学文网摘要：本文用紧格式的差分方法对三维声波方程进行离散，推导了三维和K维二阶线性双曲型偏微分方程差分格式解的误差先验估计式，并对其进行了证明。用它证明了差分方法解的存在性，和收敛性。对三维声波方程采用多重网格算法进行求解，结果表明多重网格算法比传统的差分迭代算法收敛速度快、解的精度高。
关键词：声波方程；隐式差分；先验估计；代数多重网格
1 引言
波动方程是一种主要描述声波，水波和光波的波动现象的双曲型偏微分方程，到目前为止，已有不少人对一维和二维波动方程做过系统的研究。但对三维波动方程的研究的人相对较少，其主要采用的差分方法直接计算存在计算量大收敛速度慢的缺陷。文 中对三维声波方程的采用有限差分法进行差分离散，再采用数值频散法对地震波进行叠前和叠后数值模拟，文 中的精细积分法；文 的采用三维频率空间域有限差分波场延拓算子以“逐步-累加”的方式实现了三维波动方程基准面校正 ；文 采用延拓法实现三维波动方程正演，这些方法受到差分精度及网格剖分步长的严重影响，要想得到比较准确的数值结果须极小的剖分步长和非常高精度的差分，从而导致计算时迭代缓慢，计算量巨大。
偏微分方程数值解一般有两种离散方法，差分离散方法和有限元逼近方法。差分方法有多种格式，三点格式、五点格式、紧差分格式 等。有限元法则是电子计算机时代的产物，有多种专门的应用软件 ，在应用范围方面比差分方法更优越。以上两种方法离散和所得的方程，通常计算量巨大，即使用计算机处理也不是很简单，有些方程用巨型计算机处理都会造成单片CPU内存不足的情况。
多重网格法是求解偏微分方程的高效快速算法，具有收敛速度快，精度高等优点，其收敛速度和效率并不受差分步长的影响，也就是说当离散更精细时，其收敛速度并不减慢，因此多重网格法可大大的减小计算量及占用的CPU内存，加快运算速度。文献 用多重网格法对二维及三维理想化的波动方程做过研究，但不能解决一般的三维波动方程 ，因此笔者在本文中用多重网格法讨论诸如文 中的波动方程，即先采用紧差分格式将上述波动方程的解离散，得到的差分方程组每个时间层上求解类似于求解三维椭圆问题，再采用类似于文 中的多重网格法求解。并对三维波动方程所采用的差分方法进行了讨论，根据文 中一维，二维差分格式解的误差先验估计式，推导了三维差分格式及K维差分格式解的误差先验估计式，并对其进行了证明，利用三维格式格式解的误差先验估计式，证明三维差分格式解的存在性和收敛性，及稳定性。
1、声波方程
在非均匀介质中，三维声波方程为
2、差分方法
以 为时间步长，空间取等距离的立体网格，其边长为 ，网格点为 ， ， ， ， ， ， ，
这里对 项暂不讨论，具体参见文 ，在文 中 ，则 。
可依次迭代求出式（10）各项的值。
3、差分格式解的先验估计式
首先引进如下记号
以上前4个分别为无穷范数（一致范数），2范数，差商范数，和 范数。
定理1 设 为差分方程组
其中
证明 用 乘以（14）的两边，并对 求和，得到
根据文 中一维，二维二阶双曲型方程隐式差分格式解的误差先验估计式及定理1我们可推导出K维二阶双曲型方程隐式差分格式解的误差先验估计式。
定理2 对于K维的二阶线性双曲型方程
的隐式差分格式，设 为差分方程组
的解，则对任意步长比 ，有
其中
4差分格式解的存在性，收敛性和稳定性
存在性
5、多重网格法
多重网格法有V循环和W循环，其中常用的是V循环。通常包括3个要素，松算子、限制算子和插值算子。
令
5.1多重网格算法的实现
（1）利用定理1，和（25）式，估计在所要求的误差范围内 和 的大致取值。
（2）对于第 个时间层，把得出 的值，作为细网格层， 作为粗网格层，由粗网格层开始进行差分。
（3）计算 时刻的误差残量，使用完全加权算子将其限制在相邻的粗网格上。
（4）在粗网格层上用G-S迭代进行一次误差磨光，具体算法参见 。
（5）将粗网格层上的误差校正结果用三线性插值算子返回到细网格层上。
（6）在细网格层上用G-S迭代进行一次误差磨光，具体算法参见 。
（7）令 ，即转入下一个时刻的计算。
（8）重复（2）-（7），直到计算需要达到的时刻。
6、 数值算例
以上问题的精确解为
通过对上述算例的计算，结果表明：，多重网格法比传统的迭代法计算速度快，随着 的减小，越明显。
参 考 文 献
【1】何兵寿，魏修成，刘洋。三维波动方程的数值频散关系及其叠前和叠后数值模拟【J】。石油大学学报（自然科学版） ，2001，25（01） ：067-071。
【2】王润秋。精细积分法三维地震波正演模拟【J】。勘探地球物理进展，2006-12，29（06）：0394-0397。
【3】杨锴。三维波动方程基准面校正方法的应用研究【J】。地球物理学报，2007-7，50（04）：1232-1240。
【4】熊高君。三维混合延拓一步法波动方程正演模拟【J】。成都理工学院学报，1999-1，26（01）631-634。
【5】熊高君。三维波动方程正演及模型应用研究【J】。石油勘探，2005-11，44（06）0554-0556。
【6】孙志忠。偏微分方程数值解法【M】。北京：科学出版社，2007。
【7】马爱***，周传月，王旭。Patran和Nastran有限元分析。北京：清华大学出版社，2005。
【8】葛永斌，吴文权，卢 曦。求解二维扩散方程的加权平均隐式多重网格方法【J】内蒙古大学学报（自然科学版）。2003-9，34（05）0490-0494。
【9】葛永斌，吴文权，田振夫。二维波动方程的高精度隐格式及多重网格算法【J】厦门大学学报。2003-11，42（06） 0691-06996。
【10】葛永斌，田振夫，吴文权。三维波动方程的隐式多重网格方法【J】华中师范大学学报。2005-3，39（01）0009-0012
【11】舒适。几类基于几何和分析信息的代数多重网格法及其应用【D】（湘潭大学）博士论文。2004-7。
【12】谢学斌。代数多重网格法在岩体力学有限元分析中的应用【J】。工程力学，2005-11，22（05）0165-0170
【13】谢学斌。岩体力学三维有限元分析的代数多重网格求解法【J】。岩体力学与工程学报，2006-11，25（11）2358-2363。
【14】肖映雄。 代数多重网格算法研究及其在固体力学计算中的应用【D】。（湘潭大学）博士论文。2007-4。
【15】孙志忠，袁慰平，闻震初。数值分析【M】。南京：东南大学出版社，2006。
【16】胡健伟，汤怀民。微分数值解法【M】。北京：科学出版社，2007。
【17】查中伟。数学物理偏微分方程【M】成都，西南交通大学出版社，2005。