学文网三角函数求和，其繁杂的计算量让人望而止步，而欧拉公式的提出，使三角函数与复指数函数有了关联，从而可以将对三角函数的运算转化为复指数函数的运算，大大减少计算量。
一、三角函数简单求和
例1.求 cos（kθ）+i sin（kθ）。
分析：这是个可以化成复指数函数的典型问题，我们知道欧拉公式为
eiθ=cosθ+isinθ
分别令θ为θ和-θ，从而得到三角函数由复指数函数的表达式：
cosθ=
sinθ=
于是将上式化为 ei（kθ）为关键。
解：原式= ei（kθ）=eiθ+ei（2θ）+…+ei（nθ）
由求和公式，原式= =eiθ[ ]
再将复指数函数由三角函数表示得
原式=eiθe
=e
二、构造欧拉公式求和
例2.求证 sin（x+ky）=
cos（x+ky）= ≠0。
分析：此题的关键是构造与欧拉公式相同的形式，将三角函数与复指数函数联系起来，再由欧拉公式进行转换。
解：记A= cos（x+ky） B= sin（x+ky）
A+iB= cos（x+ky）+i sin（x+ky）
= ei（x+ky）=eix eiky=eix（1+eiy+ei（2y）+…+ei（ny））
=eix =eix
=[cos（x+ y）+isin（x+ y）]・
则我们取A+iB的实部，便是 cos（x+ky）的和，取A+iB的虚部，便是 sin（x+ky）的和，从而我们可以得证
cos（x+ky）=
sin（x+ky）=
三、复杂三角函数求和
例3.求和 Cnkcos（kx+a）及 Cnksin（kx+a）。
分析：这题在例2的基础上，与组合数学结合，我们可以在构造欧拉公式的基础上与二项式定理相联系。
记C= Cnkcos（kx+a） S= Cnksin（kx+a）。
则C+iS= Cnkcos（kx+a）+i Cnksin（kx+a）。
= Cnkei（kx+a）=eia Cnk（eix）k
=eia（eix+1）n=eia[e （e +e ）]n
=eia・e ・（2cos ）n
=2n・cosn ・e
所以C=Re（2n・cosn ・e ）=2n・cosn ・cos（a+ ）
S=Im（2n・cosn ・e ）=2n・cosn ・sin（a+ ）
从而 Cnkcos（kx+a）=2n・cosn ・cos（a+ ）
Cnksin（kx+a）=2n・cosn ・sin（a+ ）
从上面的三道例题，我们可以看出，三角函数求和问题的关键是将所求的三角函数转化为复指数函数，而转化的关键就是欧拉公式的运用与转换，构造出三角函数的实部与虚部也是解题的关键。欧拉公式在求三角函数和的应用上大大提高了计算效率、减少了计算量。
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