学文网关于证明几个方程至少有一个有或无实根类问题，若从正面分类证明，将会很复杂，而且容易出错，不妨采取转化法，将所证结论转化成另一种含义不变或相反，而说法有变且有利于理解的结论，从而达到快速简捷得证的目的，现举几例以示说明.
例1 求证：不论a为何值时，关于x的两个方程x2-ax-（a-1）=0和ax2+x+a+2=0中，至少有一个无实数根.
分析 按a是否为0两种情况讨论，若a=0，问题很快得证；若a≠0，则两个方程都是关于x的一元二次方程，就只需证明两个方程的判别式至少有一个小于零即可.而本题根本证明不出哪一个判别式小于零，如果将问题转化为讨论两个判别式之和的符号，就简捷得多.因为只要Δ1+Δ2
证明 （1）当a=0时，方程x2-ax-（a-1）=0变形为x2=-1，此方程无实数根，这就已经不必再讨论第二个方程的根的情况了，因此问题得证.
（2）当a≠0时，设已知两方程的判别式分别为Δ1、Δ2.因为Δ1+Δ2=（-a）
例2 求证：不论a为2以外的任何值、方程x2+4x-4a+12=0与2x2-4ax+2a2+a-2=0中必有一个无实数根（或必有一个有实根）.
分析 因为Δ1=16a-32，Δ2=16-8a，Δ1+Δ2=8a-16，所以本题根本无法证明任何一个判别式小于零，也不能证明两判别式之和小于零，因此只有另谋它法.如果Δ1・Δ2
证明 因为Δ1=42-4（-4a+12）=16（a-2），Δ2=（-4a）2-4×2×（2a2+a-2）=-8（a-2），又因为a≠2所以Δ1・Δ2=-128（a-2）2
例3 求证：不论m为任何值，方程4x2+4x+a-1=0与4x2+4ax+a2-2a+5=0中至少有一个无实数根.
分析 设前后两个方程的判别式分别为Δ1，Δ2.Δ1=32-16a，Δ2=32a-80，Δ1+Δ2=16a-48，Δ1×Δ2=-512（a-225）2+32.
从上可发现既无法证明某一个判别式小于0，也不能证明两个判别式之和小于0，还不能证明两个判别式之积小于0，此时好象已无它法（你能有何方法吗？），我们不妨将“至少有一个无实根”转化为“最多只有一个有实根”，再转化为“不可能两个都有实根”，即“如果一个有实根，那么另一个不可能也有实根”.这样便可轻松证明.
证明 设已知两方程的判别式分别为Δ1，Δ2.则Δ1=42-4×4×（a-1）=16（2-a），Δ2=（4a）2-4×4×（a2-2a+5）=32a-80=16（2a-5）.
因为当Δ1=16（2-a）≥0时a≤2，在此条件下Δ2≤-16
当Δ2=16（2a-5）≥0时a≥25，在此条件下Δ1≤-8
所以Δ1与Δ2不可能两个都为非负数，即Δ1与Δ2中最多只有一个为非负数，也就是至少有一个为负数.所以已知两方程中至少有一个无实根.
例4 求证：不论a为何值时关于x的方程x2-ax+a=0与4x2+8ax+5a2-4a-5=0中，至少有一个有实根.
分析 “至少有一个方程有实根”可转化为“两个判别式中至少有一个为非负数”.（1）如果能证明两个判别式中任何一个为非负数，那么问题得以解决；（2）如果两个判别式之和为非负数，那么问题也得以解决；（3）如果两个判别式之积为非正数，那么问题同样可以得到解决.然而对于本题来说，这三种假设不是证明不了就是难以证明.因此还需再转化，将“至少有一个判别式为非负数”转化为“不可能两个判别式都小于零”.即由Δ1
例5 已知a、b、c是互不相等的非零实数，求证：三个方程
ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.
证明 （用反证法）设三个方程都有两个相等的实数根.
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