学文网摘 要: 判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。
关键词: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数
对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。
而关于二元函数可微性的判定却较复杂,因为二元函数中连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数连续与可微之间的关系比较复杂。为了便于学生进一步理解多元函数全微分的概念,正确判定多元函数的可微性,下面我们通过一些具体的例子来分析这四种关系。
一、二元函数全微分的定义
二元函数z=f(x,y)在点M(x,y)的邻域内有定义,给x、y以改变量x、y,得到z的全改变量z=f(x+x,y+y)-f(x,y)=Ax+By+o(ρ),(ρ0)。
A、B仅与点(x,y)有关,而与x、y无关,ρ=,则称z在(x,y)可微,Ax+By称为z=f(x,y)的全微分,记作dz=Ax+By。
二、二元函数可微的三个必要条件
定理1:若z=f(x,y)在点M(x,y)可微,则f(x,y)在点M的两个偏导数存在,且f(x,y)=A,f(x,y)=B。
证明:若z=f(x,y)在点M(x,y)可微,
即有:z=Ax+By+o(ρ)。
当y=0时,上式仍成立,此时ρ=|x|,
f(x+x,y)-f(x,y)=Ax+o(|x|)……①
①式两边同时取x0时的极限有:
=A=f(x,y),所以偏导数f(x,y)存在,同理f(x,y)存在。
注意:定理1的逆命题不成立。即:偏导数存在是可微的必要非充分条件。
例如:f(x,y)= (x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0),
因为f(0,0)==0,
同理,f(0,0)=0,两个偏导数均存在。
但=不存在,
即z-[f(0,0)x+f(0,0)y]不是较ρ高阶的无穷小,从而推知f(x,y)在(0,0)处不可微。
由定理1及全微分的定义可总结出如下两点:
(1)若f(x,y)在点M的偏导数不存在,则z=f(x,y)在点M(x,y)不可微。
(2)当ρ0时,考察z-[f(x,y)x+f(x,y)y]是否为的高阶无穷小。若是,则可判断f(x,y)在点(x,y)可微;若非,则可判断f(x,y)在点(x,y)不可微。
定理2:若z=f(x,y)在点M(x,y)可微,则f(x,y)在点M连续。
证明:因为z=f(x,y)在点M(x,y)可微,
所以,z=f(x+x,y+y)-f(x,y),z=0。
从而f(x+x,y+y)=[f(x,y)+z]=f(x,y),
故函数z=f(x,y)在点M(x,y)连续。
注意:定理2的逆定理不成立。即:连续是可微的必要非充分条件。
例如:f(x,y)=|x|+|y|在点(0,0)连续,但当y=0时,
f(0,0)==显然不存在,同理f(0,0)也不存在。
两个偏导数不存在,当然f(x,y)在点(0,0)处不可微。
由定理2可推知:若z=f(x,y)在点M(x,y)不连续,则f(x,y)在点M不可微。
定理3:若z=f(x,y)在点M(x,y)可微,则f(x,y)在点M处沿任何方向l的方向导数存在,且f(x,y)=f(x,y)cosα+f(x,y)cosβ(其中cosα,cosβ为l的方向余弦)。
证明:由于函数在M(x,y)可微,则增量可表示为:
f(x+x,y+y)-f(x,y)=f(x,y)x+f(x,y)y+ o(ρ)
等式两边同时除以ρ,得:
=f(x,y)+f(x,y)+
从而有:f(x,y)=
=[f(x,y)+f(x,y)+]
=f(x,y)cosα+f(x,y)cosβ
注意:定理3的逆定理不成立。即:方向导数存在是可微的必要非充分条件。
例如:f(x,y)= (x+y≠0)0 (x+y=0)在点(0,0)处有f(0,0)==0及f(0,0)==0,
于是由方向导数定义,在(0,0)点沿任何方向l有:f(0,0)=0。
但= ①
(1)当点(x,y)沿直线y=x趋于点(0,0)时,①=;
(2)当点(x,y)沿直线y=0趋于点(0,0)时,①=0。
所以①的极限不存在,即z-[f(0,0)x+f(0,0)y]不是较ρ高阶的无穷小,从而推知f(x,y)在(0,0)处不可微。
三、二元函数可微的一个充分条件
定理4:若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。
证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0
z=f(x+x,y+y)-f(x,y)
=[f(x+x,y+y)-f(x,y+y)]+[f(x,y+y)-f(x+y)]
=f(x+θx,y+y)x+f(x,y+θy)y
=[f(x,y)+α]x+[f(x,y)+β]y
=f(x,y)x+f(x,y)y+αx+βy
而||≤|α|+|β|,
所以z=f(x,y)x-f(x,y)y+o(ρ),即f(x,y)在点M可微。
注意:定理4的逆定理不成立。即:偏导数存在且连续是可微的充分非必要条件。
例如:f(x,y)=(x+y)sin (x+y≠0)0 (x+y=0),
因为f(0,0)===0,同理:f(0,0)=0,所以f(x,y)在(0,0)点的偏导数存在。
又f(x,y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0 (x+y=0)
所以f(x,y)=(2xsin-cos),
其中2xsin=0,
而 cos中,若取路径y=x,
显然cos=cos不存在,所以f(x,y)不存在。
因此f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不连续。
而 =
(x+y)sin=0,所以f(x,y)在(0,0)点可微。
关于二元函数在某点连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续与可微之间的关系可表述如下***:
函数连续
偏导数存在且连续?圯 可微?圯方向导数存在
偏导数存在
四、结语
综上所述,可总结出如下判别f(x,y)在点(x,y)是否可微的方法:
1.若f(x,y)在点(x,y)不连续,或偏导不存在,则若f(x,y)在该点必不可微;
2.若f(x,y)在点(x,y)的邻域内偏导存在且连续,则若f(x,y)在该点必可微;
3.当ρ0时,检验z-[f(x,y)x+f(x,y)y]是否为的高阶无穷小。若是,则可判断f(x,y)在点(x,y)可微;若非,则可判断f(x,y)在点(x,y)不可微。
参考文献:
[1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002.
[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[3]刘玉琏.数学分析学习指导书[M].北京:高等教育出版社,2004.
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