学文网摘要： 利率按计算方法的不同可分为单利和复利，对固定时间段内，不同计息方式下利息的计算，进行分析，构造数学函数，得到利息，从而求得在不同计息方式和计息期数下本利和的求法以及用其解决了实际经济生活中的一些问题。
Abstract： Interest rates can be divided into simple interest and compound interest according to different calculation methods. This article analyzes the interest calculation under different calculation methods in a fixed period. Mathematical function is constructed to get the interest， thus the compound amount under different calculation method and Interest-bearing period can be got. Its application has solved some problems in the actual economic life.
关键词： 单利计息；复利计息；本利和；计息期数
Key words： simple interest；compound interest；compound amount；interest-bearing period
中***分类号：F832.4 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）16-0168-02
0 引言
在现实经济生活中以及某些工程或企业的整个生产活动中，资金的投入及收益并非集中于某一固定日期上，而是均匀分布在整个时期，在这种情况下，采用哪种计息方式很重要，单利计息和复利计息均有其应用价值，而利息和本利和的计算均与计息方式和计息期数有密切的关系。本文介绍了两种计算利息的方法：“单利计息法”和“复利计息法”，在现实经济生活中，有许多实际问题都与利息密切相关，文中所举的例子就是利用这两种方法解决一些日常经济生活中经常碰到的疑难问题。
1 预备知识
定义1[1] 利息是指在信用关系中债务人支付债权人的（或债权人向债务人索取的）报酬。
定义2[1] 利息率，简称“利率”，指一定时期内利息额同本金额的比率，即利率=利息÷本金。
①按照计算日期不同，利率分为年利率、季利率、月利率和日利率等等，而年利率=12×月利率=365×日利率，季利率=3×月利率=90×日利率，月利率=■×年利率=30×日利率，日利率=■×月利率=■×年利率。
②按照计算方法不同，利率又分为单利和复利。
定义3 本利和是指本金与利息之和的简称。
2 单利计息法及其应用
所谓“单利计息法”，就是指不论期限长短，利息仅按借贷本金、利率和期限一次性计算，利息的计算不把先前周期中的利息加到本金中去，而是仅以本金为基数计算利息，通常的活期存款就是用单利计算利息，某些投资债券也是以单利计息法计算利息，所用计算公式为：利息=本金×利率×期数，本利和=本金+利息。
例1 小赵9月1日在某银行活期存款存入5000元人民币，假设月利率为0.6%，12月11日从银行取回，若按单利计息法，小赵应从银行取回多少钱？
解 根据已知条件，应先得把月利率转换为日利率
r=0.6%÷30=0.02%=0.0002，利息=5000（元）×0.0002×100（天）=100（元），本利和=5000（元）+100（元）=5100（元）
所以，小赵应从银行取回5100元钱。
例2 小刘租用一套35平米标准的公寓楼房，如果每季度末付租金，则得付季度租金2000元，设月利率为0.42%，以单利计息法计算，如果换作在年初时一次性付清全年租金，应付多少钱？
解 根据已知条件，应先得把月利率转换为季利率r=0.42%×3=1.26%=0.0126，假设第一季度初本金为A1，则第一季度末A=2000，则由2000=A0（1+r），得A1=■，假设第二季度初本金为A2，则第二季度末A=2000，由2000=A2（1+r）+A2r，得A2=■，假设第三季度初本金为A3，则第三季度末A=2000，由2000=A3（1+r）+A3r+A3r，得A3=■，假设第四季度初本金为A4，则第四季度末A=2000，由2000=A4（1+r）+A4r+A4r+A4r，得A4=■，A1+A2+A3+A4=■+■+■+■=■+■+■+■=1975.1136+1950.8389+1927.1536+1904.0366=7757.1427≈7757.14（元），故若以单利计息法计算，则换作年初时一次性付清全年租金，应付7757.14元。
3 复利计息法及其应用
