学文网摘 要: 本文通过对同一道例题使用连续系统的几种分析方法,即时域分析、频域分析、复频域(s域)分析方法分别求解,以帮助学生理解各种分析方法的内容,掌握各种分析方法的特点,达到灵活运用、融会贯通的目的。
关键词: 信号与线性系统分析课程 “线性非时变连续系统的分析” 分析方法
1.引言
在信号与线性系统分析课程的教学中,部分专业学时分配较少,在较短的教学时间内让学生快速轻松地掌握教学内容有一定的难度。对于“线性非时变连续系统的分析”这部分教学环节,教材上每种分析方法例题都不相同,讲解费时费力,且学生不易理解和区别。我利用一道简单的例题,用各种方法来分析它,使学生能够快速地掌握这部分的学习任务。例题如下:描述某LTI系统的微分方程为:y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)。已知:y(0-)=2,y′(0-)=1,,f(t)=ε(t),求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
2.连续系统的几种分析方法
2.1连续系统的时域分析法
所谓连续系统的时域分析法是对于给定的激励,根据描述系统响应与激励之间关系的微分方程求其响应的方法。下面是对例题的求解。
解:(1)零输入响应
y(t)满足方程
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=0
上式的特征根λ=-1,λ=-2故零输入响应为
y(t)=Ce+Ce
将初始代入上式及其导数,得
y(0+)=C+C=2
y′(0+)=-C-C=1
解得
C=5,C=-3
所以系统的零输入响应为:
y(t)=5e-3e,t≥0
(2)零状态响应
y(t)满足方程
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)
以及初始状态y(0-)=y′(0-)=0
先求y(0+)和y′(0+),
由于上式等号右端含有δ(t),令
y″(t)=aδ(t)+r(t)
积分(从-∞到t)得
y′(t)=r(t)
y(t)=r(t)
从而可求得a=2。
y′(0+)-y′(0-)=a=2
y(0+)-y(0-)=0
解上式,得
y′(0+)=2,y(0+)=0
对于t?摇f?摇0,式y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)可写为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=6
不难求得其齐次解为Ce+Ce,其特解为常数3。于是有
y(t)=Ce+Ce+3
将初始值代入上式及其导数,得
y(0+)=C+C+3=0
y′(0+)=-C-2C=2
由上式可求得,
C=-4,C=1
得系统的零状态响应为:
y(t)=-4e+e+3,t≥0
(3)全响应
系统的全响应为:y(t)=y(t)+y(t)
=e-2e+3,t≥0
2.2连续系统的频域分析法
所谓连续系统的频域分析法是用傅里叶分析法研究激励与响应在频域中的关系。下面用频域分析法分析上述例题的零状态响应。
解:令f(t)?圮F(jω),y(t)?圮Y(jω),对方程取傅里叶变换,得:
jωY(jω)+3jωY(jω)+2Y(jω)=2jωF(jω)+6F(jω)
由上式可得该系统的频率响应函数H(jω)+
由于f(t)=ε(t)?圮F(jω)=+πδ(ω),故有:
Y(jω)=H(jω)F(jω)=-+
取傅里叶逆变换,得系统放入零状态响应:
y(t)=-4e+e+3,t≥0
2.3连续系统的s域分析法
所谓连续系统的s域分析法是用拉普拉斯分析法研究激励与响应在复频域中的关系。下面用s域分析法分析上述例题。
解:对微分方程取拉普拉斯变换,可得:
sY(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)
可解得
Y(s)=Y(s)+Y(s)=+F(s)
将F(s)=L[u(t)]=和各初始值代入上式,得:
Y(s)==-
Y(s)=g=-+
对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应分别为:
y(t)=5e-3e,t≥0
y(t)=-4e+e+3,t≥0
所以系统的全响应为:
y(t)=y(t)+y(t)=e-2e+3,t≥0
或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。
3.结语
通过以上例题,我们可以得出如下结论:连续系统的时域经典分析法概念清楚,易于理解,缺点是计算比较繁琐;连续系统的频域分析法计算简便,缺点是不能分析给定初始状态的线性系统,有些重要的信号不存在傅里叶变换;连续系统的s域分析法可克服上述两种分析方法的缺点,不仅计算简便,而且可以同时求得系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
参考文献:
[1]吴大正.信号与线性系统分析[M].北京:高等教育出版社,2005.
[2]管致中.信号与线性系统分析[M].北京:高等教育出版社,2004.
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