学文网摘 要 一元二次方程作为初中数学的重要内容之一，其在初中代数中的地位不言而喻。在一元二次方程的学习过程中，关键在于其基本解法。本文着重研究了一元二次方程的多种常见解法，并在此基础上分析各解法的特点及具体适用性，力求帮助学生更有效率的解答一元二次方程。
关键词 一元二次方程 解法 探析
一、一元二次方程解法教学的重要性
一元二次方程是初中数学的重要内容，其在数学和实际生活中的运用不胜枚举，且在中考中占据大量分值。随着数学学习内容的不断深入，一元二次方程更多的是以解题工具的形式出现，如在应用题、取值题等题型中的运用。因此，一元二次方程的解往往成为判定解题准确与否关键。由此可见，既快又准的解一元二次方程在数学学习中至关重要。鉴于此，本文就一元二次方程的几种常见解法进行分析，力***建立特定的解方程思维模式，以帮助学生提高解决此类题之效率。
二、一元二次方程解法分析
一元二次方程的重点与关键在于其解法。常用的解法主要有：因式分解法、配方法、直接开方法和公式法。为更直观展现解法特点，本文选取本分题型加以归类分析：
（一）直接开方法
适用此法的方程多以x2=p或（ax+b）2=p的形式出现。观察此类方程特征发现，其中一次项系数为0。
例7.解方程x2=225 例8.（x+3）2=9
直接开方得x1=15， x2= -15 直接开方得x+3=±3
x1= 0，x2= -6
该方法较为简单，仅能决部分一元二次方程。且在考试中多出现在解题的某一环节中，而较少单独作为大题来命题。
（二）因式分解法
因式分解法是运用分解因式的方法求一元二次方程的根。其特点在于分解后的因式中至少一个为零。具体原则：（1）将方程式右边化为0，且始终为0；（2）将等式左边尽可能化简成为两个因式的成绩；（3）令各因式结果为0；（4）解化简后的多个因式。因式分解法具体包括：提公因式法、公式法、十字相乘法。
1.提公因式法。特有模式：ax2+bx=0（其中a，b为系数），此方法的特点在于等式右边值为0，等式左边存在公因式。
例1.解方程5x2+15x=0 例2.解方程（2x+3（2=4x+6
因式分解得： 5x（x+3） =0 移项得（2x+3）2-2（2x+3）=0
x1=0， x2= -3 因式分解得（2x+3）（2x+3-2）=0
x1= -3/2， x2= -1/2
例1是提取公因式法较为直接的使用。但在考试中，例2更为常见。通过例2可知，在使用提取公因式法时，不能仅限于观察未知项，需从整体进行分析。
2.公式法。直接利用常见公式解方程求根的方法。在此法中较为常见的公式有平方差公式和完全平方公式。具体表现形式如下：（1）平方差：（a2-b2）=（a+b）（a-b）；（2）完全平方：（a±b）2=a2±2ab+b2。此方法特点在于已知方程与上述公式形式一致。
例3.解方程4x2-9=0 例4.解方程9x2+6x+1=0
因式分解得（2x-3）（2x+3）=0 因式分解得（3x+1）2=0
x1= -3/2， x2=3/2 x= -1/3
公式法的使用可以大幅提高解题速度，但其关键在于必须熟记平方差和完全平方公式。
3、十字相乘法。十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。特有模式：x2+（a+b）x+ab=0。通常在方程既有常数项，又无上述公式可使用时，惯用此法。该法可以快速的解出跟，提高学生自信心。
例5.解方程3x2+11x+10=0 例6.解方程3x2-x-10=0
分析：x 2 分析：x -2
3x 5 3x 5
6x+5x=11x -6x+5x= -x
因式分解得（x+2）（3x+5）=0 因式分解得（x-2）（3x+5）=0
x1= -2， x2= -5/3 x1=2，x2= -5/3
使用十字相乘法的关键在于两点：（1）在运算过程中，务必注意系数项的符号；（2）当首项系数不为1时，需多次试验。
