学文网椭圆x2a2
+y2b2=1 (a>b>0)的参数方程为：
x=acosθ,
y=bsinθ.
其中θ是参数，θ∈［0,2π),故椭圆上的任一点都可以写成P(acosθ,bsinθ),
θ∈
［0,2π)的形式，现就其在解题中的应用例释如下，供同学们参考.
一、求解范围问题
例1 已知椭圆E：x24+
y23=1和直线l:x-2y+c=0有公共点，试求实数c的取值范围.
简析：
设M（2cosθ,3sinθ),θ∈［0,2π)
是E和l的公共点，则有C=23
sinθ-2cosθ=4sin(θ-π6
)∈［-4,4］.
例2 椭圆x2a2
+y2b2
=1(a>b>0)的右顶点为A（a,0)，O是椭圆的中心，若椭圆在第一象限存在一点P使得∠OPA=
π2,则椭圆离心率e的取值范围是()
(A) （0，2-1） (B) （22，1）
(C) （0，22）(D) （2-1，1）
简析：设点P（acosθ,bsinθ),θ∈(0,π2),依题意应有（acosθ-a2)2+(bsinθ)2
=(a2)2,即a2cos2θ-a2cosθ+b2sin2θ=0,整理得e2=
11+cosθ.因为θ∈(0,π2),所以e2∈
(12,1),所以e∈(22,1),故选(B).
二、求解最值问题
例3 求直线y=kx+1被椭圆x24+y2=1所截得弦长的最大值.
简析：
（0，1）为直线与椭圆的一个交点，设另一个交点为（2cosθ,sinθ),则弦长
L=
4cos2θ+(sinθ-1)2
=
-3(sinθ+13)2+163
≤43
3,即所求最大值为433.
例4 已知椭圆C1：
x216
+y2=1和圆C2：x2+y2=16,点A是圆在第一象限上的点，过A作AM垂直x轴于点M，交椭圆于点B，求∠AOB的最大值.
简析：如***1，设A、B两点的坐标分别为（4cosθ,4sinθ),
(4cosθ,sinθ),θ∈(0,π2).令∠BOM=φ,则tan
φ=14tanθ.又tan
∠AOB=tan(θφ)=
tanθ-tanφ1+tanθtanφ
=3tanθ+4tanθ
≤34,当且仅当tanθ=4tanθ,即
θ=arctan2时等号成立，故∠AOB的最大值是arctan34.
三、求解定值问题
例5 已知P（1,32)是椭圆C：
x24+
y23
=1上的点，点M、N是C上的另外两点，且直线PM与直线PN的倾斜角互补，求证：直线MN的斜率为定值.
简析：P的坐标为（2cosπ3，
3sinπ3），设M（2cosα,3
sinα),N(2cosβ,3sinβ),其中α,β∈［0,2π),则kPM
=3(sinα-sinπ3)
2(cosα-cosπ3)
=
-32cot(α2
+π6).同理kPN=
-32cot(β2
+π6).因为PM与PN的倾斜角互补，所以kPM
=-kPN,即cot(α2
+π6)=-
cot(β2
+π6).又因为α,β∈
［0,2π),
所以α2+π6
=π-(β2+π6)①
或 α2
+π6=2π-(β2+π6)②
由①得α+β2
=2π3,由②得
α+β2=5π3.所以kMN
=3(sinα-sinβ)2(cosα-cosβ)=-
32
cotα+β2
=12(定值）.
四、求解三角形的面积问题
例6 已知直线l:x2+1
+y2=1与椭圆C：x23+22
+y24=1相交于A、B两点，在椭圆上使得PAB的面积等于1的点P共有()个.
(A) 1 (B) 2
(C) 3(D) 4
简析：
如***2，设P（(2+1)cosθ,2sinθ),
θ∈(0,
π2)是椭圆在第一象限的任一点，则SPAB
=SPOA+SPOB-SAOB
=(2+1)・(sinθ+cosθ-1)=(2+1)［
2sin(θ+π4)-1］
≤(2+1)(2-1)=1,当θ=π4
时等号成立.易知椭圆在直线AB的下方也有两点使PAB的面积为1，故选(C).
五、求解探索性问题
例7 是否存在同时满足下列条件的椭圆，若存在，求出椭圆的方程；若不存在，请说明理由.①中心在原点，焦点在y轴上，长轴长是短轴长的3倍；②点P（0，2）到椭圆上点距离的最小值是
22.
简析：
假设存在满足条件的椭圆，并设椭圆的短半轴长为b(b>0),M(bcosθ,3bsinθ),θ∈
［0,2π)是椭圆上的任一点，则|PM|2=（bcosθ-0)2+(3bsinθ-2)2=8b2
(sinθ-34b)2+b2-12.
若0
34,则当sinθ34b时，|PM|min
=b2-12=22
,解得b=1∈［34,+∞),此时椭圆的方程为x2+y29
=1.
若34b
>1,即0
=|3b-2|
=22
.解得b=1b
(4-2)∈(0,34)或b=16
(4+2)(0,34)(舍去），此时椭圆的方程为
18x29-42
+2y29-42=1.
陕西省西安市远东第二中学（710077）
注：本文中所涉及到的***表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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