学文网摘 要： 在标的资产的对数收益非正态的情况下，本文通过时间序列的动态结构推导出股票对数收益的Edgeworth展开，由此推导几何平均亚式期权值，并看出对数收益过程的非高斯性及相依性对期权定价的影响.
关键词： 平稳过程 累积量 Edgeworth展开式 亚式期权
引言
亚式期权又称为平均价格期权，是在总结真实期权，虚拟期权和优先期权等期权实施的经验教训基础上推出的新型期权.与标准期权的区别在于：在到期日确定期权收益时，用期权合同期内某段时间标的资产价格的平均值来代替到期日的标的资产的价格，这段时间称为平均期.在对价格进行平均时采用算术平均或几何平均.本文考虑几何平均亚式期权的定价问题，主要采用Edgeworth展开式近似对数收益分布，从而可得到几何平均亚式期权价格的解析近似式.很多作者都使用过不同的统计序列展开式进行欧式期权定价（像Jarrow and Rudd，1982;Corrado and Su，1996a，b，1997;Kariya，1993）.本文将采用类似的方法得到标的资产对数收益分布的Edgeworth展开式，从而得到几何平均亚式期权价格的解析近似式.
1.累积量
定义1：设X是一个随机变量，它的n+1阶矩存在，φ（t）为其特征函数，将lnφ（t）作Taylor展开
lnφ（t）=（it）+o（t）（1）
称展开式中系数c为X的第k阶累积量.
定义2:设（X，…，X）为n维随机变量，它的n+1阶矩存在，φ（t，…，t）为其特征函数，称Cum（X，…，X）为（X，…，X）的n阶累积量，其中
Cum（X，…，X）=（-1）（p-1）!E（X）（2）
这里v（j）是（1，…，n）的非空子集，v=（v，…，v）为（1，…，n））的任一分割，1≤p≤n.
特别地，当n=2，3时，
Cum（X，X）=E（XX）-EXEX，
Cum（X，X，X）=E（XXX）-EXE（XX）-EXE（XX）-EXE（XX）+2EXEXEX
注：（1）式中的c可用Cum（X，…，X）表示出来，例如
c=Cum（X，X），c=Cum（X，X，X），…
2.Edgeworth展开
对数收益的分布在真实市场往往是非高斯的和非对称的，我们将用Edgeworth展开来反映这些收益的分布.Edgeworth展开式具有好的分析形式，使用它可以得到更合理的期权价格.
设X为i.i.d，EX=μ，DX=σ＜∞，令S=（X-μ）/（σ），以F（x）表示S的分布函数，以Φ（x）和?准（x）分别表示标准正态分布的分布函数和密度函数.由中心极限定理知
?坌x∈R，F（x）Φ（x）（n∞）.
进一步，F（x）有如下更精确的表示式
?坌x∈R，F（x）=Φ（x）-?准（x）［++…++…］，
称上式为S的分布的Edgeworth展开式，其中Q（x）是以X的累积为系数的多项式，例如
Q（x）=λ（x-1），
Q（x）=λx+（λ-λ）x+（λ-λ）x，
这里λ=c/σ，称λ为X的第k阶标准累积.
3.亚式期权的Esscher价格定义
设T为期权的到期日，S为标的资产在时刻T价格，K为敲定价.文【5】对欧式看涨期权在时刻T的价格定义为
C=exp（-rτ）E（S-K）.
其中r为无风险利率，是一常数，E表示在已知T及以前时刻的资产信息的条件下的条件期望，（x）=max{x，0}.
类似于文【5】我们给出标的资产对数收益的定义和亚式期权的Esscher价格定义.
定义3：设（S;t≥0）是标的资产的价格过程，对数收益X由下式定义，
lnS-lnS=μ+X，j=1，…，N（3）
其中T为计算标的资产平均值的起点，N=τ/，τ=T-T，为分割的小区间的长度，T为到期日.
亚式看涨期权在时刻T的Esscher价格定义为
GA=eE ［（S）-K］
=eE ［（S）-K］.
亚式看跌期权在时刻T的Esscher价格定义为
GA=eE ［K-（S）］.
由（3）式知
S=Sexp（μ+X），
S=Sexp（2μ+（X+X）），
?噎
S=Sexp（Nμ+（X+X+…+X））.
故
（S）=Sexp［μ+N（N-j-1）X］
=Sexp［μ+τN（N-j-1）X］.
于是
GA=eE ［Sexp［μ+τN（N-j-1）X］-K］.
GA=eE ［K-Sexp［μ+τN（N-j-1）X］］.
4.亚式期权的定价
4.1基本模型
B-S模型假定标的资产价格服从几何布朗运动，它的波动率为常数.而在实际市场运行中，标的资产的对数收益往往服从非高斯分布且非对称.因此我们假定标的资产的对数收益{X}是相依过程，且满足:
（A1）{X}是四阶平稳的，即
（i）EX=0;
（ii）Cum（X，X）=C（u）;
（iii）Cum（X，X，X）=C（u，u）;
（iv）Cum（X，X，X，X）=C（u，u，u）.
（A2）累积量C（u，u，…，u），k=2，3，4满足
（1+|u|）|C（u，u，…，u）|＜∞，j=1，2，…，k-1.
（A3）|u||C（u，u，…，u）|=o（1），j=1，2，…，k-1.
