学文网等式的性质篇1
等式的基本性质，是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上接触到的。它是系统学习方程的开始，其中蕴涵的“化归思想”，直接给学生指明了解出方程的明确方向。同时，它也对学生后续学习不等式、函数，起着重要的基础作用。在接触这些知识时，我们可以把知识内容加以练习，再次加深等式性质的理解，为进一步深入学习相关知识奠定基础。
本节课的学习，是在学生生活中常见的、比较容易理解的实验基础上掌握等式的两个基本性质，引导学生通过观察，发现规律，为今后运用等式基本性质解方程打好基础，培养学生数学思维能力。
二、教学目标
知识与技能：理解并能用符号语言表述等式的基本性质，能用等式的基本性质解决简单问题。过程与方法：在用式子表示实验结果、讨论、归纳的活动中，经历探索、总结等式基本性质的过程。
三、教学重点与难点
教学重点：利用等式的基本性质解决简单问题。教学难点：两个等式性质的灵活运用，明确目的。
四、教学程序（分三部分教学）
（1）联系实际，激趣引入。大家可以直接看出像4x=24、x+1=3这样的简单方程的解。但是形如3x+7=32-2x的方程，仅靠观察来解就比较困难了。因此，我们还要讨论怎样解方程。方程首先是等式，所以我们要先来看看等式具有什么性质。首先激发探究兴趣，提出问题：“同学们，你用天平做过游戏吗？这节课，我们就利用天平一起来探索天平游戏中所包含的数学知识。”
（2）自主探索，合作交流。【学习等式的基本性质1】
①具体情境，感受天平平衡。利用多媒体依次展示天平***的各个操作，让学生通过观察，用语言来描述发现，与同桌交流。这样由具体演示到抽象概括，使学生记忆深刻，充分体现了学生为主体，教师为主导的原则。***1、***2的教学模式（篇幅所限，***略，下同）：先让学生观察，问：你发现了什么？然后提问：怎样变换，能使天平仍然保持平衡呢？待学生思考片刻，再进一步提问：往两边各放1个杯子，天平会发生什么变化？生口答，验证。接下去，继续提问：如果两边各放上2个茶杯，天平还会保持平衡吗？两边各放上同样的一把茶壶呢？生答，再一一演示验证。***3、***4的教学模式和前面一样。
②总结抽象，认识规律。通过上面的观察，先用一句话归纳***1和***2的内容。（等式的两边都加上或减去相同的数，等式不变。）再以第一句话为基础归纳出***3和***4的内容。（等式的两边都乘或除以相同的数等式不变，0除外。）教师指出这是等式的一个非常重要的性质，同时要让学生自己举例，检验等式的性质，加深印象。在这个过程中，要让学生认识到，我们在天平的两边同时放任何一样的东西，天平都是平衡的。让学生体会，一会儿我们在用字母表示规律时其中字母取值的任意性，再次加深学生对字母表达运算的认识，从学习的各个过程解决学生遇到的难点。
板书：等式的基本性质
（3）巩固练习，深化认识。练习题的设计，低起点，小台阶，循序渐进，符合学生接受知识的特点，培养学生的灵活性，使学生逐步获得成功的满足感。
【在横线处填空】
①用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。（4分）
1）如果x+8=10，那么x=10+___； 2）如果4x=3x+7，那么4x-___=7；3）如果-3x=8，那么x=__； （4）如果x=-2，那么__=-6.
②完成下列解方程。 （11分）
1）3-x=4. 解：两边____，得3-x-3=4_____.于是-x=______.两边____，得x=____.
2）5x-2=3x+4. 解：两边____，得____=3x+6；两边____，得2x=_____；两边____，得x=_____。
③解答题：利用等式的性质解下列方程。（20分）
1）x+3=2；2）-x-2=3；3）9x=8x-6；4）8y=4y+1
在此过程中，引导学生寻找发现问题，利用等式的性质解方程，我们要把方程化成什么形式？（X=a的形式）明确运用知识的目的，让学生学会总结分析学习内容，养成良好的学习习惯。
【课堂检测】
④解答题：利用等式的性质解下列方程。（20分）
1）x+3=2；2）-x-2=3；3）9x=8x-6；4）8y=4y+1
【拓展训练】
⑤利用等式的性质解下列方程。（20分）
1）7x-6=-5x；2）-x-1=4；3）2x+3=x-1；4）+2=+2
⑥当x为何值时，式子x-5与3x+1的和等于9？（7分）
⑦列方程并求解。 （8分）
一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，个位与十位上的数字之和是10，求这个两位数。（提示：设个位上的数字为x）
⑧如果方程2x+a=x-1的解是x=-4，求3a-2的值. （8分）
⑨等式（a-2）x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程（即x未知），求这个方程的解。（8分）
五、关注学生的学习体会和感受
等式的性质篇2
关键词：不等式；教学；策略；中职；数学
《不等式》知识是数学基础理论的一个重要组成部分，它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量的大小关系的必备知识，是进一步学习数学和其他学科的基础和工具。不等式性质是《不等式》教学的核心，在中等职业学校，教师如何更好地开展不等式性质的教学工作呢？笔者根据中职学生文化基础差、学习兴趣缺乏、逻辑思维能力弱、理解能力不强、注意力持续时间短的特点，而设计、运用了不等式性质教学的五化策略，通过实践，取得了较好的教学效果。现将此五化策略简介如下：
1.名称特征化：此策略即根据不等式性质特征而给该性质命名。通过对于各不等式冠以体现其特征的名称，才能更好的引发学生的有意注意，弥补学生记忆力欠佳、有意注意目标不明的不足。冠名有利于学生的记忆，也有利于学生的联想应用，使学生学得较轻松。
2.导入形象化：此策略即用具体形象表述不等关系，使性质内容从具体的物质的关系中抽象出来。逻辑思维能力较低的学生，通过形象化的直觉效果使学生产生共鸣，从而使其对于不等式性质的认知自觉自然，在其头脑中留下深刻印象。
3.语言自然化: 此策略即用学生日常用语来表述不等式性质。数学知识的呈现与表达方式主要有自然语言、***形语言与符号语言，数学基础差的学生习惯于自然语言、***形语言，而对于符号语言却难以理解、且不能运用其表达自己的思路。此策略解决了学生对于符号语言在表达、理解、应用上的困难。
4.理解生活化: 此策略即运用学生有生活体验的事例诠释不等式性质。数学本身来源于生产生活实际，由于符号语言表达的数学知识对于他们来说感觉枯燥，而贴近生活的事例把抽象的数学化了的知识还原，对于加深理解、掌握知识中思想内涵，提高学习兴趣、培养灵活运用知识的能力、学会数学思考是很有帮助的。
5.表达解决数学化:不等式性质教学的目的是学会利用不等式的性质对不等式进行变形，训练学生的推理能力。为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础。让学生体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结归纳抽象概括的能力。所以，最终要使学生学会运用符号语言对不等式进行证明，学会运用符号语言进行分析、推理。
不等式性质教学的五化策略的具体运用：
例1，不等式性质2（传递性）：如果a＞b，b＞c，那么a＞c
名称特征化：传递性。
导入形象化：（如下***），三个圆柱的体积依次为a、b、c，学生观察发现a＞b，b＞c，直觉告诉学生a＞c。
语言自然化：第一量大于第二量，第二量大于第三量，则第一量大于第三量。
理解生活化：一块三角板重量大于一课本重量，课本重量大于一支粉笔重量，一块三角板重量一定大于一支粉笔重量等等。
问题解决数学化：
a＞b
a-b＞0（1）
b＞c
b-c＞0（2）
由于两个正数的和还是正数，得a-b+b-c＞0
a-c＞0
即 a＞c
“两个正数的和还是正数，得 a-b+b-c＞0”，学生想不到，要培养学生的能力，就要提问，为什么会想到将a-b与b-c相加？学生一般回答不出，这里老师要重点讲解。
例2，不等式性质3（可加性）：如果a＞b，那么a+c＞b+c
名称特征化：可加性。
导入形象化：（如下***），三个圆柱的体积依次为a、b、c，学生观察发现a＞b，直觉告诉学生a+c＞b+c
