学文网一阶级性常微分方程
+p（x）y=Q（x）
当已知函数Q（X）≠0时，称为非齐次方程，而当Q（X）=0时，称为齐次方程。这种方程，通常可用多种方法求解，如Lagrange常数变易法，积分因子法，积分变换法，或者幂级数解法等。由于后面两种方法所用工具比较高深，在教学中一般安排较晚，本文暂不讨论。一般在微积分或微分方程教程中所采用的，多是常数变易法。为了说明问题，我们先简单介绍一下这个解法。
（1）常数变易法 非齐次线性方程
+p（x）y=Q（x） （！）
求解的常数变易法，是从对应的齐次方程
+p（x）y=0 （2）
的通解y=Ce-∫P（x）dx （3）
出发。把这通解中的任意常数C易为待定函数u（x） ，得到
y=u（x）e-∫P（x）dx （4）
则y'=u'（x）e-∫P（x）dx+u（x）[-p（x）]e-∫P（x）dx
为了定出函数u（x） ，把（4）代入方程（1）的左端，
从而得到 +p（x）y=u'（x）e-∫P（x）dx+u（x）[-p（x）]e-∫P（x）dx+P（X）u（x）e-∫P（x）dx=u'（x）e-∫P（x）dx
这说明，函数u（X）必须满足微分方程：u'（x）e-∫P（x）dx=Q（x）
两端乘以e∫P（x）dx，然后积分得：
u（x）=∫Q（x）e∫P（x）dx+k（k为任意常数）
把这个u（x）的表达式代入（4）中，得方程（1）的通解
Y=e-∫P（x）dx[∫Q（x）e∫P（x）dx+k]
这是把任意常数又写成k的结果。
这一解法相当简洁，并且在解二阶常微方程时，这种方法也要发挥作用。所以通常在教学中多介绍它。但是，如果单纯介绍方法，而不予先加以引导启发，学生往往会觉得这方法来的突兀，也会觉得方 法过于巧妙。学生会问：你怎么想到把任意常数C变易为待定函数C（X）呢？为了避免有的学生在这里把思路卡住，我想介绍积分因子法可能是有益的。
（2）积分因子法 上述的常数变易法，是从给它的非齐次方程所对应的齐次方程的通解的构造出发的。如果我们改弦易辙，不从这里，而直接从非齐次方程（1）本身出发，就会是另一番景象。我们仔细考查非齐次方程（1），
+p（x）y=Q（x）
目的是求得这一方程的解，或者说是把这方程积分。如果P（X）≠0，不能直接进行积分。不难发现，这个式子不能直接积分的困难在于方程的左端有两项 +p（x）y。一般来说，这样的和式不是一个完全微分式。但是，并非任何含有Y及 的一次二项式都不是完全微分式。大家熟知，乘积的倒数u（x）
[u（x）・v（x）]'=u'（x）・v（x）+u（x）・v'（x） （5）
就是含有u（x）及u'（x）的一次二项式。我们很容易发现，把（1）式两端乘以一个适当的函数因子μ（x）时，使之成为
μ（x）y+μ（x）p（x）y=μ（x）Q（x） （6）
（自然要求μ（x）≠0）时再比较（5）式的右端与（6）式的左端，可见，应该选择。使之适合微分方程
u（x）=μ（x）p（x） （7）
对于这样的μ（x），（6）式可写成
（μ（x）y）=μ（x）Q（x） （8）
它的左端是一个完全微分式，已经可以直接积分，于是
μ（x）y=∫μ（x）Q（x）dx+k （9）
k是任意常数。现在问题归结为求解齐次方程（7）了。这是大家熟知的事，把（7）的解：
u（x）=e∫P（x）dx
代入（9）中，立刻得到所求的非齐次方程（1）的通解：
Y=e-∫P（x）dx[∫Q（x）e∫P（x）dxdx+k]
我们称这里所乘的函数μ（x）为积分因子。
这样的解法，目的明确，方法自然，并且是建立在学生熟悉的事物的基础上。从笔者在教学实践中的观察，学生容易接受。
积分因子法，象常数变易法一样地没有局限性。求解一阶线性偏微分方程，特别是解全微分方程的时候，积分因子也有用武之地。这些我们不去介绍了，有兴趣的读者可以参看专书，例如沈璇编译，中华书局出版的《常微分方程》。
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