学文网内容摘要:函数极限的求法是高等数学中的重点、难点,同时也是研究函数最主要的方法之一,本文着重对二元极限的求法和二重极限的存在性进行了讨论。
关键词:二元函数;极限求法
中***分类号:O177.4 文献标识码:A
在高等数学的学习过程中,常会遇到二元函数极限求解的问题, 这对于初学者来说相对比较难,笔者通过自己的学习和经验,对二元函数极限的常用求解方法进行了总结,分析了常用的二元函数极限求解方法,以便更好的帮助初学者理解和掌握二元函数极限的求解方法。
一、二元函数的极限的定义
二元函数极限在多元函数微积分学中有着重要作用,探讨它的求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础。由于二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。
二元函数的极限与一元函数的极限非常类似,二元函数的极限同样也是二元函数微积分的基础。但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的。
定义1设f为定义在R2二元函数,P0为的D一个聚点,A是一个确定的实数。若对任给正数ε,总存在某正数δ,使得当P∈U0(P0;δ)ID时,都有|f(P)-A|
则称f在D上当PP0时,以A为极限,记作
在对于P∈D不致产生误解时,也可简单地写作
当P,P0分别用坐标(x,y),(x0,y0)表示时,(1’)也常写作
二、用定义验证的方法
先求出一个累次极限,判断其累次极限是否为二重极限,然后再用定义验证。
例1.,(x2+y2≠0),
求
解:;仔细观察可得对于任意(x,y)≠(0,0)
,当|y|
,即
例2 .求
解:任给δ>0,取 ,当,
即0
三、重极限不存在的判别方法
二元函数的海涅归结原理: 点列{Pn(x,y)},若PnP0,且Pn≠P0,则极限
由二元函数的海涅归结原理知,如果二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)点处的极限为a,是指当函数定义域内的点P(x,y)以任意路径趋于定点P0(x0,y0)时,二元函数f(x,y)的极限都是a。因此,若存在定义域内的两条不同的路径,当P(x,y)沿不同的路径趋于点P0(x0,y0)时,函数f(x,y)有不同的极限或某一条路径下的极限不存在,则f(x,y)在点P0(x0,y0)的极限不存在。常用这种在定义域内取不同的路径的方法证明函数在某一点处的极限不存在。
例3.证明二元函数当f(x,y)(0,0)时极限不存在。
证明:通过上述分析取路径y=-x2时,当x趋于零时变量y的值也趋于零,把y=-x2代入有极限不存在,故二元函数的极限不存在。
同理在函数的定义域内取两条不同的路径,若函数沿着这两条路径趋于极限点时,极限存在但是不相等,则二元函数的极限不存在。
定理1:若,f(x)在点x0有定义,但f(x0)≠A,
则二元积分不存在。
例4.设
求二元极限 :
在解这类题目时应该注意定理1,由于,
即 不存在。
由此可见,在研究二元函数极限的问题时,应该注意这种情况。
综上所述,二重极限与一元函数的极限从定义到性质,再到证明求解的过程中,确实有很多类似的地方,但也有很明显的不同之处。对于一元函数而言,自变量的变化只有左右两种方式,而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某点的方式,这是二者最大的差别,把握住这一点,再在具体的题上具体分析,就能找到解决问题的方法。
参考文献:
[1]曲亚男.求解函数极限的若干方法[J].中国科技信息,2005,(19)
[2]殷承元.二重极限的一致收敛判别法[J].高等数学研究,2003,6(1):34
[3]同济大学数学教研室.高等数学.第五版[M].北京:高等教育出版社,2002:7
[4]周根立.求函数极限的方法[J].山西煤炭管理干部学院学报,2000,(03)
[5]周香孔,宋根壮.关于特殊二元函数极限的讨论[J].衡水学院学报,2005,(01)
作者简介:
姜庆财(1986- ),男,满族,黑龙江鹤岗市,西北民族大学数学与计算机学院,信息与机算科学专业。
转载请注明出处学文网 » 二元函数极限常用的求解方法