学文网摘 要：本文主要介绍高中数学教学排列组合相同元素的分配问题、不定方程解的问题、减少球数问题、先后插入等问题中几例“隔板法”建模求解方法。在实际教学中建立隔板模型，不仅可以有效解决此类问题，而且达到“巧解”的效果，提高解决这类高中数学问题的能力。
关键词：建模;排列组合;不定方程;“隔板法”
数学建模是高中数学中一种较常用的思考方法，对于某些数学问题，就是巧妙运用数学语言、数学方法，通过抽象、简化、转化后建立一个能近似刻画题意的数学模型，达到“巧妙解决”实际问题的一种强有力的数学思路;数学建模也是应用数学方法解决实际问题的主要步骤，是数学教学中的重要内容，在一定程度上模型的巧妙建立，对我们解决较难的数学问题可以起到“化难为易”的效果。本文结合高中数学中几例排列组合问题，谈谈一些常用的“隔板法”建模求解方法：
一、相同元素的分配问题（直接插隔板法）
例1.将10个相同的小球放入三个相同的小盒中，每个小盒均不放空的方法共有多少种？
解析：模型的建立：可将三个相同的小盒“并”成一个，即将10个小球看作已放在一大盒中，而在大盒内的小球间的空隙处任意放两块隔板，这样就把大盒分成三个部分，并使小球被安排在了三个部分内。这样就相当于将10个小球放入三个相同的小盒中，且每个小盒均不放空。而10个小球间有9个空隙，所以只要在9个空隙中任选两个空隙插入两块隔板，问题就可解决，因此共有C92种放法。
二、不定方程解的问题
（一）正整数解问题（直接插隔板法）
例2.求不定方程x1+x2+x3=10的正整数解的组数。
解析：建模：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x1、x2、x3的值（如***所示）。||则隔法与解的组数之间建立了一一对立关系，故解的组数为C92组。
（二）不定方程的非负整数解问题（添加球数用隔板法）
例3.求方程x1+x2+x3=10的非负整数解的个数。
解析：注意到x1、x2、x3可以为零（但不同时为零），故不宜直接插入隔板，只要添加三个球，给x1、x2、x3各一个球，相应地x1、x2、x3分别对应新的变量X1、X2、X3，而X1、X2、X3均为正数，球的个数也同时变为13个。这样原问题就转化为求不定方程++=13的正整数解的组数了，以下解法同例2，***解如下：||故解的组数为组。
点评：在求不定方程非负整数解的问题时，一定要注意正确添加球，一般原则有几个变量就添加几个球，这样问题就可以划归为求不定方程的正整数解的问题了，然后用插隔板法求解。
三、特殊分配问题用隔板法
例4.将15个优秀指标分配给1、2、3三个组，若规定各组分到的指标数不少于组的序号数，共有多少种不同的分法？
解法1：建模：先在编号1，2，3的三个盒子内分别放0，1，2个球，剩下12个球，有1种方法;再把剩下的球分成3组，每组至少1个，这样问题就类似于例2，可知方法有C112（种）（也可以看作12个球形成11个空隙，分成3组，只需插入2个隔板，因此方法有C112种）;由分步原理可知，满足题意的分法为C112（种）。
解法2：建模：第一步先在编号1，2，3的三个盒子内分别放1，2，3个球，剩下9个球，有1种方法;第二步把剩下的9个相同的球放入编号为1，2，3的盒子里，这样问题就类似于例3，可知方法有C112（种）;由分步原理可知，满足题意的分法为C112。
点评：对于这样的分配问题，求解的关键在于第一步的分配，不同的分配方法决定了第二步的分配方法。因此在实际数学解题中，对于这样特殊的分配问题，一定要善于正确分析，合理进行转化，巧妙求解。
四、先后插入用隔板法
例5.某文艺团队在文艺演出活动中，准备的节目表中原有8个歌舞节目，若要保持这些节目的相对顺序不变，拟再增加2个配乐朗诵节目，则不同的编排方法共有多少种？
解析：建模：把原有8节目看成8个球，而增加的节目1和节目2相当于隔板。第一步：8个球形成9个空隙插入节目1隔板有C91种;第二步：第一步完成后就可以看成有9个球了，形成10个空隙，在这10个空隙中再插入节目2隔板有C101种。由分步原理知共有C91・C101=90（种）。
五、拓展
1.我校乐队由12名同学组成，这12个人来自不同的8个班，每班至少一人，组成方案共多少种？
解：12名同学形成11个空隙，分成8组，只需插入7个隔板，有C117种方法。
2.若将（a+b+c）10展开为多项式，经过合并同类项后，同时含因式a、b、c的项有多少个？
解：（a+b+c）10展开式中必定含有形如mxaybzc的式子出现，其中m∈R，a，b，c∈N+，而且a+b+c=10;因此问题可转化为例2，构造10个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，在9个空隙插入2个隔板，有C92种。因此展开式中同时含a、b、c的项有C92项。
3.若将（a+b+c）10展开为多项式经过合并合类项后它的项数为多少？
解：（a+b+c）10展开式中必定含有形如mxaybzc的式子出现，其中m∈R，a，b，c∈N，而且a+b+c=10;因此问题可转化为例3，构造13个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，共有分法C122种，每一组中都去掉一个小球的数目分别作为（a+b+c）10的展开式中每一项中a，b，c各字母的次数，小球分组模型与各项的次数是一一对应的。故（a+b+c）10的展开式中，合并同类项之后的项数为C122。
4.在1与106之间约有多少个整数的各位数字之和等于9？
分析：各位数字之和要等于9，可以构造9个同样的小球;而106最高数位是6位数，相当于有6个盒子;这时问题可以看成要把9个相同的小球放入6个盒子中，允许其中某些盒子不放入球，类似于例3;因此有C145种放法，每一种放法都对应一个整数，盒子中小球的个数就是这个整数对应数位上的数字，而每一整数各个数位上的数字总和始终是9。
以上几点，是笔者在长期的教学实践采众长积累所得，这种建模对解决此类排列组合问题很有帮助，在高中数学教学中应用较为简捷，值得推广学习。