学文网庞加莱猜想是20世纪最伟大的数学家庞加莱于1904年提出的一个问题：
一个单连通的3维闭流形是否同胚于3维球面?这个问题听起来不复杂，可是它包含一些我们感到陌生的拓扑学概念。
拓扑学是一种最粗糙的几何学，也可以说是最基础的几何学。那么我们要问：既然如此基本，我们在中学学的几何学中为什么从来没有讲过呢?原因很多，最主要有两方面一是中学几何学中所研究的***形主要是曲线、曲面以及三维空间中的立体，它们看得见、摸得着，给我们一个直观的印象，而拓扑学则研究更高维的流形，从3维流形起，我们已经看不见、摸不着，只能靠想象和推理了，这对于一般人可不是很容易的，它需要很强的抽象能力。二是在中学几何中所讨论的几何性质比较精密，其中最精密的是度量性质，如长度、面积、曲率(弯曲的程度)等等。这样，同样是球，，大球、小球、圆球、椭球我们是不会把它们看成一样的，可是拓扑学把它们都看成一样，甚至一脚踢瘪的足球，我们也认为它在拓扑学上都是球。这里需要注意的是，两个***形可以通过连续变形由一个变成另一个，但是在变化过程中不能撕裂，也不能粘结，这样两个***形如果能够满足这样的条件互相变换，我们就说它们在拓扑学上等价，专业术语称为同胚。大球、小球，长球、椭球，甚至瘪球，彼此都是同胚的。因此，拓扑学也称为橡皮膜上的几何学，但是，这是一种最为粗糙的几何性质，简称为拓扑性质，例如封闭性就是一种拓扑性质。球面和环面都是封闭性的曲面，简称闭曲面。这从直观上也容易了解，无论是足球、篮球或自行车的内胎，里面的气都不能漏到外面去，也就是封闭曲面内的气都在它的内部。人体的血管网很复杂，它也是闭曲面，如果有地方破开了变成开曲面，那就要出血了。曲面的概念可以推广到3维，4维甚至无穷维。这样就得到流形的概念。我们这里只谈3维流形。从解析几何学中，我们知道2维球面的方程：
X2+Y2+Z2=1这里的1也可以写成Y2，r是球的半径，但是，这无所谓，因为拓扑学是不在乎大球小球的。我们可以只选择其中最简单的。现在的问题是把2维的曲面推广到3维的闭流形。我们可以有两种办法。一种是我们再加一个坐标，3维球面就是4维欧氏空间中方程
X2+Y2+Z2+T2=1所代表的***形，这种做法不难推广到高维，只是我们没有直观的感觉。这种方法还有一个缺点，就是它依赖于外在的空间，而拓扑学只关心流形的内在的性质。这样对于高维流形，我们寻找一个更好的内在定义的方法。过去骑自行车的人很多，一旦内胎漏气就要去补一块补丁(拓扑学中称为2维圆盘，从拓扑上看，它同胚于2维欧氏空间)，如果漏洞多了，每一块都补上补丁，抽象地看，内胎与这些补丁的集合效果是一样的，换言之，环面(内胎)无非是相互有些重叠的补丁的集合。其实，球面和所有闭曲面都是如此，它们局部上看都一样，都是补丁或2维圆盘，但它们组合方式不同就形成球面、环面或者其他的闭曲面。拓扑学的对象不难推广到3维、4维乃至高维，只需要把局部的补丁换成3维圆球(实心球)就可以了。它们经过相互重叠通过不同的组合方式就构成不同的3维流形了。而拓扑学的基本问题就是两个流形何时同胚?当然，如果两个流形有某个拓扑性质不一样，则它们肯定不同胚。当然，也可以问一个反问题：哪些拓扑性质足以刻画某类流形?庞加莱猜想就是这样一个问题，其中关键的性质就是“单连通”。
单连通的概念也很直观。就是说，如果一个流形上任何一个圆圈都可以连续变形最后缩成一点，则称这流形是单连通的。不难看出，球面上无论大圆与小圆，经圈与纬圈都可以在球面上缩为一点，因此它是单连通的；但是，环面上的经圈与纬圈在环面上是不能缩为一点的。对于2维闭曲面，逆定理也成立，也就是2维单连通闭曲面一定是球面。庞加莱猜想就是这件事对3维流形是否也对?
这个看来简单的拓扑学问题花了数学家100年时间，并被克雷研究院列入21世纪七大数学难题之一，解决者可获100万美元奖金。斯梅尔也把这个问题列为21世纪最重要的两个问题之一，另一个是黎曼假设。其实，在这个伟大的拓扑问题解决之前，已经有4位数学家因解决这个问题而获得菲尔兹奖。但他们解决的不是原来的3维庞加莱猜想，而是看起来更难的4维、5维乃至所有高维的庞加莱猜想。第一个越过维数障碍的是美国数学家斯梅尔。他一举证明5维及5维以上的“广义庞加莱猜想”，广义在什么地方呢?对于n维流形单连通是不够的，改为，(n-1)连通，也就是在n维流形上不仅圆圈S，而且2维球面S2，3维球面S3，一直到(n-1)维球面都要缩为一点。斯梅尔在1960年的突破立即引起轰动，他也在1966年获得菲尔兹奖。4维似乎更难，但是美国数学家弗里德曼和英国数学家唐纳森在1982年解决了这个难题，他们也在1986年双双获菲尔兹奖。这时最后剩下了最早的3维庞加莱猜想没有解决。正好这时，美国数学家瑟斯顿提出关于所有3维流形分类的一个纲领，其中关键是几何化猜想。如果这个猜想被证明，庞加莱猜想只不过是其中一个小小的推论。瑟斯顿证明了其中的主要情形，但是没有证明能推出庞加莱猜想的椭圆化猜想。尽管如此，瑟斯顿还是获得1982年的菲尔兹奖。在最近25年，两位数学家做出巨大的贡献，一是美国数学家汉密顿，他在1982年引入里奇流这个新工具，他在2003年获得克雷研究院奖。另一位是俄国数学家彼列尔曼，他在2002年到2003年给出里奇流奇点的分类方案，一举突破几何化猜想，当然也就证明了庞加莱猜想。只是他的3篇在网上。2006年6月3日，丘成桐宣布两位中国数学家解决了庞加莱猜想，从而为这个伟大的猜想画上一个圆满的句号。