通过上述分析可知，使用因式分解法有一定的局限性，仅限于解部分有特定关系的一元二次方程。
（三）配方法
配方法是将已知方程配成完全平方公式，而此法是解一元二次方程的通法。究其根本即是将一元二次方程化为x2=P来加以解答。
例9.x2+10x+9=0 例10.2x2+3x+1=0
移项得x2+10x= -9 化首项系数为1得x2+3 x /2+1/2=0
配方得x2+10x+25=-9+25 配方得x2+3x/2+9/16= -1/2+9/16
即（x+5）2+16 即（x+3/4）2=1/16
直接开方得x+5=±4 直接开方得x+3/4=±1/4
即x1= -1 ，x2= -9 即x1= -1/2 ，x2= -1
通过例题9和例题10对比发现，虽配方法可解任何一元二次方程，但当已知方程二次项系数为1，一次项系数为偶数时，该方法的使用可大幅减少计算量。而当二次项系数不为1，或一次项系数不为偶数时，使用该方法计算量将增大。如在做题过程中遇到二次项系数不为1时，首先需将其系数转化为1，然后再用配方法计算。总结配方法口诀：“二次系数化为一，常数要往右边移，一次系数一半方，两边加减最相当
（四）公式法
此公式法与分解因式法中提及的公式法略有差异。该公式法是用求根公式求出一元二次方程的跟的方法。其可解任何ax2+bx+c=0（a≠0）的方程。其步骤有：（1）将已知方程化为一元二次方程的一般形式；（2）分别确定a、b、c的值；（3）求出b2-4ac的值；（4）当b2-4ac≥0时，将其带入原方程式，求出两根；当b2-4ac
1.当ax2+bx+c=0（a≠0）的二次项系数不为1时，较多采用该法。
例11.解方程3x2-x= 2
移项得3x2-x-2=0
确定各项系数：a=3，b=-1，c=-2
Δ=b2-4ac=1-4×3×（-2）=25>0
x1= -2/3 ，x2=1
2、当ax2+bx+c=0（a≠0）的各项系数均为无理数，且较难使用因式分解法和配方法时，可使用该法。
例12.解方程x2-5x+4=0 例13.解方程x2-x+4=0
确定各项系数：a=1，b=-5，c=4 确定各项系数：a=1，b=-1，c=4
Δ=b2-4ac=25-4×1×4=9>0 Δ=b2-4ac=1-4×1×4=-15
x= 所以，次方程无解。
x1=3 ，x2=1
公式法与配方法一样，是解一元二次方程的通法。但其在使用时需注意以下两点：（1）在确定a、b、c时，需注意其各自的符号；（2）求出b2-4ac值后，可能存在三种情况：①当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不同的根；②当b2-4ac=0时，一元二次方程的两根相等；③当b2-4ac
三、总结
综上所述，在解一元二次方程时，要善于观察已知方程的特点。同一方程有时可使用两种或两种以上不同方法解答。因而在方法选择上，要遵循由易到难的顺序。即在遇到解一元二次方程题型时，首先观察该题是否可采用直接开方法解答，如若不行则依次考虑提取公因式法、配方法、公式法。总之解法之选必为最简单、快捷、准确之道。
参考文献：
[1]唐宗康.一元二次方程几种常见解法的选择之我见[J].教育研究.2010（2）
[2]孙致义.对中学数学教学的几点思考[J].科技资讯.2007（02）
[3]吕超，刘永刚.开展生命化课堂教学，培育发展型教学文化[J].学周刊.2012（2）
[4]赵庆福.中学数学解题反思的案例分析[D].2012
[5]刘彩虹.中学数学课堂评价标准研究[D].2012（6）
[6]张***.浅论如何教好中学数学[J].中国校外教育.2012（6）
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