语言自然化：不等式两边同时加上同一个数，所得不等式与原不等式同向。
理解生活化：我的工资比你的工资高，老板同时给我们加一样的薪，加薪后我的工资还是比你的工资高。
问题解决数学化：
a＞b
a-b＞0
a+c-b-c＞0（怎么会想到加c再减c，必须给学生分析清楚）
即 a+c＞b+c
这种证法有利于创新思维的培养。
或运用作差比较法：
（a+c）-（b+c）= a-b
a＞b
a-b＞0
（a+c）-（b+c）＞0
即a+c＞b+c
这种证明在于引导学生联想，巩固与运用作差比较法。
例3，不等式性质3之推论：如果a＞b；c＞d，那么a+c＞b+d。
名称特征化：同向可加性。
导入形象化：（如下***），四个矩形的面积依次为a、b、c，d，学生观察发现a＞b，c＞d，直觉告诉学生a+c＞b+d。
语言自然化：两个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。
理解生活化：我的工资比你的工资高，老板同时给我们加薪，给我加的薪比给你加的薪多，加薪后我的工资还是比你的工资高。
问题解决数学化：
a＞b
a-b＞0
c＞d
c-d＞0
（ a-b ）+（c-d）＞0（两个正数的和还是正数）
即 a+c＞b+d
例4，不等式 性质4（可积性）：（1）如果a＞b，且c＞0，则ac＞bc；（2）如果a＞b，且c＜0，则ac＜bc。
名称特征化：可积性。
语言自然化：在不等式两边同时乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向；在不等式两边同时乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向。
理解生活化：（1）一台某型号电脑的价钱比一辆自行车的价钱多，5台电脑的价钱显然比5辆自行车的价钱多。（2）某企业员工甲比乙每月的奖金多，由于甲乙在生产中出了事故，依规定甲乙都将受到从工资中扣出月资金两倍工资的处罚。显然，甲受罚扣出的工资比乙受罚扣出的工资多。
问题解决数学化：
（1） a＞b
a-b＞0
c＞0（怎么会想到（a-b）c，必须给学生分析清楚思路是怎样形成的）
（a-b）c＞0
即ac＞bc
（2） a＞b
a-b＞0
c＜0
（a-b）c＜0
即ac＜bc
例 5，证明不等式：＞（其中a、b、m均为正数且a＞b）
导入形象化：在一杯糖水中添加糠后，所得糖水一定比原糖水更甜。这个事例对于学生来说是显然的。
语言自然化：分式的分子分母加上同一个数，所得分式一定大于原分式。
理解生活化：在一杯糖水中添加糠后，所得糖水一定比原糖水更甜。
问题解决数学化：
证明：-==＞0
＞
参考文献：
等式的性质篇3
关键词：不等式；教学；策略；中职；数学
《不等式》知识是数学基础理论的一个重要组成部分，它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量的大小关系的必备知识，是进一步学习数学和其他学科的基础和工具。不等式性质是《不等式》教学的核心，在中等职业学校，教师如何更好地开展不等式性质的教学工作呢？笔者根据中职学生文化基础差、学习兴趣缺乏、逻辑思维能力弱、理解能力不强、注意力持续时间短的特点，而设计、运用了不等式性质教学的五化策略，通过实践，取得了较好的教学效果。现将此五化策略简介如下：
1.名称特征化：此策略即根据不等式性质特征而给该性质命名。通过对于各不等式冠以体现其特征的名称，才能更好的引发学生的有意注意，弥补学生记忆力欠佳、有意注意目标不明的不足。冠名有利于学生的记忆，也有利于学生的联想应用，使学生学得较轻松。
2.导入形象化：此策略即用具体形象表述不等关系，使性质内容从具体的物质的关系中抽象出来。逻辑思维能力较低的学生，通过形象化的直觉效果使学生产生共鸣，从而使其对于不等式性质的认知自觉自然，在其头脑中留下深刻印象。
3.语言自然化: 此策略即用学生日常用语来表述不等式性质。数学知识的呈现与表达方式主要有自然语言、***形语言与符号语言，数学基础差的学生习惯于自然语言、***形语言，而对于符号语言却难以理解、且不能运用其表达自己的思路。此策略解决了学生对于符号语言在表达、理解、应用上的困难。
4.理解生活化: 此策略即运用学生有生活体验的事例诠释不等式性质。数学本身来源于生产生活实际，由于符号语言表达的数学知识对于他们来说感觉枯燥，而贴近生活的事例把抽象的数学化了的知识还原，对于加深理解、掌握知识中思想内涵，提高学习兴趣、培养灵活运用知识的能力、学会数学思考是很有帮助的。
5.表达解决数学化:不等式性质教学的目的是学会利用不等式的性质对不等式进行变形，训练学生的推理能力。为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础。让学生体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结归纳抽象概括的能力。所以，最终要使学生学会运用符号语言对不等式进行证明，学会运用符号语言进行分析、推理。
不等式性质教学的五化策略的具体运用：
例1，不等式性质2（传递性）：如果a＞b，b＞c，那么a＞c
名称特征化：传递性。
导入形象化：（如下***），三个圆柱的体积依次为a、b、c，学生观察发现a＞b，b＞c，直觉告诉学生a＞c。
语言自然化：第一量大于第二量，第二量大于第三量，则第一量大于第三量。
理解生活化：一块三角板重量大于一课本重量，课本重量大于一支粉笔重量，一块三角板重量一定大于一支粉笔重量等等。
问题解决数学化：
a＞b
a-b＞0（1）
b＞c
b-c＞0（2）
由于两个正数的和还是正数，得a-b+b-c＞0
a-c＞0
即 a＞c
“两个正数的和还是正数，得 a-b+b-c＞0”，学生想不到，要培养学生的能力，就要提问，为什么会想到将a-b与b-c相加？学生一般回答不出，这里老师要重点讲解。
例2，不等式性质3（可加性）：如果a＞b，那么a+c＞b+c
名称特征化：可加性。
导入形象化：（如下***），三个圆柱的体积依次为a、b、c，学生观察发现a＞b，直觉告诉学生a+c＞b+c
语言自然化：不等式两边同时加上同一个数，所得不等式与原不等式同向。
理解生活化：我的工资比你的工资高，老板同时给我们加一样的薪，加薪后我的工资还是比你的工资高。
问题解决数学化：
a＞b
a-b＞0
a+c-b-c＞0（怎么会想到加C再减C，必须给学生分析清楚）
即 a+c＞b+c
这种证法有利于创新思维的培养。
或运用作差比较法：
（a+c）-（b+c）= a-b
a＞b
a-b＞0
（a+c）-（b+c）＞0
即a+c＞b+c
这种证明在于引导学生联想，巩固与运用作差比较法。
例3，不等式性质3之推论：如果a＞b；c＞d，那么a+c＞b+d。
名称特征化：同向可加性。
导入形象化：（如下***），四个矩形的面积依次为a、b、c，d，学生观察发现a＞b，c＞d，直觉告诉学生a+c＞b+d。
语言自然化：两个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。
理解生活化：我的工资比你的工资高，老板同时给我们加薪，给我加的薪比给你加的薪多，加薪后我的工资还是比你的工资高。
问题解决数学化：
a＞b
a-b＞0
c＞d
c-d＞0
（ a-b ）+（c-d）＞0（两个正数的和还是正数）
即 a+c＞b+d
例4，不等式 性质4（可积性）：（1）如果a＞b，且c＞0，则ac＞bc；（2）如果a＞b，且c＜0，则ac＜bc。
名称特征化：可积性。
语言自然化：在不等式两边同时乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向；在不等式两边同时乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向。
理解生活化：（1）一台某型号电脑的价钱比一辆自行车的价钱多，5台电脑的价钱显然比5辆自行车的价钱多。（2）某企业员工甲比乙每月的奖金多，由于甲乙在生产中出了事故，依规定甲乙都将受到从工资中扣出月资金两倍工资的处罚。显然，甲受罚扣出的工资比乙受罚扣出的工资多。
问题解决数学化：
（1） a＞b
a-b＞0
c＞0（怎么会想到（a-b）c，必须给学生分析清楚思路是怎样形成的）
（a-b）c＞0
即ac＞bc
（2） a＞b
a-b＞0
c＜0
（a-b）c＜0
即ac＜bc
例 5，证明不等式：＞（其中a、b、m均为正数且a＞b）
