学文网[摘要]近世代数以群环域等代数系统为研究对象，内容抽象，学生感到难以深入理解和掌握其中的精要。而将讨论联想类比运用在教学中，将新概念、性质和解题方法等与熟知的类似知识进行联系比较，找出神似的地方，可以帮助学生快速深入理解本质规律，提高学习效率和教学质量。
[关键词]近世代数；教学；类比；联想
[中***分类号]G420
[文献标识码]A
[文章编号]2095-3712（2013）10-0057-03
近世代数以群环域等代数系统为研究对象，内容抽象，学生感到难以深入理解和常握其中的精要。如何提高这门课程教学质量已是许多数学专业教师不得不面对的话题，很多专任教师都在不断探索，不断总结，也提出了许多有效的教学方法。这些方法的合理运用对于近世代数课程的教学质量的提高起着越来越明显的作用。根据实际教学对象的特点、教学大纲、教学环境和专业培养方案等，我们提出将联想类比法合理运用到教学中，实践证明是行之有效的。该方法遵循教育原则，符合教学规则，可供同行们借鉴和参考。
一、概念的联想类比
1抽象的代数运算与具体的运算
群环域等代数系统中定义的代数运算是抽象的，是映射。映射是一个很抽象的概念，抽象的概念只有与具体的事物联系起来，才便于理解。事实上，数的加减乘除运算、矩阵的加减乘运算、集合的交并运算都是具体的代数运算。通过这些具体的运算是否满足结合律、交换律和分配律来理解抽象的代数运算是否具有的类似性质，直观生动，易于接受。群定义中的单位元、逆元在具体的运算中则更加生动。对于数的加法来说，单位元就是数字0，一个数的加法逆元就是它的相反数；对于数的乘法来说，单位元就是数字1，一个数的乘法逆元就是它的倒数；对于集合的“交”与“并”运算来说，单位元就是全集与空集，一个集合在“交”与“并”运算下没有逆元；对于矩阵的加法运算来说，单位元分别是零矩阵，一个矩阵的加法逆元就是该矩阵的每一个元素取其相反数构成的矩阵；对于方阵的乘法运算来说，单位元就是单位矩阵，一个可逆方阵的乘法逆元就是其逆矩阵。通过具体运算中单位元与逆元来理解抽象运算上的单位元与逆元不仅易于接受，也有助深入理解单位元与逆元的本质。
2群的定义与线性空间的定义
群的定义是学***世代数首先要遇到的。群的等价定义很多，在很多教材中一般都会先给出下面的定义。
对于这样的群的抽象定义，教师一般会通过大量的例子来解释什么是群，如整数加群，实数域上同阶可逆方阵的全体关于矩阵的乘法构成群等。但是这些例子过于简单，而一些抽象的例子又让学生感觉理解困难，达不到帮助学生理解群定义的本质。因此，寻找合适的例子就显得比较关键了。高等代数（或者线性代数）中讲述的线性空间的定义也是抽象的公理化定义，与之比较神似，类比起来有助于加深理解。
则我们称V为数域上的一个线性空间，V中的元素称为向量。
在近世代数课程中，还有许多类似的公理化定义，例如环与域等。如果能将其与高等代数课程的线性空间概念进行互相比较，发现公理化定义的特点，就能帮助学生形成抽象思维，提升数学能力。
3群与环的同态与线性空间中的同构
在近世代数课程中，群同态与环同态是十分重要的概念，群同态基本定理和环同态基本定理是研究群与群之间、环与环之间关系的有力工具。因此，同态映射的深入理解至关重要。恰好，***性空间中，学生们已经学习过线性空间中的同构映射这个概念。
定义3：设V和W数域上的两个线性空间，如果存在V到W的一个双射f，并满足
则称具有这种性质的双射f为V到W的一个同构映射。
定义4：设G和G′是群，如果存在一个从G到G′的映射f能保持运算，即满足
则称f是群G到群G′的一个同态映射或简称为群同态。
定义5：设R和R′是环，如果存在R到R′的一个映射f能保持运算，即满足
则称f是环R到环R′[WBZ]的一个同态映射或简称环同态。
显然这三个概念是神似的，共同特点都是映射保持运算。通过比较，我们就能抓紧这些概念的关键要素，深化对概念本质的理解。
二、性质的联想类比
1整数的相关性质与多项式的相关性质
多项式作为高等代数课程的内容，一般在开设近世代数课程之前学生已经学习过，将其相关性质与整数的相关性质类比，进而与整环的中的相关性质类比，有利于学生找到知识的生长点和深入理解其本质。像最大公因数（式）与最小公倍数（式）、数与多项式的带余除法、素数与素多项式定义与性质以及质数与不可约多项式的性质。
例2：质数的性质是除了1和本身之外没有别的因数。而在整环上的多项式环中不可约多项式的性质是除了相伴元之外没有别的因式。
这些性质从本质上说是一致的。
2非交换性与矩阵的乘法、映射的合成
由于长期进行数的运算，而数对加法和乘法运算是满换律的，所以学生习惯上认为一般的运算是满换律的。这一根深蒂固的影响对于学习那些具有非交换性的运算来说是一个难点。学生会在无意识中使用交换性。为了强化具有非交换性的运算与交换性的运算是完全不同的，将抽象的非交换性运算与具体的、熟知的例子关联起来是十分必要的。近世代数课程中典型的具有非交换性的运算就是矩阵和乘法与映射的合成（乘法）。
三、解题方法的联想类比
要证的等式左右两边都是集合，所以可以考虑证明互为子集。
近世代数课程的内容非常抽象，学生初次接触难免不适应。通过联想类比，与已学过的相关相似内容比较，不仅有利于学生接受，也有利于培养学生从现象到本质、从特殊到一般、从具体到抽象的认识事物的能力，发展其数学能力。
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