学文网摘要：我们在做小孔成像实验时，调节光屏位置有时能看到倒像，有时看到与孔相似的光斑？与“小孔作用仅是让光透过”相矛盾，我们将从数学这一全新的角度去分析这个现象，通过分析我们对小孔成像现象必定会有更深刻的了解。
关键词：小孔成像 数学角度 点光源 分解 合成
中***分类号： G633.7 文献标识码： C 文章编号：1672-1578（2013）06-0161-02
1 小孔成像的教学常见场景
在我们教学中一般会要求学生在预习的过程做个小孔成像实验，常见的探究方法有：
方法一：首先找一大一小两个茶叶桶，小桶正好可以套在大桶上，把小桶的底抠一个观察孔，用半透明的白色塑料纸（如食品保鲜袋）蒙在小桶的开口上，绷紧。用胶带加以固定，再剪去多余的部分。在大桶的底部打一个小孔，把小桶套在大桶上，让小孔对着蜡烛，反复调节物、孔、屏间距，观看屏上现象。
方法二、在桌上放一张白纸作屏，再将一片弄几个形状不同的小孔的硬纸片，放在白炽灯和屏之间，打开电灯，反复调节三者之间的距离，观看屏上现象。
到了第二天上课讨论交流时发现大部分的学生对这个实验很感兴趣，都愿意动手去试一试，但大部分人看到的是与孔相同的光斑，只有极个别的人看到了成的灯丝像。为什么会出现如此意外的现象，究其原因除了学生的动手能力因素外，还有这个小孔到底应该多大？大一点就一定不行吗，不但是学生就是连教师都感到困惑，同样的光源，改变孔径，有时成像，有时成斑。成斑了，又时改变像距，物距，又可看到倒像了，而有时无论怎样调节，始终是斑。这到底是为什么。下面我就尝试用数学角度从理论上分析一下小孔成像的原理。
2 小孔成像的原理分析
如***一，设小孔直径d，屏到孔的距离为V，长为的物体AB到孔的距离为U，在这里将物体AB理解成由从A到B无数个点光源组成，为便于研究我们逐一的来研究这些点光源在屏上所成的像，然后再近似地将这些点光源在屏上的像叠加，分析出光屏上的情况。
A点发出的一部分光经过小孔后照到①处的屏上，照亮A1A2区域，根据相似，求出A1A2的长度l：
那么位于A点下方的点光源在①处的屏上成的像是什么情况呢？可用同样的方法得出成的像长度是和一样，只不过像会上移一些，如此推理下去，最后到B点的像B1B2在屏的最上方。
理论上来讲屏上照亮区域为A1 B1，实际上我们看到的现象并非如此，这又是为什么呢？通过上面的分析我们知道到A1 B1 实际上是有无穷多个等长的又相互错开的像组合而成，各处的光强度不等。为便于研究各处的光强，我们采用一种形象的方法，将这些等长的像错开一定的距离，即先分解开来，再合成。分析出A1 B1各处的大致亮度***像，情况如***二所示：
下面对“成像”情况进行些分析：
（1）光能到达的区域为A1 B1 （***一），当屏处于①位置（点与小孔之间），保持u，v不变，则其中A2 B2 部分亮度相同且较亮（A2 B2 区域任何一个点光源都能照到），从***二中的①***可以看出A2、B2的外侧亮度迅速递减。即屏越接近小孔A2 B2 就越接近小孔形状。A2、B2的外侧虽也有一部分区域被照亮，只不过强度迅速减小，由于人的视觉原因，看到的是边缘模糊的A2 B2 ，边缘部分是看不清的是因为这部分和A2 B2亮度相差太大，这犹如中午时分你还能看到天上的恒星吗？屏越远离小孔，模糊的边缘就越大，同时光斑亮度减弱（可以将***二中的①②对比），在这种情况下我们看到的是和小孔相似的光斑。
（2）有了上面的分析，屏从②到③位置时的情况就不难理解了。A2 B2 重合即A1 B1继续增大，亮度从中间一点向周围递减，递减的幅度减小（如***二中的③***）。
（3）屏在④位置时，就没了物体AB上任一点光源都能照到的区域（如②时的A2 B2 ），此时屏上的情况如***二中的④***所示，A2 B2部分的亮度暗但相同，A2 B2外侧亮度递减，递减的幅度减小，较缓慢。A1 B1各部分亮度几乎差不多，只要屏与孔的距离合适、周围环境足够暗，就可以看到倒立的实像了。这犹如我们可以看清夜空中月亮周围的恒星一样。若将孔调到合适大小至眼睛只可看到A2 B2部分，此时的像是最清晰的。
（4）保持u，v不变，增大小孔，倒立的像大小是否会变化呢？很多甚至不少教学一线的老师都是这样认为：“小孔的作用是仅让光通过，像的大小与孔的大小完全无关！”我们再回到***一中④***，小孔增大，A1 B1增大，A2 B2增大，所以像的大小也会变大些。这个实验很简单，在一张纸上做几个大小不同的小孔，调节至屏上出现倒立的像，你会发现像的大小是不同的。
小结：通过分析，要清晰观察到小孔成像的条件有：
被成像的物体亮度尽量大、物体相对于小孔尺寸要大，小孔“适当”小些、物体离小孔近些，屏离小孔远些，实验环境暗些。
3 小孔成像原理理论分析对教学的指导意义
通过对小孔成像原理理论分析，我对实验装置作了改进，如下：
操作过程：
①移动卡片，使小孔与大纸筒上的大孔重叠（此时相当于筒上开了个小孔），对着改小孔，调节U，V至屏上出现倒像。
②再移动卡片，试用不同形状的孔，重复上述实验。
③使菱形孔与大纸筒上的大孔重叠，观看大孔成斑现象，再移动卡片使重叠后的小孔大小，直至屏上出现最清晰的像，体会孔大小对该实验的影响。
④继续减小小孔大小，观察还能看到清晰的像吗？
上面我们从数学角度去分析小孔成像现象，通过分析对这个像现象有了更深刻的了解，在今后的教学中一定会得心应手。