导入形象化：在一杯糖水中添加糠后，所得糖水一定比原糖水更甜。这个事例对于学生来说是显然的。
语言自然化：分式的分子分母加上同一个数，所得分式一定大于原分式。
理解生活化：在一杯糖水中添加糠后，所得糖水一定比原糖水更甜。
问题解决数学化：
证明：-==＞0
＞
参考文献：
等式的性质篇4
课标联接：理解等式的性质，利用等式的性质来解方程，提高我们用所学的数学知识解决数学中的实际问题的能力，树立我们应用数学的意识。
学习目标：
（1）知识与能力：①、理解等式的性质（A层）②、掌握等式的性质解方程（B层）③、能够灵活应用等式的性质解决相关的问题（C层）。
（2）过程与方法：①经历用天平探索等式的性质的过程，培养学生的动手能力和善于观察、总结的能力；（A层）；②经历用等式的性质解一元一次方程的过程，培养学生的计算能力和应用能力（B层）；③在利用等式的性质解方程的过程中，感悟数学问题的探索性和条理性。（C层）。
（3）情感、态度和价值观：经历用天平探索等式的性质的过程，让学生体验到数学是从实际生活中产生的，同时又应用于实际生活中，由此感受数学的实用价值
学习重点：等式的基本性质
学习难点：用等式的基本性质解方程。
学习时间：一课时。教学方法：分层次教学、讲授、练习相结合。学习过程：
一、创建问题情境，导入课题
问题：同学们，4x=24，x+1=3是方程吗？你们能够看出它们的解吗？但是仅靠观察来解比较复杂的方程是困难的。因此我们还有讨论怎样解方程。首先我们先看看等式具有一些什么样的性质。
二、讲授新课
1、探索规律
像m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y，这样的式子，都是等式，我们通过以下实验来探索一下等式的一些性质。
实验一：观察总结在平衡的天平两边加同样重的砝码，天平两边是什么样的状态？在平衡的天平两边都减同样重的砝码，天平两边又是什么样的状态？规律总结：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
用式子表示：如果a=b，那么a±c=b±c
实验二：观察总结
在平衡的天平两边都加同样倍数的小铁球和砝码，天平两边是什么样的状态？在平衡的天平两边都减同样倍数的小铁球和砝码，天平两边是什么样的状态？规律总结：等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
用式子表示：如果如果a=b，那么ac=bc如果如果a=b，那么=
2、范例点击，应用所学
例1利用等式的性质解下列方程
（1）x+7=26（A层）
（2）-5x=20（A层）
（3）-x-5=4（B层）分析：要使方程x+7=26转化成x=a（常数）的形式，需去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出x的解。你可以类似地考虑另两个方程如何转化为x=a的形式吗？
解：（1）两边减7，得x+7-7=26-7，于是x=19
（2）两边除以-5，得=于是x=-4
（3）两边加5，得-x-5+5=4+5，化简，得-x=9两边乘-3，得x=-27
三、巩固练习
等式的性质篇5
第一章 证明（二） 一、全等三角形的判定及性质1性质：全等三角形对应 相等、对应 相等2判定： 分别相等的两个三角形全等（SSS); 分别相等的两个三角形全等(SAS) 分别相等的两个三角形全等(ASA) ④ 相等的两个三角形全等(AAS) ⑤ 相等的两个直角三角形全等（HL）二. 等腰三角形1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．3. 推论：等腰三角形 、 、 互相重合（即“ ”）．4. 等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 ；等边三角形是轴对称 ***形，有 条对称轴.判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形.三.直角三角形1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的 等于 的平方．逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ．2. 含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 等于 的一半.3.直角三角形斜边上的中线等于 的一半。 要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． ②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法．四. 线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到 的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 .2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.五. 角平分线1. 角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到 的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做 2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是 的关系;不等式表示的是 的关系.3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 大于等于0(≥0) 0和正数 不小于0非正数 小于等于0(≤0) 0和负数 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向 ,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向 ,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 ,即:如果a>b,并且cb;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a0 a=b a-b=0 a
等式的性质篇6
根据这几年课程改革实验的经验和出现的问题，在深入调查、认真研讨和广泛征求意见的基础上，《数学课程标准（2011年版）》颁发，从基本理念、课程目标、课程内容到实施建议都更加准确、规范、明了和全面。特别是对教师反映较多的问题也进行了调整，如在“数与代数”一节，将第二学段的内容“理解等式的性质，会用等式的性质解简单方程”，改为“能解简单的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。这样安排，主要是考虑到中小学关于方程解法的衔接问题。另外，新教材降低了难度，不要求死记硬背，使学生容易理解，这样教学设计与以后学习解比较复杂的方程统一了起来，对学生的发展是有利的。
在以前的小学数学教学大纲中，解简易方程的根据是加减乘除法各部分间的关系：
加数+加数=和
加数=和-加数
被减数-减数=差
被减数=差+减数
减数=被减数-差
因数×因数=积
因数=积÷因数
被除数÷除数=商
被除数=除数×商
除数=被除数÷商
基于上述理念，在解简易方程时学生首先要明确方程的主结构类型是加减乘除中的哪一种，搞清未知数（或含未知数的式子）在方程中相当于四则运算的哪一种数（如是被除数还是除数，是积还是因数，是被减数还是减数），然后建立相应的关系式，再根据运算规律把关系式变形为较简单的方程。有了上面的基础，学生再观察新的方程次结构类型是加减乘除中的哪一种，将方程变形为更简单的方程，直到最后求出未知数的解。按照上面思路，利用加减乘除各部分间的关系可以解出所有的简易方程。
《数学课程标准（实验稿）》中对此部分内容的规定是：理解等式的性质，会用等式的性质解简单方程。课程标准利用“天平”为学习等式的性质提供了一个情境：等式类似于一架天平，等式中的等号表示处于平衡状态。这个情境用天平平衡的道理，形象直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解，让学生明白在等式的两边同时进行相同的运算，那么平衡就得到了维持，这其实正是等式的基本性质，然后利用等式的基本性质解方程。因此用等式的性质解方程，学生是很容易理解的。
