学文网［摘要］在分析信号性质时，常遇到一下几个概念：频谱/频谱密度、能量/能量谱密度、功率/功率谱/功率谱密度等概念，对于初学者来讲，很难正确把握和理解运用这些概念。本论文将针对这些概念进行详细综合地分析，最后以确知周期性信号为例，推导出傅立叶级数系数与其频谱密度之间的关系，并给出具体的解题实例，将这些概念统一起来，以供读者参考。
［关键词］频谱/频谱密度能量/能量谱密度功率/功率谱/功率谱密度综合分析
一、引言
按照信号的确定性可将信号分为确知信号和随机信号，即若信号的取值在任何时间都是确定的和可预知的，称该信号为确知信号，反之，称为随机信号。按照信号的强度又可将信号分为能量信号和功率信号。在分析信号性质时，常遇到一下几个概念：频谱/频谱密度、能量/能量谱密度、功率/功率谱/功率谱密度等概念，对于初学者来讲，很难正确把握和理解运用这些概念。本论文将针对这些概念进行详细综合地分析，最后以确知周期性信号为例，推导出傅立叶级数系数与其频谱密度之间的关系，并给出具体的解题实例，将这些概念统一起来，以供读者参考。
二、能量信号和功率信号
在通信系统理论中，通常把信号功率定义为电流在单位电阻（1Ω）上消耗的功率，即采用归一化功率P，因此，。如果信号电压和电流的值随时间变化，则信号的瞬时功率可表示为：
无论是电压信号或是电流信号，将统一表示为，则信号的瞬时功率又可表示为：
在（）时间内，信号的能量应为瞬时功率的积分[2]：
（1）
而平均功率应为： （2）
当时，式（1）变为，式（2）变为，如果E为有限值，则，此时称为能量信号。这时只能用能量表示信号，而不能用平均功率表示。
当时，若，而为有限正值，则称为功率信号。这时只能用平均功率表示信号，而不能用能量表示。
一个实用的信号不是能量信号，就是功率信号。周期信号都是功率信号，而非周期信号可能是能量信号（如有限区间内存在的确知信号），也可能是功率信号（如随机信号）。
在研究信号的性质时，除了用到信号能量和功率外，还常用频谱/频谱密度、能量谱密度、功率谱/功率谱密度等概念，下面对这些概念逐一分析。
三、频谱/频谱密度
对于能量信号，由于绝对可积，其傅立叶变换存在，则定义其频谱密度为：
（3）
上式中又可表示为：，其中称为的幅度频谱密度，而称为的相位频谱密度。本论文中着重考虑幅度频谱。
对于周期性功率信号，由于绝对不可积，其傅立叶变换不存在，但是实用周期性功率信号一般都满足Dirichlet条件，可以将其展开成傅立叶级数形式，即：
（4）
式中为基波角频率，为的周期，为傅立叶级数系数，并称它为周期性功率信号的频谱，其表达式为：
（5）
又可写为：，可见，周期性功率信号的频谱就是它包含的各次谐波的振幅和相位，它是离散的。
由上述分析可知，能量信号的和功率信号的是有区别的：（1）是连续的，而是离散的；（2）的单位是幅度/频率（若是电压信号，则为），而的单位是幅度（若是电压信号，则为V）。这是因为能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以在每个频率点上信号的幅度是无穷小，只有在一小段频率间隔上才有确定的非0振幅。而功率信号的功率有限，但能量无限，所以在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。
单位冲激函数可看作是一个高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。通过引入它，可将周期性功率信号当作能量信号来看待，将其频谱的概念统一到频谱密度概念上来，可对其直接求解傅立叶变换。这时，周期性功率信号的频谱应理解为在无穷小的频率范围（）内，取得了一个“无穷大”的频谱密度。
四、 能量/能量谱密度、功率/功率谱/功率谱密度
在分析信号频域性质时，除了分析其频谱、频谱密度外，还可能要分析其能量谱密度或功率谱密度等。
对于能量信号，根据Parseval定理，有：
（6）
称为能量信号的能量谱密度，表示在频带内的信号能量，单位是焦耳。
对于功率信号，不能用能量，只能用功率来表示。定义其功率谱密度为：
（7）
式中为功率信号的截短函数的傅立叶变换。信号平均功率可由下式求出：
（8）
可见，表示在频带内的信号功率，单位是瓦/。
对于周期性功率信号，对的截短时间可选择其一个周期，此时可求得其平均功率为：
（9）
又根据周期信号的Parseval定理，式（9）又写为：
（10）
上式表明周期性功率信号的平均功率等于频域中其各次谐波分量的平均功率之和。
把各平均功率分量，即随（变化的***形称为其功率频谱，简称功率谱。显然，功率谱是相应的双边幅度频谱的平方，而与相应的相位谱无关，它是离散的，其单位为瓦特。
仍然引入单位冲激函数，此时周期性功率信号的功率谱便可由功率谱密度来表示： （11）
此时，单位是瓦/。
5 周期性功率信号的傅立叶级数系数与傅立叶变换之间的关系推导
引入单位冲激函数，对式（4）两端进行傅立叶变换得：
式（12）
由式（12）知，时，第k次谐波系数为：
用n反代k，便可得到周期性功率信号的傅立叶级数系数与傅立叶变换之间的关系为：（13）
显然，在文献[3] 中给出的与之间的关系是不恰当的。
6 实例解析
求周期性功率信号的频谱、频谱密度、平均功率P及功率谱密度。
解：由式（5）可计算得： （14）
将式（14）代入式（12），便可得：
（15）
由式（10）可计算得平均功率为：
由式（11）便知其功率谱密度为：
参考文献：
[1] 樊昌信著．通信原理教程[M].北京：电子工业出版社，2004
[2] 沈振元，聂志泉等著．通信系统原理[M].西安：西安电子科技大学出版社，1993
[3] 张小虹著．信号与系统学习指导[M].西安：西安电子科技大学出版社，2004
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