学文网【摘要】
本文总结性的描述了实数系连续性和完备性的若干等价定理，即：单调收敛定理，上（下）确界定理，边界点定理，区间套定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则。
【关键词】
等价；命题
一、引言
实数系的连续性和完备性是实数的一个重要特征，与之相关的若干基本定理，即：单调收敛定理、上（下）确界定理、边界点定理、戴德金分割定理、辛钦定理、区间套定理、聚点原理、有限覆盖定理、致密性定理、柯西收敛准则，它们是彼此等价的。这些定理从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且他们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数介值定理、一致连续性定理等。因此在理论上具有重要价值。
实数系的连续性是分析学的基础，对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性。实数系R的连续性，从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但是从分析学的角度阐述，实数系的连续性有多种表述方式且彼此等价，因此可以被相互推证。把这些定理的相互证明详细地整理出来，并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律。
至此，我们已完成了实数系六个基本定理的完全互证方法的分析，归纳了从任意一个定理带其他定理的证明方法。这些定理的互证被这样梳理后，使得我们理解这些证明不再那么的抽象和无所适从。
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