《数学课程标准（实验稿）》对这一教学内容做如此改动的原因是：根据四则运算的互逆关系解方程，属于算术领域的思考方法；用等式性质解方程，属于代数领域的思考方法，而中学学习解方程用的是代数的方法。两者有联系，但后者是前者的发展与提高。这样，在解方程的教学中，学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，思维水平得到提高。所以，《数学课程标准（实验稿）》里明确规定：在小学阶段学习解方程也是利用等式的性质，这样中学学习将不用再另起炉灶，小学与中学数学的衔接得到了加强。
《数学课程标准（实验稿）》还指出，因为学生尚未学习正负数和分式方程的有关知识，因此a-x=b和a÷x=b类的方程不适合在小学阶段学习，故而将它们回避掉了，只出现了未知数x做加数、被减数、因数、被除数的形式。可是在人教版教材及各类考试中却依旧出现了a-x=b和a÷x=b类的方程题，学生很迷茫。这时教师教学生利用等式的性质来解方程，学生不太容易理解。
《数学课程标准（实验稿）》规定利用等式的性质来解简易方程，本意是与中学一元一次方程的解法保持一致，但在实践中却事与愿违。一是造成某些简易方程在小学不能解；二是小学生在没有相应铺垫的情况下不习惯此解法，经常出现各种莫名其妙的错误；三是小学生熟悉的加减乘除法各部分间的关系不能在解简易方程时进一步得到巩固；四是若在小学就讲用等式的性质来解方程，则在中学学习不等式的解法时不等式的性质与等式的性质不能有效对比。
等式的性质篇7
关键词： 伴随矩阵 基本性质 证明过程
伴随矩阵是高等代数中非常重要的概念，它在矩阵理论中占有非常重要的地位，因此对它的研究意义重大。然而在高等代数学习中，大部分学生对伴随矩阵的学习效果不是很理想，总存在对伴随矩阵问题无从下手等问题，笔者认为主要的原因是他们对伴随矩阵的概念和基本性质理解不透彻。下面给出伴随矩阵的基本概念和一个基本性质，并给出由它引申的一些性质，对这些性质的证明和问题的应用有助于学生对伴随矩阵基本性质的进一步理解和强化，以及在有关伴随矩阵问题的证明过程中基本性质发挥重要的作用。
1.基本概念和基本性质
定义1：伴随矩阵：设A?P，则称A= A A … A A A A … A A … AA … A A A A … A A为A的伴随矩阵。
注意：A的伴随矩阵A是由矩阵A的每一行的代数余子式A为对应的列构成的新的矩阵。
基本性质：对A?P，恒有AA=AA=|A|E成立。
注意：上面的恒等式是对任意的方阵，不论方阵可逆与否都是恒成立的，而且通过下面的一些性质的证明，我们将会体会到此恒等式所发挥的重要作用。
2.引申性质
性质1：若A?P，则有|A|=|A|。
证明：由基本恒等式两边同时取行列式得：|A||A|=|A|，当|A|=0时，易知|A|=0，所以有结论成立：当|A|≠0时，可知结论也成立。总之，不论在什么情况下，恒有结论成立。
性质2：A?P，且A可逆，则有A可逆，（A）=（A）。
证明：由A可逆，知|A|≠0，由基本性质知A可逆或由性质1知A可逆。再由基本恒等式知（A）A=|A|E，所以（A）=|A|（A）=|A|A=A。再由基本恒等式知（A）=A，所以有结论成立。
性质3：若A，B?P，则（AB）=BA。
证明：由基本恒等式知：（AB）（AB）=|AB|E，所以，当A，B均可逆时，有（AB）=|AB|（AB）=|A||B|BA=（|B|B）（|A|A）=BA。
当A或B不可逆时，令A（l）=lE+A，B(l)=lE+B，只要l充分大，就能使A（l），B（l）都可逆。所以（A（l）B（l））=（B（l））×（A（l））。此式中的元素都是关于l的多项式，由于l充分大时，对应元素相等，因此对应元素是相等的多项式，即式中对任意l都成立。取l=0，便得（AB）=BA。
性质4：A?P，则有（A）=|A|A，(n＞2)。
证明：当|A|=0时，易知秩A￡1。因n＞2，所以秩(A)=0，从而(A)=0，故有(A)=|A|A。
当时|A|≠0时，|A|=|A|≠0，且A=|A|A，
所以(A)=|A|(A)=|A|(|A|A)=|A||A|A=|A|A。
性质5：若A，B?P，且|A|≠0，则如果B，A相似，那么B与A相似。
证明：因为B，A相似，所以存在可逆阵P，使得PAP=B，且|B|=|A|。再由|A|≠0知B也可逆。从而由基本性质可得B=|B|B。所以有B=|B|B=|B|CAC=|A|CAC=CAC，所以B与A相似。
性质6：如果A?P是正定矩阵，那么A也是正定矩阵。
证明：因为A是正定矩阵，所以A=A，|A|＞0。且存在可逆矩阵P，使得PAP=E，从而两边取转置有PA（P）=E。再由A=，所以PA（P）=|A|E。又（A）=（A）=A，知A是对称矩阵。所以A也是正定矩阵。
性质7：若A是n(＞2)阶方阵，则R(A)=n，μ±R(A)=n，1，μ±R(A)=n-1，0，μ±R(A)＜n-1。
证明：当时R（A）=n时，|A|≠0，因为|A|=|A|≠0，故R（A）=n。
当R(A)=n-1时，有|A|=0，于是AA=|A|E=0，所以R(A)=1，又因R(A)=n-1，所以至少有一个代数余子式A≠0，从而R（A）=1。
当R(A)＜n-1时，A=0，即此时R(A)=0。
3.性质的应用
例题：试求出满足A=A的一切n阶方阵A。
解：若A=0时，A=0，当然有A=A。
若0＜R（A）＜n-1，则R(A)=0，即A=0，此时A≠A。
若R（A）=n-1，则R(A)=1，当n＞2时，显然A≠A；当n=2时，设A=a bc d，则A=d -bc a不可能有A=A，因若A=A，则得a=d，b=c=0，于是A=a 00 a，这与R（A）=1矛盾，故此时也有A≠A。
若R（A）=n，则R（A）=n，于是由基本性质知A=|A|A=A，当且仅当A=|A|E。
综上可得，满足A=A的方阵是：零方阵及适合A=|A|E的可逆方阵。
4.结语
通过上面对伴随矩阵的概念和基本性质的理解，以及引申性质的证明，我们可以非常明显地看到伴随矩阵概念的理解和其基本性质在证明中的重要作用。因此，在教授这一部分内容时，我们一定要明确告诉学生，凡是有关伴随矩阵的问题，一定要想到伴随矩阵的最基本的性质，通过对它的转化来对问题的解决起到关键性的作用。我们通过这些证明的点拨可以加深对伴随矩阵的认识和深化，从而在遇到有关伴随矩阵问题时，可以在充分利用基本性质或恒等式的基础上，再结合相应的高等代数知识和有效的赏识教育的方法提高学生的学习积极性等措施，学生就能对此类复杂问题的处理真正做到举一反三，收到事半功倍的效果。
参考文献：
［1］北京大学数学系.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2004.
等式的性质篇8
关键词网络网络度社会结构优化
对于由众多子系统组成的复杂系统来说，网络模型具有一般的意义，因为复杂系统的微观动力学机制源于子系统的相互作用，宏观运动学现象源于子系统间的相干行为，网络模型正是从这两个角度来研究复杂系统的动力学及运动学行为的。再者，由多个子系统组成的复合系统大量存在于自然界、生物界及人类社会中，网络模型不仅可以提供处理这些系统的一些具体方法，而且可能具有方***上的启示，它是研究复杂系统的一种一般方法。
社会系统从本质上说是人与人社会相互作用的网络系统，这里所指的社会是广义的社会，是经济、***治、文化、狭义的社会等所有要素的综合体，因而它不仅有一般网络系统的基本性质，而且包含了经济、***治、文化等多种性质。
一、网络系统的数理描述
1、网络系统的数学描述
从数学角度看，网络系统有其特定的性质，这些性质是其一切衍生性质的基础。
（1）、网络概念
用数学语言说，网络最基本的单元(组元)是点，称为网络的顶点；点与点间由线来连接，连接顶点的线称为网络的棱。若用N表示顶点的集合，E表示棱的集合，则一个***便可表示为G(N，E)。多个点和线构成的***形即为网络，一个网络包括顶点和棱两类实体要素。
（2）、网络度概念
包含有N个顶点的网络，若任两点间都有一条棱连接，那么棱数为：
nmax＝(N-1)+(N-2)……+1＝N(N-1)/2
这是任一网络中可能有的最多连线数。显然网络中可能有的最少连线数是0。
对于含有N个顶点、n条棱的网络，我们定义其网络化程度(简称网络度)为：
