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解析几何的核心思想是坐标法，利用曲线与方程之间的关系，将点的坐标理解为曲线对应的方程组的解，通过解方程或通过韦达定理来转化，这是求解解析几何问题的通性常法. 解析几何的很多题型，如求点的坐标、圆锥曲线的方程、动点的轨迹方程、曲线过定点问题等，都体现了坐标法及曲线与方程思想的应用，它们也是高考考查的热点题型.
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在直线与圆锥曲线问题中，通常采用“先设后求”或“设而不求”. 求点的坐标、圆锥曲线的标准方程时，可建立关于基本量（如点的坐标，椭圆、双曲线方程中的a，b，抛物线方程中的p）的方程，然后求之. 解决曲线过定点问题时，通常可考虑两种方法：其一，从特殊情况入手求出该点坐标，然后证明该点与变量无关；其二，将该点坐标构造在某变量（参数）的方程中，利用方程恒成立，求出该点坐标.
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■ 如***1，已知点F是抛物线C1：x2=4y与椭圆C2：■+■=1（a>b>0）的公共焦点，且椭圆的离心率为■.
（1）求椭圆C2的方程；
（2）过抛物线上一点P作抛物线的切线l，切点P在第一象限，设切线l与椭圆交于不同的两点A，B，记直线OP，FA，FB的斜率分别为k，k1，k2（其中O为原点），若k1+k2=■k，求点P的坐标.
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***1
破解思路 对于第（1）问，建立关于基本量a，b的方程组，解出a，b即可；对于第（2）问，欲求P点的坐标，可先设出其坐标，然后建立关于该坐标的方程（组），通过解方程（组）即可解决.
经典答案 （1）由已知可得c=1，e=■=■，所以a=2，b=■，所以C2的方程为■+■=1.
（2）设Px0，■，A（x1，y1），B（x2，y2）. 由导数的几何意义知，l的斜率为k=■x0，所以l的方程为y=■x-■，代入椭圆C2：■+■=1得（12x■■+64）x2-12x■■x+3x■■-192=0. 由判别式Δ>0，得-4
■ 如***2，已知椭圆■+y2=1，过A0，-■的直线l与椭圆交于P，Q两点，问：在坐标平面上是否存在定点T（x0，y0），使得以PQ为直径的圆恒过该点，若存在，求出该点的坐标；若不存在，评述理由.
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***2
破解思路 本题是解析几何综合题中常见的直线过定点的问题，方法如前已述，但解题时要利用方程恒成立的条件：若关x的方程anxn+an-1・xn-1+…+a1x+a0=0（n∈N？鄢）对一切x∈R恒成立？圳an=an-1=…=a1=a0=0.
经典答案 设P（x1，y1），Q（x2，y2）. 假设存在T（x0，y0），使T点恒在以PQ为直径的圆上，即■・■=0恒成立. 当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx-■（k∈R），代入椭圆■+y2=1并整理得（2k2+1）x2-■kx-■=0. 因为点A在椭圆内，故判别式恒正，所以x1+x2=■，x■x■=■. 又■=（x1-x0，y1-y0），■=（x2-x0，y2-y0），代入■・■=0，得（1+k2）x1 x2+-x0-y0k-■k（x1+x2）+x■■+y■■+■y0+■=0，代入x1+x2，x1x2的值，得2（x■■+y■■-1）・k2+-■x0・k+x■■+y■■+■y0-■=0. 由题意，该方程对一切k的变化恒成立，所以x■■+y■■-1=0，-■x0=0，x■■+y■■+■y0-■=0，解得x0=0，y0=1，即T（0，1）. 而当直线l的斜率不存在时，l依然经过（0，1）. 所以存在T（0，1）.
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1. 设斜率为■的直线l与椭圆■+■=1（a>b>0）交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为__________.
2. 已知双曲线的中心在坐标原点，过双曲线右焦点且斜率为■的直线与双曲线交于A，B两点，若OAOB，AB=4，求双曲线的标准方程.
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