD模型比较接近的结果。极值I模型不能准确反映样本尾部的变化规律，也不能按理论公式进行外推，所以才在经验基础上做出一天代表一年的假设，使最终结果接近真实情况。3)随基准期的增加，实践方法得到偏于安全的值；但是对于相对较短的周期(T<20年)，其估计值明显偏小。这在对旧桥评估时尤其值得注意，因为旧桥的剩余寿命往往少于20年。其原因在于：实践方法在年最大荷载效应上得到的低估的结果(实际上是一天的最大荷载效应)，在外推时又高估了随基准期变长而增加的效果。
4结论
无论是新桥设计还是旧桥维修，准确预估桥梁服役期间的最大荷载效应都很有意义。GPD模型提供了一个更能描述桥梁荷载效应分布规律的工具，它在理论上更严密，结果也更可靠。当评估周期较短时，实践方法可能会低估荷载效应。所以在对旧桥进行安全评估，或者确定旧桥加固方案时，如果采用传统的分析方法分析WIM数据，隐藏着车辆设计荷载偏小的风险；利用GPD模型来预估其在未来数年内的车辆荷载效应的极值，则更加准确，也更偏于安全。