ρ＝n/nmax＝2n／N(N-1)
由于n∈[0,nmax]，nmax＝N(N—1)/2，所以ρ∈[0,1]。ρ在其整个定义域[O，1]内有很多临界点，其间网络的数学性质(主要是拓扑性质)有很大不同。
（3）、网络的拓扑性质
一个系统的拓扑性质是指它的那些不依赖于“度量”的性质，确切地说是在同胚映射下保持不变的性质，它是系统固有的“结构”性质。不同的具体网络系统其度量性质可能千差万别，但其(某些)拓扑性质却可以相同，因而拓扑性质是对网络系统进行一般研究的较好角度。
网络度为ρ的网络系统，具有相应的“分支数T1”、“割点数T2”、“指数为k的点数∝k的分布g(k)”、“欧拉示性数χ(G)”、“横档数T3”等拓扑性质或称拓扑不变量。[1]以网络度ρ为指标的网络系统可分为以下几种具有不同拓扑性质的基本类型：ρ＝0的完全非连通网络，0＜ρ＜2/N的非连通网络，ρ＝2/N的连通网络，2/N＜ρ＜1的连通网络，和ρ＝1的完全网络。
2、网络系统的物理描述
（1）、物理意义上的网络系统
任何真实的网络系统，除数学性质外，还有其物理意义，物理上的网络系统是由子系统和相互作用构成的。首先，与数学网络中的“点”相对应的是所谓的“子系统”，子系统是网络系统最基本的组元，有其特定的性质，我们以Ci(t)表示网络系统中第i个子系统t时相对稳定的固有性质。其次，与数学网络中点与点间连线相对应的是子系统间的相互作用关系gij，相互作用是子系统结合成整体系统的纽带，它是子系统及整体系统存在、变化、发展的基础和动力。“相互作用是指两个子系统间传递物质、能量、信息的行为”，它有方向、强度、成分特征。[2]再者，物理意义上的网络系统，其网络度ρ的定义域仍为[O，1]，在此定义域内系统为广义的网，其间同样有一些临界点，在由临界点所分割的不同区域中，系统的相应性质有较大差别。
（2）、网络系统的对称性质
网络系统的数学性质主要是与“度量”无关的拓扑性质，而其物理性质则主要是与“度量”有关的对称性质。
①、网络系统时间对称性质
网络系统中的子系统性质Ci、子系统间相互作用gij、网络度ρ都是时间t的函数。随时间的流逝，它们变或不变及变化的方式决定了系统相应的动力学性质。
Ci、gij若是时间对称的，系统基本上是非演化的。Ci与gij时间不对称时，(Ci、gij)∝t的具体的不对称方式，决定了子系统与整体系统的具体动力学性质，系统成为具有特定演化方式的演化系统，Ci、gij、ρ时间不对称形式的丰富多彩决定了系统演化方式的丰富多彩。
②、网络系统网络空间对称性质
Ci、gij实际上都是在网络空间(i,j，…)上定义的，它们相对于网络空间的对称性质是系统重要的物理性质。
Ci、gij相对于网络空间(i,j，…)对称，会导致网络度ρ等拓扑变量相对于网络空间对称，此时系统为平衡系统，不存在内部的“势差”及结构。Ci、gij∝(i,j，…)不对称时,存在两种情况：a、ρ∝(i,j，…)不对称，系统在整体结构上是不平衡、不平权的，相互关联的子系统Ci及其相互作用gij的变化不仅决定于其固有性质，而且决定于其“结构性质”。b、ρ∝(i,j，…)对称，网络空间各处的相互作用只有强度的差别而没有“有”“无”的差别，这时ρ及其它拓扑性质都将对称。这种系统只有完全非连通网络和完全网络，它们都是结构性质对称即结构平权的。
③、网络系统嵌入空间对称性质
Ci、gij以致ρ虽然是在网络空间(i,j，…)上定义的，但是任何网络系统都有其嵌入空间，就是说都有其客观、真实的环境，因而Ci、gij、ρ同时在网络系统的嵌入空间中具有定义。
若子系统数量N、性质Ci、作用gij以致局域网络度ρ相对于嵌入空间对称，则意味着环境情况对“系统的各子系统性质”、“系统的结构性质”等是对称的，就是说不同的子系统、不同的结构所处的环境是相同的，那么这时系统的空间对称性质将完全由其网络空间对称性质决定，而与环境无关。
若系统的嵌入空间性质即环境情况相对于系统的网络空间不对称，那么这时系统的空间不对称性质，除结构上的网络空间不对称性质之外，还受环境的不对称性影响，这种环境的不对称性是系统相应方面的一个新的动力学因素。如Bénard实验中，液面上下面温度的不对称及其程度决定了系统宏观动力学状态的不同：热平衡、衡或远离平衡。[3]
④、网络系统标度对称性质
标度对称性质，是指以不同大小的尺度考察系统同一性质时其对称性的情况，它同样是系统物理性质的一个重要方面。
网络系统的Ci、gij、ρ、T2、…等变量，若具有标度对称性质，即在标度变换下保持不变，没有特征尺度，就表明系统的相应性质具有整体与部分相似的特征，是个分形，进而我们也就可以用分形理论的思想和方法对其进行分析和处理。例如：若Ci标度对称，则可对Ci相关现象进行重整化处理。[4]
网络系统的Ci等量若不具有标度对称性质，即在标度变换下发生变化，有特征尺度，那么其相应性质将不具有分形特征，系统也就不会有分形所具有的动力学性质。
⑤、网络系统非线性性质
网络系统的动力学方程，显然是所有子系统动力学方程的联立形式，系统的所有动力学性质(包括拓扑性质和对称性质)都要以一定的数学形式体现在此方程中。那么从数学角度看，网络系统动力学方程的非线性程度不同，其动力学性质会有本质差别。
上文用以刻画网络系统微观、结构、拓扑、对称等性质的量：Ci、gij、ρ、T2、T3、g(k)，及其相对于网络空间(i，j，…)、相对于嵌入空间(x，y，z，…)、相对于标度等的分布方式，在一定情况下，都可能导致系统动力学方程的非线性化，这些能导致非线性机制产生的因素的可能的共同作用，会使网络系统的非线性性质极其丰富、复杂，使系统成为强非线性的。二、网络化视角下的微观社会
在网络下视角下，人类社会成为社会网络，它在不同粗粒化程度上都有其微观规定。
1、社会网络的Ci
社会网络是以个体人为基本子系统的，在此基础上，组成各种层次、各种形式的子系统——社会主体，如：家庭、企事业单位、社团、民族国家等，它们在不同标度或条件下都扮演社会子系统的角色，具有特定的固有的社会性质Ci，他们是社会相互作用的参与者。
2、社会网络的gij
社会网络的gij是指子系统(各种社会行为主体)间所有形式的相互影响、相互作用，这种gij可以是经济的、***治的、文化的，可以是法律的、道德的、情感的，也可以是物质的、能量的、信息的。gij从质到量都是i、j、t的函数，即特定的时间、特定的作用主体，会有特定的作用gij。
3、社会网络的微观价值
微观社会主体，在其物理、生物意义之上，基本的和主要的“社会”规定是“价值和利益”。而价值和利益的大小归根结底是社会主体己占有、可占有及想占有的物质、能量、信息权力的大小，它是社会主体相关的所有Ci、gij的总和，即∑[Ci、gij]。
当然，社会评价是多元的，依不同参照系统就会有不同评价，所以在一定参照系(包括标度)下，价值和利益的高低与相应评价(好或坏)不一定一致。如：一定程度贫富差距的存在，从某些个体角度看是不公正的，而从整体系统角度看却可能有益于效率的提高。
三、网络化视角下的宏观社会
作为社会网络系统子系统的各种社会主体，其Ci即固有性质一般具有相对稳定的整体分布，所以它不是“社会”这一整体层次上的主要因素，同样gij也是较微观化的。个体是目的，整体是手段，因而社会网络系统基于微观的[Ci、gij]的网络度ρ及整体拓扑、对称性质才是描述整体的变量。这里我们就以网络度ρ为线索和切入点，来讨论社会系统的宏观价值。
l、ρ=0的社会网络系统
ρ＝0的情况实际上在现实的社会系统中是不存在的，因为如果真的ρ＝0那么将意味着所有个人完全***，也就不存在所谓的“社会”。但是它又是联系较松散的社会(gij≈0)的一种极端的典型情况，ρ＝0网络的性质有助于说明此类社会的性质。
由前文对ρ＝0网络系统动力学性质的讨论，可知此时所有子系统网络空间对称，即在结构性质上是平权的，其演化仅依赖于自身固有性质Ci和所处环境(嵌入空间)Xi两个因素。而整体系统是个纯线性可加系统，整体严格等于部分之和。就是说，ρ＝0时所有子系统的“社会”价值依赖于其自身和环境的价值，而整体系统的社会价值是所有子系统价值的算术和。
例如：社会结构极其简单的原始社会(个人为子系统，部落为整体系统)、小农社会(家庭为子系统)、古希腊城邦社会(城邦为子系统)，在一定程度上都可看作是ρ＝0的社会网络系统。
2、o＜ρ＜1的社会网络系统
在0＜ρ＜l时，包括不连通网络、连通树、非完全网络，子系统性质Ci、子系统间作用性质gij、网络拓扑性质ρ、g(k)、Tn等一般都是不对称的。
