学文网摘 要：二次型、正定二次型和二次型的正定矩阵是高等代数中的主要内容，应用非常广泛。本文将《高等代数》（第五版，张禾瑞、郝新主编）中关于正定二次型的判别法给出几个推广。
关键词：正定二次型；主子式；判别法；推广
一、几个定义
定义1：设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
q（x1，x2…，xn）=a11x21+a22x22+…+annx2n+2a12x1x2+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1，nxn-1xn=■■aijxixj，aij=aji叫作F上一个n元二次型.
定义2：设A=（aij）是一个n阶实对称矩阵，位于A的前k行和前k列的子式a11 a12 … a1ka21 a22 … a2k… … … …ak1 ak2 … akk称为A的k阶主子式.
而子式|Ak|=a11 a12 … a1ka21 a22 … a2k■ ■ ■ ■ak1 ak2 … akk（k=1，2，…，n）称为A的k阶顺序主子式.
二、定理及推论
定理1：实二次型q（x1，x2，…，xn）=XTAX（AT=A）是正定的充分必要条件是A的一切主子式都大于零.
证明：必要性，设实二次型q（x1，x2，…，xn）=XTAX是正定的，
|Ak|=a■ … a■a■ … a■… … …a■ … a■为A的任一主子式（1≤i1
因为A是对称矩阵，所以Ak是对称的.以Ak为矩阵的k个文字的二次型为g（x■，x■，…，xi■）对于任意一组不全为零的实数（c■■，c■■，…，c■■）
由于g（c■■，c■■，…，c■■）=q（0，…，0，c■■，0，…，c■■，0，…，c■■，0，…，0）而q是正定的且（c1，c2，…，cn）=（0，…，0，c■■，0，…，c■■，0，…，c■■，0，…，0）≠0
由定义知g（c■■，c■■，…，c■■）=q（c1，c2，…，cn）>0
故g（c■■，c■■，…，c■■）是正定的，则g的顺序主子式全大于零，
即|Ak|>0.
充分性：假设对于任意的1≤i1
假设n-1时充分性成立，那么对于n个变量的情形q（x1，x2，…，xn）改写成：
q（x1，x2，…，xn）=■（a11x1+…+a1nxn）2+■bijxixj
其中bij=aij-■，
因此只要能证明实二次型■bijxixj是正定的，那么q（x1，x2，…，xn）也是正定的.由行列式的性质，我们有：
a■ a12 … a■a■ a22 … a■… … … …a■ ak2 … a■=a■ 0 0 00 b22 … b■… … … …0 bk2 … b■=a11b22 … b■… … …bk2 … b■
k=2，…，n
上式是A的左上角的阶主子式|Ak|，由于|Ak|>0，而a11>0，
所以就有：b22 … b■… … …bk2 … b■>0，k=2，…，n
于是根据归纳假设，n-1个变量的实二次型■bijxixj是正定的.这样充分性成立.
推论1：若n阶实对称矩阵A是正定的，则A的主对角线元素aii>0，（i=1，2，…，n）；若n阶实对称矩阵A是负定的，则A的主对角线元素aii
证明：假如n阶实对称矩阵A是正定的，
则实二次型q（x1，x2，…，xn）=XTAX是正定的，将xi=1，xj=0（i≠j），（i、j=1，2，…，n）代入q（x1，x2，…，xn）=XTAX可得aii>0.
假如n阶实对称矩阵A负定的，可同理证得aii
定理2：设n阶实对称矩阵
A=a■ a12 … a■a■ a22 … a■… … … …a■ an2 … a■=Ak ααT ann
其中aij=aji（i、j=1，2，…，n） αT=（a1n，a2n，…，an-1.n）
Ak=a■ a12 … a■a■ a22 … a■… … … …a■ an2 … a■
则（1）如果aii≤0（1≤i≤n），那么A不是正定的；
（2）aii>0（i=1，2，…，n），那么n阶实对称矩阵A与n-1阶实对称矩阵B有相同的正定性，这里B=Ak-a-1nnα・αT.
利用可以得到以下判定矩阵正定性的算法步骤：
设n阶实对称矩阵A=（aij）=（a0ij）（aij=aji，i，j=1，2，…，n），Bk=（a（k）ij）表示第k次降阶得到的n-k阶实对称矩阵，那么
（1）考证是否aii>0（i=1，2，…，n），若有某个aii≤0，则A不是正定矩阵.
（2）若a■■>0（i=1，2，…，n），
（上接第70页）计算a■■=a■■-（a■■）■・a■■.a■■（i，j=1，2，…，n）.
（3）若有a■■≤0（1≤i≤n-k），则A不是正定矩阵.
（4）若k=n-1且a■■>0，则A是正定矩阵.
以上步骤简单易行，无需行列式的计算，只需■n（n2-1）要次四则运算，就可判定矩阵的正定性了.
推论2：实二次型q（x1，x2，…，xn）=XTAX（AT=A）是正定的充分必要条件是mq（x1，x2，…，xn）=XT（mA）X（AT=A）是正定的，其中m是正实数.
证明：根据定理1，实二次型q（x1，x2，…，xn）=XTAX（AT=A）是正定的充分必要条件是A的一切主子式都大于零，由于m>0，故（m）A的一切主子式都大于零，从而mq（x1，x2，…，xn）=XT（mA）X（AT=A）是正定的.
如果二次型的矩阵中含有分数或小数，这时可以用二次型的倍数来确定原二次型的正定性.
参考文献：
[1]张禾瑞，郝新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]熊全淹.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2002.
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