学文网摘 要： 利用导数可求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值。导数是分析和解决函数问题的有效工具。
关键词： 导数 函数 应用
导数是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想.随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具.函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法.近年一些省高考题中都出现以函数为载体，通过研究其***像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题.我结合教学实践，就导数在函数中的应用作初步探究.
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用单调性和极值求参数的取值或取值范围，求方程的根的个数（或曲线和直线的交点个数）.利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年热门的考点之一，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点.
一、用导数求函数的切线
例1.已知曲线y=x-3x-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程.
分析：根据导数的几何意义求解.
解：y′=3x-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3（x-1），即为：y=-3x.
方法总结：函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处的切线的斜率.也就是说，曲线y=f（x）在点P（x，f（x）），处的切线的斜率是f′（x），相应的切线方程为y-y=f′（x）（x-x）.
二、用导数判断函数的单调性
例2．求函数y=x-3x-1的单调区间.
分析：求出导数y′，令y′>0或y′
解：y′=3x-6x，由y′>0得3x-6x0，解得x0或x2.
由y′
故所求单调增区间为（-∞，0）∪（2，+∞），单调减区间为（0，2）.
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）
三、用导数求函数的极值
例3．求函数f（x）=x-4x+4的极值.
解：由f′（x）=x-4=0，解得x=2或x=-2.
当x变化时，y′、y的变化情况如下：
当x=-2时，y有极大值f（-2）=-，当x=2时，y有极小值f（2）=-.
方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′（x）；（2）求f′（x）=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x）的左右侧，导函数f′（x）的符号如何变化，如果f′（x）的符号由正变负，则f（x）是极大值；如果f′（x）的符号由负变正，则f（x）是极小值.注意：如果f′（x）=0的根x=x的左右侧符号不变，则f（x）不是极值.
四、用导数求函数的最值
例4.（2005年全国卷Ⅱ）已知a≥0，函数f（x）=（x-2ax）e．（1）当x为何值时，f（x）取得最小值？证明你的结论；（2）设f（x）在［-1，1］上是单调函数，求a的取值范围．
分析与解：（1）对函数f（x）求导数，得f′（x）=（x+2x-2ax-2a）e．
令f′（x）=0，得x+2（1-a）x-2a=0．
解得x=a-1-，x=a-1+，其中x＜x.
当x变化时，f（x），f′（x）的值变化如下表：
f（x）在x=x处取得极大值，在x=x处取得极小值．
a≥0，x＜-1，x≥0，f（x）在（x，x）上为减函数，在（x，+∞）上为增函数．
而当x＜0时，f（x）=x（x-2a）e＞0；当x=0时，f（x）=0.
所以当x=a-1+时，f（x）取得最小值．
（2）当a≥0时，f（x）在［-1，1］上为单调函数的充要条件是x≥1，即a-1+≥1，解得a≥．
于是f（x）在［-1，1］上为单调函数的充要条件是a≥，即a的取值范围是，+∞．
五、证明不等式
例5.（2004年高考天津卷）已知函数f（x）=ax+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x，x∈（-1，1），不等式|f（x）-f（x）|＜4恒成立．
分析与解：从函数的性质及导数与函数极值的关系着手．
（1）由题意f（-x）=-f（x），x∈R，得d=0．
由f′（x）=3ax+c，f（x）在x=1处取得极值，必有f′（1）=0，
故3a+c=0①
由f（1）=-2，得a+c=-2 ②
联立①②，得a=1，c=-3，因此f（x）=x-3x．
求出f′（x）后，经判断知f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）上是减函数．其极大值为f（-1）=2．
（2）由（1）知，f（x）=x-3x在x∈［-1，1］上是减函数，且f（x）在［-1，1］上的最大值M=f（-1）=2，最小值m=f（1）=-2.所以，对任意x，x∈（-1，1），恒有|f（x）-f（x）|＜M-m=2-（-2）=4.
方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型.其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”.
六、求方程的根的个数
例6.已知函数f（x）=x-x+2的定义域为［-2，t］（t∈N），设f（-2）=m，f（t）=n.
（1）若函数f（x）在［-2，t］（t∈N）上为单调函数，求t的值；
（2）求证：n＞m；
（3）当t取哪些值时，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）上有三个不相等的实根？并求出相应的实数p的取值范围.
分析与解：（1）f′（x）=x（x-2），由f′（x）＞0得x＜0或x＞2，f（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减，所以t≤0，又t∈N，故t=0；
（2）因为f（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减，所以f（x）在x=2处取得极小值f（2）=，又f（-2）=-＜=f（2），所以f（x）定x=-2在处取得最小值，从而当t∈N时，f（-2）＜f（t），即n＞m；
（3）由（1）知f（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减，故当t=0或t=2时，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）最多只有两个实根，所以t≥3，且t∈N.当t≥3，且t∈N时，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）上有三个不相等的实根，只需满足p∈（max{f（-2），f（2）}，min{f（0），f（t）}）即可.如下***所示，因为f（-2）=-，f（2）=，f（0）=2，f（3）=2，且f（t）≥f（3）=2，因而p∈（，2）.
方法提升：研究方程的根的个数（或y=f（x）***像与直线y=p的交点个数）的问题实质上是研究函数的单调性和最值的问题.如能画出***像来分析，则更加直观.
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值，以及切线问题.在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识.
参考文献：
［1］普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）.
［2］高中数学教学参考.
［3］高中数学考试研究转贴于中国论文***中心省略.
注：本文中所涉及到的***表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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