【摘 要】本文通过实例解答以及理论上的论证,说明了在任意两个有理数之间总能找到一个无理数,不管这两个有理数之间的距离有多接近,都一定能找到。
【关键词】任意;有理数;之间;寻找;无理数
无理数又叫无限不循环小数,它和有理数一起统称为实数。在中学数学的学习中,我们常见到的无理数仅仅是少数的几个,例如: 、 、 、圆周率 、自然对数的底数e等。当然,无理数不仅仅只有这些,它是很多的,有无穷多个,无理数集是无限集,它是不可数的,而有理数集是可数集,从这个意义上说,无理数比有理数还“多”,我们学过的一些函数的值大都是无理数,比如log23、sin10°、tan30°等等都是无理数;再比如,每一个质数的二次方根、三次方根、五次方根……以及它们的相反数等等都是无理数,由此可知无理数是很多很多的,这和我们印象中的无理数的个数大相径庭。
最早发现无理数的人是古希腊的希帕索斯(Hippasus),毕达哥拉斯学派的数学家,生活在公元前五世纪。毕达哥拉斯学派有一个信条:“万物皆数”,即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”,也就是一切现象都可以用有理数去描述。但是希帕拉斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生。小小 的出现,如何把这些“数”表示出来,戴德金用对全体有理数的一个“分割”来定义了无理数。
戴德金的方法又称为戴德金分割,是将有理数的集合分成两个非空不相交的子集A与B,使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素。戴德金把这种划分定义为是对有理数的一个分割,记为(A,B),其中A∪B=Q,即对于任意的a∈A,b∈B,都有a
通俗一点来说,这个方法就是认为直线没有被有理数填满,还有“空隙”存在,那么这个分割就是在数轴上切一刀,把现有的有理数分成两部分,如果这一刀恰好切在了一个有理数上,那么这个分割就是一个有理数,反之,就是一个无理数。
戴德金方法定义的实数理解起来的确比较晦涩难懂。
在中等师范学校数学教科书《代数与初等函数》第一册第七章《数集》中有这样一段话:“有理数集具有稠密性,但从数轴上看,有理点虽然很多、很密,不过仍然未能布满数轴,还留有空隙,不管两个有理点如何接近,在它们之间总存在无理点”。对这个结论,教材没有给出证明,那么我们该怎样来理解这一段话呢?
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