在这种情况下，社会系统各种子系统的价值及其演化特征，不仅依赖于自身固有性质Ci和环境性质Xi，而且也受约束于其在网络结构中的地位(网络空间中的座标、不对称性)。这样，不同类型子系统的***治、经济、文化价值(无论其得到的利益还是具有的影响)都有差异，这种差异依赖于网络动力学性质的差异，具体的不平权情况将由所有动力学指标(Ci、gij、ρ、g(k)、Tn等的整体不对称情况给出。
由于在整体层次上社会系统的整体性质决定于Ci、gij、ρ、g(k)、Tn等的分布，子系统间有相互作用，所以整体不等于部分之和，而且系统整体价值对不同类子系统的依赖程度不同，这种不同甚至会达到相反贡献的程度，就是说不同子系统的利益可能是相冲突的，系统整体利益与一部分子系统利益一致，而与另一部分却可能相反。
以连通树形网为例，(a)它可对应于等级结构的社会系统，这种社会中，除线形“树”外，g(1)(网络末端子系统)占N中的大部分，一般有若kl<k2，g(kl)>>g(k2)，所以树形等级结构是极其不平等的，系统的大部分利益(gij)集中于小部分割点级别高、指数级别高的类网络中心子系统。(b)但是此类系统易于产生源于中心子系统的(它组织的)整体宏观现象，这种性质在不同环境下会有不同的评价，在一定意义上它有效率但弱于公平，因而适于效率优先系统，不适于公平优先系统；在另一种意义上，可能正相反。(c)它虽然是连通的，但任何两个子系统间只有一个或较少途径相连接，因而这种连接是较脆弱的，系统的稳定性较差，易于发生大的振荡。(d)由于物质、能量、信息等所有作用gij的传输速度都是有限的，所以此类系统的控制能力、稳定性、灵活性与网络度ρ正相关，进而与其规模成反比(ρ＝1/N)。例如：封建等级社会、纯计划经济体制、***统治的社会等在一定程度上都具有上述特征。
3、ρ＝1的社会网络系统
ρ＝1时，所有社会子系统网络空间性质对称，网络结构平权，其价值大小及演化特征基本上依赖于自身固有性质和环境性质，这是一种“网络机会均等”的社会。
由于子系统可以两两相互作用，也有不作用的自由，所以整体系统的价值也不等于部分之和，整体与部分间的关系是复杂的非线性情况，它与具体的网络性质有关，如初始Σgij分布、ΣCi分布等。在一定条件下，整体价值既可能增长，也可能减少；可能极其稳定，也可能极不稳定。总之，一般强非线性系统所有的行为，在此类社会系统中都可能出现。
综上所述，在网络度ρ变化范围内，社会系统中不同子系统的动力学性质相对于网络空间越对称，其动力学行为的差异越依赖于自身固有性质Ci和环境性质Xi的差异；动力学性质相对于网络空间越不对称，其动力学乃至运动学行为的差异就不仅依赖于自身和环境性质，而且在越来越大程度上依赖于其在系统网络结构中的位置。例如：市场经济网络体系中，子系统(经济主体)“机会均等”，那么其价值、生存机会、发展前景等的分布就较大程度地依赖于其自身素质、选择策略、初始条件、地理环境等自身及环境因素。
整体层次上，网络化程度ρ越高，社会系统动力学方程中可以出现更多种类和数量的非线性项；随着非线性程度的加强，系统在运动学上可以表现出种种复杂现象。就是说，网络度越高，系统可能的非线性程度越高，非线性程度越高使其运动机制越复杂，运动现象越多样。四、社会系统的结构优化
具有以上微观及宏观性质的社会网络系统，有其特定的动力学及运动学规律。在结构上从不同角度、侧面看，人类现实社会基本上可划分为两种类型：类树式结构和类网式结构，它们分别可以“树，ρ＝1/N”和“完全网络，ρ＝1”为典型的极端的代表。从网络系统基本性质出发，比较此两种类型结构的优缺点，有益于我们认识、选择合理的社会结构方式。
1、树式社会结构的优缺点
由于任何子系统处理与其直接相关的作用Σ(gij,gji)的(时间、空间、物质、能量、信息)能力有限，所以非两两相互作用的树式结构方式是必要的，也是经常的、现实的；而且树式结构在一定条件下受结构中心影响、控制，具有高效率的特点，所以此结构方式仍是不可或缺的。
从交换经济角度看，交易可提高交易双方及整体的效用，此结论可延伸至整个社会相互作用中，在这个意义上，网络系统中指数越大的子系统所获得的利益越大，因而指数的不同意味着利益条件的差异。树式结构中，除线式外，一般有：若kl<k2，g(kl)>g(k2)，且g(kl)／g(k2)≈k2，所以树式结构是极不平等的，系统的大部分利益(gij)集中于小部分子系统中。
树式结构社会的各种性质网络空间不对称、不平权，子系统价值在相当程度上受结构性质的约束较强，其gij∝（i，j）分布将在相应程度上偏离Ci∝（i，j）和Xi∝（i，j）分布，因而社会系统有限的人力资源和自然资源将不能最优配置，存在较大的进一步优化的空间。
2、网式社会结构的优缺点
系统各种性质在网络空间中对称、平权的结构中，子系统价值更大程度上依赖于其固有性质和环境性质，即Ji∝（Ci，Xi），而Ji不∝（i，j），(gij,gji)和Ci相关性更大，因而社会系统整体上人力资源与自然资源能较优配置。
但是，网式结构的非线性程度可能很高，导致其不确定性、复杂性、不可控性、不可预测性等较强，因而网式结构在小概率上存在较大系统风险，如资本自由流动与亚洲金融危机的关系。
3、社会网络系统的结构选择
综合树式结构社会和网式结构社会的优缺点，我们看到，网式结构支持公平功能，树式结构支持效率功能。因而，一般地社会控制（执行）子系统或规模较小的系统可采用树式结构，社会观测（信息采集）子系统或规模较大的系统适于采用网式结构。这一结论从以下两个角度看，也是正确的。
其一，从系统的适应性角度看
由于任何作用(gij)的传播速度都是有限的，而且都是有成本的，整体系统的构建是通过子系统间的作用gij实现的，所以网络系统的灵活性、稳定性、调控能力等即适应性与其网络度ρ相关。而树式结构社会系统的ρ＝l／N，它与系统规模大小N成反比，网式结构社会系统的ρ＝1，与系统规模基本无关。可见，对于规模较小的系统来说，树式结构与网式结构的ρ差别不大(N越小ρ越趋近于1)；而系统规模越大，树式结构的ρ越小，网式结构的ρ却不变。所以，小系统采取树式和网式结构均可，而大系统则更适于采用网式结构。
现实情况也是如此，具体企业、家庭、小团体等实行树式结构并不影响其功能与适应性等性质，而大系统的树式结构却有很多弊端，如计划经济体制灵活性较差。
其二，从系统的优化机制角度看
树式子系统的优化(优胜劣汰)机制，可由整体系统层次内子系统间的竞争完成。而整体层次上却没有有效、持久的、短时标、高效率的优化竞争机制，所以更适于采用具有适应性的网式结构。
中国现实社会在很大程度上仍是宏观整体层次——树式结构(计划色彩很浓的经济、文化、***治体制)，微观个体层次——网式结构(法人经济主体地位远未确立，自然人微观约束较强)，改革开放要实现的社会转型目标：宏观上，建设市场经济、法制国家、民主建设、加入WT0……；微观上，建立现代企业制度、实行聘任制、鼓励人才流动……，正是要实现向宏观网式结构、微观树式结构的转变。
参考文献
[1]В.Г.巴尔佳斯基，В.А.叶弗来莫维契，《拓扑学奇趣》，北京大学出版社，1987年版。
[2]张本祥、孙博文，《社会科学非线性方***》，哈尔滨出版社，1997年版第62页。
等式的性质篇9
论文摘要：对高等教育质量高低的评判取决于判断主体的价值取向。***府、社会、学生、学校都有各自的价值取向和质量标准。根据接受高等教育的动机，学生维度教育质量的价值取向有合就业性取向、合学术性取向、合素质性取向和合创业性取向等向度。实施“自助式”培养是实现学生维度价值取向的较好途径。
一、高等教育质量与价值取向
作为主体的人的全部激情、意志和活动过程无不服膺于一定的价值取向。教育质量高与低，从根本上说，是当事主体对教育质量有没有达到其期望的质量标准或满足其主体需要的程度而作出的一种价值判断。高等教育的质量是一个既成的事实，对质量高低的判断取决于判断主体的质量标准和需要内容，而质量标准和需要内容是由判断主体的价值取向所决定的。比如，我们假设高等教育培养出了一批有知识、少能力、无创新的人才。在以知识为价值取向者看来，质量是高的；在以能力为价值取向者看来，质量是不高的；而在以创新为价值取向者看来，质量是低的。从这个意义上说，高等教育质量的高低不在高等教育质量本身，而在于判断主体对高等教育质量的价值取向。
一般说来。高等教育质量判断主体主要由***府、社会、学生、学校几方面构成。各方都有各自的价值取向和质量标准。
(一)***府：合规定性取向