所谓“复利计息法”，不仅本金计算利息，而且前期获得的利息也要计算利息，它是指以本金与累计利息为基数计算利息，也是通常所说的“利滚利”，而复利计息又分为“间断复利计息法（即以某一时间段为计息周期）”与“连续复利计息法（即计息时段的长度为无穷小）”，事实上，在现实经济生活中，大多数都采用间断复利计息法。设本金为A0，年利率为r，①以一年为期计算利息，t年年末的本利和为At=A0（1+r）t。②以半年为期计算利息，相当于一年计算两次利息，那么t年年末的本利和为At=A0（1+■）2t。③以季度为期计算利息，相当于一年计算四次利息，那么t年年末的本利和为At=A0（1+■）4t。④以一年计息m次为期计算利息，即若将一年分为相等的m个时间间隔，每时段上按利率■计算利息，相当于一年计算m次利息，那么t年年末的本利和为At=A0（1+■）mt。⑤以连续复利计算利息，即若将一年分为相等的m个时间间隔，每时段上按利率■计算利息，当计息的时间间隔无限缩短，那么计息的次数m∞，这种情况称为连续复利，那么t年年末的本利和为At=■A0（1+■）mt=A0etr。
例3 张某将1000元人民币存入某银行，年利率为4%，如果按下列计息方式计算，①每年计息一次；②每半年计息一次；③每季度计息一次；④每月计息一次；⑤连续复利计息。问以哪种计息方式计息时，10年后账面上的资金最多？
解 设A0=1000（元），年利率为r=4%，期数t=10（年），
①以一年为期计算利息，t年年末的本利和为At=A0（1+r）t。可以得A10=A0（1+r）t=1000×（1+4%）10=1000×1.0410=1480.24（元）。②以半年为期计算利息，相当于一年计算两次利息，那么t年年末的本利和为At=A0（1+■）2t。可以得A10=A0（1+■）2t=1000×（1+■）2×10=1000×1.0220=1485.95（元）。③以季为期计算利息，相当于一年计算四次利息，那么根据t年年末的本利和为At=A0（1+■）4t。可以得A10=A0（1+■）4t=1000×（1+■）4×10=1000×1.0140=1488.80（元）。④以月为期计算利息，相当于一年计算12次利息，那么根据t年年末的本利和为At=A0（1+■）12t。可以得A10=A0（1+■）12t=1000×（1+■）12×10=1490.83（元）。⑤以连续复利计算利息，那么根据t年年末的本利和为At=A0etr，可以得At=A0etr=1000×e10×4%=1491.82（元）。综上，以连续复利计算利息时，10年后账面上的资金最多。
例4 用分期购买的方式购买一套价值为50万元的商品房，设贷款期限为10年，年利率为4%，计息方式有：①按季计息；②按月计息；③按连续复利计息，试计算以哪种计息方式计息时，10年末还款金额最少？
解 设A0=50（万元），年利率为r=4%，期数t=10（年），
①以季为期计算利息，相当于一年计算四次利息，那么，根据t年年末的本利和为At=A0（1+■）4t，可以得A10=A0（1+■）4t=50×（1+■）4×10=50×1.0140=74.44（万元）。②以月为期计算利息，相当于一年计算12次利息，那么，根据t年年末的本利和为At=A0（1+■）12t，可以得A10=A0（1+■）12t=50×（1+■）12×10=74.54（万元）。③以连续复利计算利息，那么根据t年年末的本利和为At=A0etr，可以得At=A0etr=50×e10×4%=74.59（万元）。综上，以季度为期计算利息时，10年末还款金额最少。
例5[2] 李某把每年领取的60元独生子女费逐年存入银行，年利率为8%，按照复利计息法，当他的子女年满14岁时，他在银行的本利和共有多少？
解 由已知条件可知，本金A0=60（元），年利率r=8%，期数t=14
A14=A0+A0（1+r）+A0（1+r）2+A0（1+r）3+…+A0（1+r）13
=A0・[1+（1+r）+（1+r）2+（1+r）3+…+（1+r）13]
=A0×■=A0×■=A0×■
=60×■=1453（元）
故按照复利计息法，当李某的子女年满14岁时，他在银的本利和共有1453元。
例6 假设某机床设备的使用寿命为10年，若购进此机床需要1万元，若租用此机床，每月租金为0.07万元，设资金的年利率为6%，按每年计算利息，问购进机床合算还是租用机床合算？
解 设本金A0=0.07×12=0.84（万元），年利率r=6%=0.06，期数t=10，由公式：At=A0（1+r）t，得A10=0.84×（1+0.06）10≈1.5043（万元），因为A10=0.84×（1+0.06）10≈1.5043（万元）>1（万元），所以，还是购进机床比租用机床合算。
以上所介绍的，仅仅是经济生活中和利息有关的、比较简单、也是比较常见的问题，仅供参考。
参考文献：
[1]张卫梅，王翠苒，白雪银.经济应用数学（第1版）[M].吉林大学出版社，2011.
[2]管孝双，钱亦红.几种常见的利息计算法[J].中学教研（数学），1992（12）：24-26.
[3]苏金波.你知道单利和复利的区别吗？[J].家庭科技，2001（1）.
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