学文网从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.在学习中,关于角平分线的证明问题屡见不鲜.解答它们,既可以利用定义,也可以利用等腰三角形的性质,还可以利用角平分线的判定定理.
一、利用角平分线的定义证明
例1如***1,ABC中,AB=AC,E为BA延长线上的点,过A作AD∥BC.求证:AD平分∠CAE.
分析:要证明AD平分∠CAE,只要证明∠EAD=∠CAD即可.
证明:在ABC中,
AB=AC,
∠B=∠C.
AD∥BC,
∠EAD=∠B,∠CAD=∠C.
∠EAD=∠CAD.
AD平分∠CAE.
例2 如***2,AB=AC,∠DBC=∠DCB.求证:AD平分∠BAC.
分析:要证明AD平分∠BAC,只要证明∠BAD=∠CAD即可.
证明:由∠DBC=∠DCB,得DB=DC.
AB=AC、AD=AD、DB=DC,
ABD≌ACD(SSS).
∠BAD=∠CAD.
AD平分∠BAC.
二、利用等腰三角形的性质证明
例3如***3,AB=AC,AD平分∠BAC.求证:AD平分∠BDC.
分析:要证明AD平分∠BDC,只要证明DE是等腰DBC底边上的中线即可.
证明:在ABC中,
AB=AC,AD平分∠BAC,
AD是等腰ABC顶角的平分线.
AD垂直平分BC,
DB=DC.
BE=CE,
DE是等腰DBC底边上的中线.
DE平分∠BDC,
即 AD平分∠BDC.
例4如***4,ABC中,ADBC于D,E为AD上的一点,BE=CE.求证:AD平分∠BAC.
分析:要证明AD平分∠BAC,只要证明AD是等腰ABC底边上的高即可.
证明:由ADBC于D,BE=CE,得ED是等腰EBC底边上的高.
ED是底边BC的垂直平分线.
AB=AC.
AD是等腰ABC底边上的高.
AD平分∠BAC.
三、利用角平分线的判定定理证明
例5如***5,CF和BF分别平分ABC的两个外角.求证:AF平分∠BAC.
分析:要证明AF平分∠BAC,只要证明点F到AC边的距离等于点F到AB边的距离即可.
证明:由CF平分∠BCE,得点F在∠BCE的平分线上.
点F到AC边的距离等于点F到BC边的距离.
同理,点F到AB边的距离等于点F到BC边的距离.
点F到AC边的距离等于点F到AB边的距离.
点F在∠BAC的平分线上.
AF平分∠BAC.
例6如***6,BDAC于D,CEAB于E,O为BD、CE的交点.且OB=OC.求证:OA平分∠BAC.
分析:要证明OA平分∠BAC,只要证明点O到∠BAC两边的距离相等即可.
证明:在BOE和COD中,
∠OEB=∠ODC=90°,∠BOE=∠COD,OB=OC,
BOE≌COD(AAS).
OE=OD.
点O到∠BAC两边的距离相等.
OA平分∠BAC.
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