学文网【摘 要】本文通过实例解答以及理论上的论证，说明了在任意两个有理数之间总能找到一个无理数，不管这两个有理数之间的距离有多接近，都一定能找到。
【关键词】任意；有理数；之间；寻找；无理数
无理数又叫无限不循环小数，它和有理数一起统称为实数。在中学数学的学习中，我们常见到的无理数仅仅是少数的几个，例如： 、 、 、圆周率 、自然对数的底数e等。当然，无理数不仅仅只有这些，它是很多的，有无穷多个，无理数集是无限集，它是不可数的，而有理数集是可数集，从这个意义上说，无理数比有理数还“多”，我们学过的一些函数的值大都是无理数，比如log23、sin10°、tan30°等等都是无理数；再比如，每一个质数的二次方根、三次方根、五次方根……以及它们的相反数等等都是无理数，由此可知无理数是很多很多的，这和我们印象中的无理数的个数大相径庭。
最早发现无理数的人是古希腊的希帕索斯（Hippasus），毕达哥拉斯学派的数学家，生活在公元前五世纪。毕达哥拉斯学派有一个信条：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可以用有理数去描述。但是希帕拉斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生。小小 的出现，如何把这些“数”表示出来，戴德金用对全体有理数的一个“分割”来定义了无理数。
戴德金的方法又称为戴德金分割，是将有理数的集合分成两个非空不相交的子集A与B，使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素。戴德金把这种划分定义为是对有理数的一个分割，记为（A，B），其中A∪B=Q，即对于任意的a∈A，b∈B，都有a
通俗一点来说，这个方法就是认为直线没有被有理数填满，还有“空隙”存在，那么这个分割就是在数轴上切一刀，把现有的有理数分成两部分，如果这一刀恰好切在了一个有理数上，那么这个分割就是一个有理数，反之，就是一个无理数。
戴德金方法定义的实数理解起来的确比较晦涩难懂。
在中等师范学校数学教科书《代数与初等函数》第一册第七章《数集》中有这样一段话：“有理数集具有稠密性，但从数轴上看，有理点虽然很多、很密，不过仍然未能布满数轴，还留有空隙，不管两个有理点如何接近，在它们之间总存在无理点”。对这个结论，教材没有给出证明，那么我们该怎样来理解这一段话呢？
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