学文网整除问题是整数内容最基本的问题.理解掌握整除的概念、性质及数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题.本节主要探究一下整除的特征.
一、常见数的整除特征
大家都熟悉能被2，3，4，5，7，8，9，10，11，13，25，125等整除的数的特征.
1. 能被2，5，10整除的数的特征是末尾数字能被2，5，10整除.
2. 能被4，25整除的数的特征是末尾两位数能被4，25整除.
3. 能被8，125整除的数的特征是末尾的三位数能被8，125整除.
4. 能被3，9整除的数的特征是所有数字之和能被3，9整除.
5. 能被7，11，13整除的数的特征是末三位数与其前面数字组成数之差能被7整除.
二、整除的一般特征
（mn 表示数字m，n组成的数字，a/b表示a整除b.）
（一）对于任意整数mn，其中n为i位整数，m为任意位整数，且m与n互质.整数ab，b为i位整数，a为任意位整数.则能被mn 整除的数ab 的特征是：mn 能整除末i位数b的m倍与其余数字组成的数a的n倍的差na - mb.
证明：mab = m（10ia + b）=10ima + mb = 10ima + na - na + mb = （10im + n）a - （na - mb）.
而mn /（10im + n）a，故mn /mab ？圳mn /（na - mb），又m与n互质，故m与mn 互质，所以mn /ab ？圳mn /m ab ？圳mn /（na-mb）.
比如：
1. 能被13整除的数的特征是末一位数与其余数字组成数的差能被13整除.
2. 能被41整除的数ab（b为一位整数，a为任意位整数）的特征是41能整除末尾数b的4倍与其余数字组成的数a的差a - 4b.
3. 能被307整除的数ab （b为一位整数，a为任意位整数）的特征是307能整除末尾数b的30倍与其余数字组成的数a的7倍的差7a - 30b；也可以是能被307整除的数ab（b为2位整数，a为任意位整数）的特征是307能整除末两位数b的3倍与其余数字组成的数a的07倍的差07a - 3b.
判断12894能否被307整除.
用第二个特征判断：07 × 128 - 3 × 94 = 614，07 × 6 - 3 × 14 = 0，故307/12894.
（二）对于任意整数10im - n，其中n为i位整数，m为任意位整数，且m与n互质.整数ab，b为i位整数，a为任意位整数，则能被10im - n整除的数ab 的特征是：10im - n能整除末i位数b的m倍与其余数字组成的数a的n倍的和na + mb.
证明：mab = m（10ia + b）=10ima + mb = 10ima - na + na + mb = （10im - n）a + （na + mb）.
而（10im - n）/（10im - n）a，故（10im - n）/mab？圳（10im - n）/（na + mb）. 又m与n互质，故m与（10im - n）互质.所以（10im-n）/ab？圳（10im - n）/mab？圳（10im - n）/（na + mb）.
比如：
1. 能被7（7 = 10 × 1 - 3）整除的数ab（b为一位数）的特征是7能整除3a + b.
2. 能被29（29 = 10 × 3 - 1）整除的数ab（b为一位数）的特征是29能整除a + 3b.
3. 能被197（197 = 200 - 3 = 102 × 2 - 03 = 10 × 20 - 3）整除的数的特征是：
（1）197能整除末两位数的2倍与截去末尾两数后前面数字组成数的03倍的和；
（2）197能整除末尾数字的20倍与去掉末尾数后前面数字组成数的3倍的和.
如：判断139673能否被197整除.
用第一个特征判断：03 × 1396 + 2 × 73 = 4334，03 × 43 + 2 × 34 = 197，197/197，故139673能被197整除.
以上（一）（二）两个一般特征对于所有的质数都是适用的，对于合数，只适用于m，n互质时，究竟选用两种中的哪种，由具体的数来确定，尽量选使得m，n小的，易算的，特别是n的值要小.
（三）对于能被一个合数A整除的数的特征，可以将A分解质因数，若质因数都不同，只要能被所有质因数整除即可；若因数有相同的，可以写成几个互质因数的积，只要能被所有互质因数整除即可；若所有质因数都相同，即A=qi，q为质数，i为正整数，则只能被A整除，或者不能被qj（j∈Z，0 < j < i）整除，则不能被qi整除.
如：能被78整除的特征有既能被2整除，又能被3和13整除等多种方法.
一个数的整除特征，不是唯一的，除了上述的一般方法，还可能有其他的比较简便的方法，这由具体数的特征确定.比如，由7/1001，可得到一种能被7整除的数的特征；由29/10005，23/10005可得能被29，23整除的数的特征是末四位数与其余数组成数的5倍的差能被29，23整除.
在有关整除的问题中，依据整除的特征有时可以简便地解决问题.望感兴趣的同仁指正并期待更深入的探究.
【参考文献】
吴玉珍.谈数的整除特征[J].常州工学院学报院，2005（6）.