学文网摘 要：本文主要依据高中数学中的相关知识讨论初等函数的最大值和最小值，归纳总结出了求初等函数最大值和最小值的几种方法。
关键词：函数；最大值；最小值
中***分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-10-0161-01
一、由定义域直接求函数的最值
一次函数的最大值与最小值常与它的定义域与值域有关系， 即若y是x的函数，则由x的取值范围，并且根据一次函数的单调性，就能得到y的最大（小）值。
例1 变量x、y、z均不小于0，并满足3y+2z=3-x及3y+z=4-3x，求函数t=3x-2y+4z的最大值与最小值.
解 由3y+2z=3-x及3y+z=4-3x得，y=■（1-x）及z=2x-1.又由x、y、z均不小于0，推出■≤x≤1.再将y=■（1-x）与z=2x-1代入t=3x-2y+4z得，t=■（43x-22），它是单调递增函数，而■≤x≤1.所以，当x=■时，有最小值tmin=-■；当x=1时，t有最大值tmax=7.
二、用配方法求函数的最值
对于二次函数可以用配方法讨论它的最值情况，即二次函数y=ax2+bx+c=a（x+■）2+■（a≠0）.当a>0时，y有最小值，即当 x=-■时，ymin=■；当a
例2 设f（x）=4-■.求ymin和ymax.
解 由3+2x-x2≥0得，-1≤x≤3.又因为y=4-■， 所以，当x=1时，y有最小值ymin=y（1）=4-2=2；当x=1时，y有最大值ymax=y（-1）4.
例3 设f（x）=x2-2tx+t在区间[-1，1]上最小值为g（t），求g（t）的最大值.
解 对f（x）关于x配方得，f（x）=（x-t）2+t-t2.由已知-1≤x≤1得，当t≥1时，g（t）f（1）=1-t；当-1
三、用判别式法（也称法）求最值
判别式法就是利用二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的充要条件（≥0）来求出函数的最值，除了二次函数，对于一些常见的含有根号的无理函数，也可以利用平方法去掉根号后再根据二次函数的法来求最值，或如果一个问题中，诸量之间的关系最后可化为以某一变量为元的二次方程的形式，便可运用判别式来求最，但要注意函数的定义域对函数的制约作用。
例4 求函数y=■+■（4≤x≤6）的最值，以及函数取最值时x的取值[2].
解 显然，y>0.等式两边平方有y2=14-2x+2■， 移项再平方整理得，16x2+（4y2-176）x+y4-28y2+484=0，又由=（4y2-176）2-64（y4-28y2+484）≥0，得0≤y2≤8，又因为y>0并且y2-（14-2x）=2■≥0得y≥■，所以■≤y≤2■. 于是，当x=6时，ymin=■；当x=9/2时，ymax=2■.
参考文献
[1]人民教育出版社中学数学室编，全日制普通高级中学教科书（必修）数学[M]，第一册（上）.北京：人民教育出版社，2003.
[2]庞勇，一类函数最值的求法[J].中学数学研究，2003，3：35-35.