所谓合规定性取向，是指高等教育人才培养的质量以符合国家相关质量规定的程度为标准的价值取向。在我国，***府是高等教育主要的办学主体。一方面，***府不能过多、过细地干预高等学校的具体办学事务；另一方面，却又承担着高等教育质量监控的责任。在这两难的境地中，***府只有通过法规、经济、***策等手段促进和规范高等教育的发展，通过对***策、文件等规范执行的检查和评估，调控和保障高等教育的质量。***府为人才培养制定了相关的质量标准，高等学校参照执行，如果人才的质量达到或超过了所规定的标准，那么，其质量就是高的。
(二)社会：合需要性取向
所谓合需要性取向，是指高等教育培养的人才以满足社会发展与用人单位需要的程度为质量标准的价值取向。伴随着社会分工的不断细化和毕业生就业分配制度的改革，高等学校与人才市场、用人单位的联系密切增加，社会与用人单位成了高等学校学生就业中竞相争取的用户。在用户的眼里，高等教育应该以培养经济社会发展急需的或人才市场紧缺的毕业生为己任，其质量的高低要以高等教育所培养的人才在实际工作中的能力、素质表现以及对社会发展所作贡献大小的程度来衡量。社会希望高等学校对不同人才需求主体进行人才需要类型、人才层次的预测和分析，根据用人单位的实际需要开展教学改革，以多样化的优质教育服务、合理的专业知识与能力结构设置，为社会培养能满足其多样化人才需求的复合型人才。
(三)学生：合发展性取向
所谓合发展性取向，是指高等教育的质量以满足受教育者个体自我价值实现程度为标准的价值取向。在学生的视野中，高等教育只要能够满足其个体的个性发展和主体自我实现的需要，养成其个性生长和主体提升所必须具备的各种能力与潜质，其质量就被看作是高的。这种价值取向，看重的是受教育者作为人所应该具有的自由性、独特性和自我指导性，看重的是受教育者个体的自由发展和心智的自由发展、完善，看重的是受教育者作为自主的人在高等学校的培养下完成个体发展、自我实现所需要的各种储备。也就是说，高等学校的人才培养工作，要以学生的发展为宗旨，高等教育的质量的高低应该根据学生的受益情况和学生是否获得了最大限度的发展来判断。
(四)学校：合适应性取向
所谓合适应性取向，是指高等教育的质量以是否遵循教育的自身规律，适应***府、社会、学生多元需求为标准的价值取向。合适应性取向视不同的主体又可分为内适应性取向、外适应性取向、个适应性取向三个维度。内适应性指的是高等学校人才培养自我完善的程度。它强调的是高等学校提供的教育服务同其根据教育自身规律而设立的人才培养目标之间的契合度，关注的是学科体系、教学内容、学术规范自身的构建、扩张、演绎和繁衍；外适应性指的是高等学校人才培养的质量满足国家、社会、用人单位需要的程度。它以社会需要的满足程度为质量评价准则，关注的是社会导向、市场导向等外部需要在高等教育人才培养中的作用程度；个适应性指的是高等教育满足学生的个性、主体性完善的程度。这种质量标准的价值取向，赋予学生教育主体的地位，淡化外部功利和知识目的的追求，将学生潜质的开拓和发展作为人才培养的首要任务，强调满足学生个体自我发展、自我完善的需要。以上三个维度价值取向的关系是辩证统一的。内适应性价值取向是高等教育基本规律在高等教育质量上的本质体现，是外适应性价值取向和个适应性价值取向的前提；外适应性价值取向是高等教育合法存在的基础；个适应性价值取向是高等教育质量追求的终极目标。就目前情况看，高等学校只有满足内适应性、外适应性和个适应性价值取向的多样化需求，其质量才会是高的。
二、学生维度高等教育质量的价值取向
学生对高等教育质量的价值取向有宏观与微观之分。“合发展性取向”是学生对高等教育质量的宏观价值取向。个体对教育的需要，影响着教育价值取向的确定。由于每个学生的需要各不相同，其教育质量的价值取向就会个性迥异。有的学生将发展的需要放在首位，就会致力于提高素质、培育个性，将高等教育看成是人格完善的手段；有的学生将生存的需要放在首位，就着力追求职业技术、职业能力的培养与训练，将高等教育视为一种未来谋生的手段；有的学生将享受的需要放在首位，就会将高等教育当作获得文凭、提升地位、取得收益的手段。因此，根据接受高等教育的不同动机，在微观上，我们又可将学生对高等教育质量的价值取向划分成如下方面。
(一)合就业性取向
所谓合就业性取向，是指高等教育的质量以受教育者个体就业目标实现程度为标准的价值取向。高等教育实现大众化以后，个体就业取向的社会定位给高等教育的价值取向烙上了鲜明的时代印记，职前准备成了高等教育必须面对的价值选择。学生对社会职业能力养成的需求打破了长期以来大学教育仅仅培养社会精英的传统。满足多样化社会需求的价值取向致使精英教育质量标准发生分化，为职业性、实用性人才搭建了良好舞台。当前，能够找到一个称心的工作，依旧是学生读大学的主流动机。持此价值取向者，除了实现促进个体全面发展这个接受高等教育的终极目标外，最实际的目的就是为了就业。他们看重的是高等教育与社会需求之间的吻合程度，希望获得本专业职业所需的系统知识，受到模拟社会实际的能力训练，为未来日趋激烈的职业竞争奠定谋求自身发展的理论、能力和素质基础。
(二)合学术性取向
所谓合学术性取向，是指高等教育的质量以受教育者个体学术理想实现程度为标准的价值取向。以学术为价值的取向是知识本位价值观在高等教育质量观上的体现。它认为高等教育是通过学术知识的传承来进行的，无论这种学术知识通过何种形态进行陈述和组织，离开了学术知识，教育就成了无源之水、无本之木。因此，高等学校作为人类社会的智慧中心，应该以培育文人雅士、造就学术精英为己任。无论世俗、功利、市场如何诱惑，高等教育都要秉持科学真理、维护学术尊严，在教育宗旨、培养目标、知识建构上追求学术本身的价值，传授高深学问、繁荣和发展文化。持此价值取向者，注重的是知识的学术价值。强调的是对科学的探究、真理的追求。认为大学教育的主要任务是对人类知识的传承和创造，其质量高低在于，在知识传承和创造过程中受教育者个体接受专业学习时知识的存储程度，和为以后继续深造所做准备的充分程度。
(三)合素质性取向
所谓合素质性取向，是指高等教育的质量以受教育者个体素质提高程度为标准的价值取向。这种价值取向是生命论质量观的演绎。它重视的是学生的需要与生命的质量，认为人的生活状态、人的生命应成为教育的第一关注对象，接下来才是对社会、经济发展的贡献。在其眼里，教育产生与发展缘起于受教育者个体和人类生活的需要，其根本价值在于改造人的生活方式、启迪人的心灵、提高人的涵养、实现人的价值。它重视的是教育促进受教育者个体发展的程度，关注的是受教育者对教育服务的满意程度。它强调受教育者的个性发展和人的志趣、才能的全方位的发掘与发挥。认为高等教育的核心意义与价值应该是，传承知识、播撒文明，提高受教育者继承、发展人类文化的意识与能力，促进人的知识与能力和谐发展，使其能够在复杂、多元的社会中发现生命的意义，享用生活的乐趣，选择正确的行为方式，实现自身的价值。
(四)合创业性取向
所谓合创业性取向，是指高等教育的质量以受教育者创业目标实现程度为标准的价值取向。随着市场经济的发展、产业结构的调整和就业观念的变化，越来越多的学生将为今后创业储备应有的能量作为自己接受高等教育的目的。在持此价值取向者看来，高等教育应该改革传统的教育教学方式，强化创业教育的功能，把创业结合、渗透到人才培养的整个过程，培养学生敢为人先的胆识谋略、洞悉市场的敏锐眼光、善抓机遇的职业灵感、求真务实的敬业精神、知人善用的组织能力、驾驭全局的管理水平。学生通过高等教育的专业学习和锻炼，掌握创业所需的知识、技术与方法，获取创业所需的素质、能力与品质，拓展自身的创业潜能，通过创建新企业、研发新产品、提供新服务，在社会经济发展的舞台上施展才华，以创业推动社会生产力的发展，达成自己的创业目标，实现自己创业理想。
三、学生维度高等教育质量价值取向的实现
由于学生个体需求、价值取向的差异，传统整齐划一的“流水线”式的高等教育模式不能满足学生个性发展的要求。我们认为，实施“自助式”培养，是实现学生维度高等教育质量价值取向的较好途径。
(一)“自助式”培养的内涵
所谓“自助式”培养是指学校为学生提供高等教育人才培养的“菜单”，学生根据各自的兴趣爱好、个性特点、价值取向，在学校有关部门或教师的指导下，按需“自助”修读课程和专业的教育培养模式。好比顾客去吃自助餐，饭店负责提供各种菜肴，顾客自己动手挑选喜欢的饭菜吃。
(二)“自助式”培养的实施过程
