学文网换元是中学数学中常用数学方法.通过换元可以降低难度，简化运算.换元的关键是选择换元对象，确定换元方式.常用的换元方式有以下十种.
一、取相同部分换元
例1设对所有实数x，不等式
x2log24（a+1）a+2
xlog22aa+1+
log2（a+1）24a2>0恒成立，求实数a的取值范围.
分析考察不等式中对数式的类似结构，可考虑换元.
解设t=log2a+12a，则原不等式等价于不等式（3+t）x2-2tx+2t>0对一切x∈R恒成立，而这又等价于3+t>0，（-2t）2-4（3+t）・2t0.
于是log2a+12a>0，得
a+12a>1.
解此分式不等式，得0
二、相反数换元
例2已知af（2x-3）+bf（3-2x）=2x（a2≠b2），求f（x）的表达式.
分析2x-3与3-2x互为相反数，若设其中一个为t，则另一个为-t，代入已知条件可得含f（t）及f（-t）的式子，可先求f（t）.
解令2x-3=t，则3-2x=-t，x=
t+32，
af（t）+bf（-t）=t+3.①
在上式中以-t代t得
bf（t）+af（-t）=-t+3②
①×a-②×b，得
（a2-b2）f（t）=at+3a+bt-3b.
a2-b2≠0
f（t）=（a+b）t+3（a-b）a2-b2=ta-b+3a+b
f（x）=xa-b+3a+b.
三、倒数换元
例3解方程（4+15）x+（4-15）x=8
分析4+15・4-15=1，（4+15）x与（4-15）x互为倒数.
解设（4+15）x=t，则（4-15）x=1t，于是原方程化为t+1t-8=0，即t2-8t+1=0，解得t=4±15.
当（4+15）x=
4+15时，x=2；
当（4+15）x=4-
15时，x=-2.
点评解此题用了互为倒数的两数的特点，巧用了这一特点换元，使问题得解，值得一学.
四、设比值换元
例4设x、y、z有关系x-1=
y+12=z-23，试求w=x2+y2+z2的最小值，且求出此时x、y、z的值.
解令x-11=y+12=z-23=k，则x-1=k，y+1=2k，z-2=3k，即x=k+1，y=2k-1，z=3k+2.
w=x2+y2+z2=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2=14k2+10k+6=14（k+514）2+4314.
故当k=-514，即x=914，y=-157，z=1314时w取最小值4314.
五、代数换元
例5求函数f（x）=（a+sinx）（a+cosx）（a>0，0≤x≤π2）的最小值.
解y=sinx・cosx+a（sinx+cosx）+a2
设t=sinx+cosx，两边平方解得t2-12=sinxcosx
y=t2-12+at+a2=t2+2at2+a2-12=（t+a）22+a2-12
由0≤x≤π2知π4≤x+π4≤3π4.
而t=sinx+cosx=2sin（x+π4）
12≤sin（x+π4）≤1
1≤2sin（x+π4）≤2
1≤t≤2
当t=1，即sin（x+π4）=22，x=0时，函数f（x）取得最小值a2+a.
六、三角换元
例6求函数y=1+x-x的最值.
解函数的定义域为[0，+∞）.
令x=cot2θ，θ∈（0，π2]，则1+x=1+cot2θ=csc2θ.原函数转化为
y=csc2θ-cot2θ=cscθ-cotθ=1sinθ-cosθsinθ=1-cosθsinθ=tanθ2.
ymax=1，但没有最小值.
例7已知锐角α、β满足条件
sin4αcos2β+
cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2.
分析注意到已知条件满足公式sin2α+cos2α=1，可进行三角代换，即可换元.
证明由已知可设
sin2αcosβ=cosθ，
cos2αsinβ=sinθ，则sin2α=cosθ・cosβ，cos2α=sinθ・sinβ
上两式相加，得
sin2α+cos2α=cosθ・cosβ+sinθ・sinβ=1
cos（θ-β）=1，
θ-β=2kπ（k∈Z）
θ=2πk+β（k∈Z）
sin2α=cosβcosθ=cos2β，
cos2α=sinθ・sinβ=sin2β
α、β为锐角，
sinα=cosβ=sin（π2-β），
α=π2-β，即α+β=π2.
点评三角代换既可解代数题，又可解三角题，关键是抓特点，引进三角函数.
七、增量换元法
例8已知a>b>c，求证1a-b+1b-c+1c-a>0.