（A4）Z的j阶累积量是O（N），其中Z=N（N-j+1）X.
在（A2）下，{X}有k阶累积谱密度，以f表示{X}的第k阶累积谱密度在频率为0的值，即
f=（2π）C（u，u，…，u），k=2，3，4.
4.2{X}满足AR模型时的亚式期权定价.
由前知，（S）的分布依赖于Z=N（N-j-1）X的分布.下面我们来考虑Z的Edgeworth展开式.
定理1:假定（A1）-（A4）成立，则Z=（πf）Z的密度函数的3阶Edgeworth展开为
g（z）=φ（z）{1+N（1-）H（z）+NH（z）+NH（z）}+o（N）.（4）
其中?准（g）为标准正态分布的密度函数，H（•）为k阶hermite多项式，k=2，3，...，7，且f′=|u|C（u）.
定理1的证明可参考文【13】.很多作者都使用不同的统计序列展开进行期权定价，这里我们将使用标的资产对数收益分布的Edgeworth展开式给出亚式期权的定价公式.我们将考虑对数收益过程{X}满足AR模型时的亚式期权定价问题.
设X=aε，t∈Z
其中{ε}是不相关r.v序列，并作以下假定：
（B1）{ε}是四阶平稳的，即
（i）Eε=0;
（ii）Cum（ε，ε）=C（u）;
（iii）Cum（ε，ε，ε）=C（u，u）;
（iv）Cum（ε，ε，ε，ε）=C（u，u，u）.
（B2）累积量C（u，u，…，u），k=2，3，4满足
（1+|u|）|C（u，u，…，u）|＜∞，j=1，2，…，k-1.
（B3）{a}满足（1+|j|）|a|＜∞.
（B4）|u||C（u，u，…，u）|=o（1），j=1，2，…，k-1.
在（B2）下，{ε}有k阶累积谱密度，以f表示{ε}的第k阶累积谱密度在频率为0的值，即
f=（2π）C（u，u，…，u），k=2，3，4.
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在（B1）-（B4），（A4）下，我们可得到以下推论.
定理2:假定（B1）-（B4）及（A4）成立.令
a=exp（-rτ），
a=exp（μ+τσA），
d=（ln（）+μ+f）/（f），
d=d-（f）.
则GA及GA可表为
GA=G+N（1-f′）G+N（2π）fG
+Nπ（f）G+o（N）.（5）
GA=G+N（1-f′）G+N（2π）fG
+Nπ（f）G+o（N）.（6）
其中
G=a{aSΦ（d）-KΦ（d）}，
G=aaS{（f）H（-d）?准（d）+（f）Φ（d）}，k=2，3，6.
A=a，f=A，
f′=2|j|aa，
G=G-a［Sexp（μ）M-K］，
M=E{exp（τσA）Z}.
注：从（5）和（6）式中可以看出亚式期权价格的渐进扩张依赖于f′，f，k=2，3，…，7，因此，我们可以看出非高斯性和相依性对对数收益过程的高阶期权值的影响.
5.定理2的证明
由（B1）-（B3）及X=aε，t∈Z知f=Af.k=2，3
再由（A2）可得
C（u）=var（aε，aε）=σaε.
故
f=A，f′=σf′.
于是==f′，=（2π）f，
=（2π）f，=（2π）f′f，
=（f），
G=G-a［Sexp（μ）M-K］，
M=E{exp（τσA）Z}.
参考文献：
［1］Corrado，C.J.，Su，T.，1996a.S P 500 index option tests of Jarrow and Rudd’s approximate option valuation formula.J.Futures Markets 16，611-629.
［2］Corrado，C.J.，Su，T.，1996b.Skewness and Kurtosis in S P 500 index returus implied by option prices.J.Financial Res.19，175-192.
［3］Corrado，C.J.，Su，T.，1997.Implied volatility skews and stock return Skewness and Kurtosis implied by stock option prices.European J.Finance 3，73-85.
［4］Jarrow，R.，Rudd，A.，1982.Approximate option valuation for arbitrary stochastic processes.J.Financial Economics 10，347-369.
［5］Taniguchi，M.，Kakizawa，Y.，2000.Asymptotic Theory of statistical Inference for Time series.springer，New York.
［6］Kenichiro，T.，Masanobu，T.，2006.Higher order asympotic option valuation for non Gaussian dependent returns，journal of statistical planning and inf.
［7］Cox，J.，Ross，S.A.，1976.The Valuation of options for alternative stochastic pocesses.J.Financial Economics 3，145-166.
［8］Kariya，T.，1993.Quantitative Methods for Portfolio Analysis.Kluwer Academic Publishers，Dordrecht.
［9］Rubinstein，M.，1998.Edgeworth binomial trees.J.Derivatives 5，20-27.
［10］Black，F.，Scholes，M.，1973.The pricing of options and corporate liabilities.J.Polit.Economy81，637-654.
［11］Brillinger，D.R.，1981.Time Series:Data Analysis and Theory.Holden-Day，San Francisco.
［12］Kariya，T.，Liu，R.Y.2002.Asset Pricing:Discrete Time Approach.Kluwer Academic publishers，Boston.
［13］李亚琼.标的资产的对数收益非正态时的亚式期权的定价.安庆师范学院学报（自然科学版），2007.Vol.13，（4）.
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