“自助式”培养的实施过程为：(1)学校提供课程修读清单。课程修读清单是学校品牌、办学水平、师资力量、教学质量、学校特色的集中体现，学校应该按照社会发展与学生需求及时调整课程清单，丰富课程内涵、培育新兴课程、发展新兴学科。(2)学生按需修读课程。学生根据自己的兴趣爱好、个性特长、价值取向自行修读课程。(3)学校提供修读指导。学校指定职能部门和教师为学生作所修课程前后关联性分析，为学生提供专业所需课程与实践教学环节模块的修读指导，帮助学生系统学习专业课程与实践环节，同学生一起制定学习计划、设计学习方案。(4)学校设置专业毕业标准。学生只要修满专业毕业规定的学分，所修课程和实践环节达到某一个专业教学环节的模糊相关度(如60％)，即可取得该专业学位并毕业。
(三)“自助式”培养的特点
同传统的高等教育培养模式相比，“自助式”培养有如下特点：(1)学生维度的价值取向得到实现。传统的高等教育模式以“价值一需求”为取向，其“价值”主体、“需求”主体为学校。学校根据其价值取向，围绕既定的培养目标，按照规定的课程内容、培养时间和教学进度实施人才培养，满足的是学校所认定的客体的需求。而“自助式”培养则以“需求一价值”为取向，其“需求”主体、“价值”主体为学生，是以满足学生主体个性需求为价值取向的高等教育人才培养与目标实现的过程。(2)学生的主体性作用得到体现。“自助式”培养改变了学生只能被动接受专业和课程学习的传统教育模式，学生可以根据自己的个性特长、兴趣爱好主动选择修读专业与课程，自主规划学习生涯、自主选择学习内容、自主安排学习进程，其主导意识受到尊重、主体性得到发挥。主观能动性、学习积极性和创造性得到充分调动。(3)学生的个性需求得到满足。心理学告诉我们，需求满足是人付诸行动的动力来源。当人的个性需求迟迟不能满足时，就会出现消极对抗情绪；反之，则会产生更多更强的行动动力。传统的高等教育模式将不同个性、不同需求、不同特点的学生用统一的培养过程与培养方式塑造为千人一面的“人才”，学生就像流水线上产出的元器件，毫无个性可言。“自助式”培养为不同个性的学生提供了施展个性的舞台和机会，解决了学生个性需求满足问题。
(四)“自助式”培养下的质量评价
高等教育培养模式的改变，肯定会引发教育质量评价的变化。一是质量目标的变化。传统教育模式的质量目标是学校依据***府的规定制定的，质量目标具有统一性。其质量目标的实现以高等教育培养出来的学生是否满足***府和社会需求，对社会***治、经济、文化发展和进步的贡献大小为衡量尺度。而“自助式”培养模式的高等教育质量目标，在满足***府、社会质量要求的同时，更为注重学生个体的发展与质量需求，其质量目标的实现以学生质量需求的满足程度和学生质量目标的实现程度来衡量。二是质量实现主体的变化。传统教育模式的质量实现主体是***府或受***府支配的高等学校，学校按***府的要求制订培养计划、设置培养方案、实施教学活动，学生是质量实现的被动接受者。而“自助式”教育模式中，学生是质量实现的主体。一切从学生出发成为学校人才培养的主流原则，学生拥有学习的主动权、自由权与决定权。高等教育质量实现考察的是学校服务满足学生个性发展、个体完善的程度，学生成为实现教育质量的主导者。三是质量评价标准的变化。传统教育模式的质量评价标准是唯一的。以满足***府或学校的质量要求为评价标准。为实现该标准学校常常使用统一的教学计划、教学大纲和教材。而“自助式”模式将学生的个性发展纳入质量标准的主体视野。由于学生的个性需求是多种多样的，特别是当不同的学生拥有不同的学习实施方案后，质量评价的标准就有了多元性。高等教育再也不能用一个标准去度量质量的高低了。同时，在质量评价的依据上，前者看重的是结果性的外部依据，即社会或用人单位对高等教育培养出来的人才的质量评价。而后者看重的是过程性的内部依据，即学校为学生所提供修读选择内容和服务条件的高低才是评价教育质量的主要依据。
参考文献
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等式的性质篇10
“了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程”是《数学课程标准（2011年版）》中对简易方程教学的要求。“了解等式的性质，学习解答形式为x±a=b、ax=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，并解答简单的实际问题”是青岛版等小学数学教材对方程教学的具体要求。那么形式是x±a=b、ax=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，是不是将简易方程完整地呈现了？其实，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程，笔者认为也应该属于简单的方程。但为什么教材中没有出现形式是a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程呢？是教材编写者遗漏了吗？笔者认为，遗漏是不可能的，原因其实就是利用等式的性质解简单的方程，像a-x=b、a-bx=c这几种方程，利用等式的性质来解，在方程的左边就会出现“-x”现象，而在小学阶段，学生还没有学习含有负数的计算。而a÷x=b这样的方程，利用等式的性质进行常规思考，好像也不好解答。
因为课标、教材都没有涉及像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c的方程教学，所以，很多教师在实际教学中，就尽量避免a-x=b、a-bx=c、a÷x=b的方程出现。那么这样的方程，教师真的能回避吗？笔者查阅了人教版和青岛版教材中有关方程的内容，发现：其实在这些教材中，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程还是不可避免地出现了。如青岛版小学数学四年级下册第12页第6题中的第（2）题，如下***所示。
全国小学学校数量统计***
按照教材的设计，用方程解答问题（2）时学生最好能列成方程x+3.11=42.58。但如果学生列出方程42.58-x=3.11，是不是也可以呢？这不正是a-x=b的方程形式吗？又如，青岛版小学数学四年级下册第12页中的第7题，如下***所示。
要用方程解答，问题（1）学生列出方程361.4-x=40.3、问题（2）学生列出方程219-x=16，是不是也可以？这也不正是a-x=b的方程形式吗？再如，人教版小学数学五年级上册第66页练习十二中的第2题，如下***所示。
可以发现，这道题按照设计要求，学生最好能写成5x+3=1428，但如果学生列成方程1428-5x=3其实也是可以的，这也不就是a-bx=c的方程形式吗？基于此，笔者认为在方程教学中，有些问题尽管课程标准和教材没有呈现，但教师是不能回避的。
既然不能回避，笔者认为方程教学就很值得教师来思考。有的教师认为，利用等式的性质来解决像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程，对学生来说难度过大，很多学生不能掌握，弄不好会对方程教学产生不利影响。真的是这样吗？其实笔者认为，只要教师真正抓住了等式的性质（天平的平衡原理）这一教学主线，让学生真正明白其中的道理，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程对学生来说还是能解决的，而且并不是难事，甚至对学生深刻理解等式的性质还有很好的帮助。以下是学生在笔者的引导下，解答稍复杂方程的两种不同过程，如下***。
对于第一个学生的做法，有的教师认为：等号左边应该是x，右边才是结果，学生这样写是错误的。是不是真的错了呢？笔者认为，第一个学生的做法其实是很有道理的，等号左边是x、右边是结果只是常规写法，在这种方程里学生能解出方程本身就值得表扬，毕竟对学生来说方程左边出现了“-x”是不好理解的，如果利用等式性质将“-x”转移到方程等式右边变成x，这也不失为一种很好的解决方法。对于第二种解法，学生是利用等式的性质，先将x由方程左边移到右边， “-2x”就变成了2x，然后再根据等式的性质，将方程左右两边交换位置，在不改变方程结果的情况下，却将方程变成他们能解决的形式，这其实不也正体现了学生对等式的性质（天平的平衡原理）的真正理解吗？学生利用等式的性质（天平的平衡原理）通过自己的努力解决了教材中没有的形式为a-x=b、a÷x=b、a-bx=c的方程之后，不仅加深了对等式性质（天平的平衡原理）的理解，而且学生解决数学问题的潜能也一下子被开发了出来，这对学生来说其实是非常有益的。