学文网摘 要： 本文介绍了矩阵的概念，以及具体的初等变换、线性变换、反射变换、平移变换、旋转变换等一些几何变换方法。
关键词： 初等变换 线性变换 反射变换 平移变换 旋转变换
矩阵是数学中的一个重要的概念。在解决矩阵与变换的问题上，我们认为可以采取一种分散难点的办法来处理。比方说一些具体的矩阵变换，如矩阵的初等变换，线性变换，反射变换，平移变换，旋转变换，等等。在此我谈一下矩阵变换的几种方法。
1.矩阵的概念
定义1 有个数排列成m行n列数表，a a … aa a … a… … … …a a … a
称为一个m行n列矩阵，简称m×n矩阵。其中a表示第i行第j列处的元素，i称为a的行指标，j称为a的列指标。矩阵通常用A，B，C…大写字母表示。
矩阵之间的一些最基本的关系即矩阵运算，包含矩阵的加法、减法、乘法，矩阵的数乘，矩阵的转置，以及矩阵的逆，等等。
2.矩阵的变换
2.1矩阵的初等变换
在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时转化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算，把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换［１］。
定义2矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:
（1）交换矩阵的两行（交换i，j两行，记作r?圮r）;
（2）以一个非零的数乘矩阵的某一行（第i行乘数k，记作r×k）;
（3）把矩阵的某一行的倍加到另一行（第j行乘k加到行，记作r+kr）。
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（相应记号中把换成）。初等行变换与初等列变换统称为初等变换。
2.2矩阵的线性变换
矩阵的有关概念和结论比较抽象，教科书充分利用几何直观、利用矩阵所对应的线性变换来介绍这些抽象的概念和结论，从而有效地化解了矩阵内容的抽象性［２］。矩阵是用来表示线性变换的一种工具，它和线性变换之间是一一对应的。
定义3 设T是线性空间V中的线性变换，在V中取定一个基α，α，…，α，如果这个基在变换下的象为：
T（α）=aα+aα+…+aα，T（α）=aα+aα+…+aα，…T（α）=aα+aα+…+aα，
记T（α，α，…，α）＝（T（α），T（α），…，T（α））则上式可表示为：
T（α，α，…，α）＝（α，α，…，α）A，
其中A=a a … aa a … a… … … …a a … a，那么，则称A为线性变换T在基α，α，…，α下的矩阵。
显然，矩阵A由基的象T（α），T（α），…，T（α）唯一确定。
例1.实数域上所有一元多项式的集合，记作P［x］，P［x］中次数小于n的所有一元多项式（包括零多项式）组成的集合记作P［x］，它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R上的一个线性空间。***性空间P［x］中，定义σ变换
（f（x））=f（x），f（x）∈P［x］，
则由导数性质可以证明：σ是P［x］上的一个线性变换，这个变换也称为微分变换。现取P［x］的基为1，x，x，…，x，则有
σ（1）=0，σ（x）=1，σ（x）=2x，…，σ（x）=（n-1）x，
因此，σ在基1，x，x，…，x下的矩阵为：
A= 0 1 0 … 0 0 0 2 … 0……… … … 0 0 0 …n-1 0 0 0 … 0
2.3矩阵的反射变换
反射变换也称为对称变换或镜像变换，三维反射变换可以相对于反射轴进行，也可以相对于反射平面进行［３］。相对于反射轴的三维反射变换是通过将***形绕反射轴旋转180°来实现的。
一个关于直线的反射有逆变换，它的逆变换就是关于直线的反射本身。反射具有保距的性质，即经过反射，两个原象之间的距离等于相应的两个象之间的距离。反射的保距性质蕴涵了反射的保角性质。一个反射将两条垂直线变成两条垂直线，将两条平行线变成两条平行线；将多边形变成全等的多边形。
2.4平移变换
把平面上的每个点都按一定的方向移动一定的距离，这样的变换是平移。如果移动的距离为0就为恒等变换。因此，恒等变换是平移变换的一个特例。
把A点移动到B点有且仅有一个平移，即A，B两点确定一个平移经过平移之后，两个原象之间的距离等于相应的两个象之间的距离，即平移也具有保距性［4］。由此，把一个***形上的所有点进行平移得到的是与原***全等的***形。
2.5旋转变换
把平面内每个点都绕一个定点按一定的转向转动一定的角度，这样的变换是一个旋转变换，这个定点称为旋转的中心。经过一个不是恒等变换的旋转，平面内只有一个点不动，这个点就是旋转的中心。进一步研究两个不同中心的旋转，可以发现下面的事实：一个θ角的旋转与一个φ角的旋转的复合，不管中心是否相同，总是一个θ+φ角的旋转；但在θ+φ=k・360°时，就是一个平移［5］。事实上，我们可以把两个旋转的积分解成4个反射的积，这4个反射的积可合并成2个反射的积，而两个反射的积或者是一个旋转或者是一个平移，从而知道两个旋转的积或者是一个旋转或者是一个旋转或者是一个平移，并且看到两个旋转的积是一个旋转时，旋转角等于原来两个旋转角的和。
矩阵作为线形变换的表示，有着广泛的应用。无论在数学中，还是在自然科学、工程技术中，都是一个基本的工具。变换是集合到它自身的映射。因此，变换的思想就是函数的思想，变换是函数的推广。通过对“矩阵变换”的学习，我们可以更好地理解变换的思想，学会用变换的观点来看待数学中的有关内容。
参考文献：
［1］谭***.矩阵初等变换的一些性质及应用［J］.郑州航空工业管理学院学报，2002，（04）.
［2］江忠.关于线性方程组初等变化的讨论［J］.达县师范高等专科学校学报，2004，（05）.17-18.
［3］吕学礼.代数矩阵与几何变换浅说［M］.吉林教育出版社.
［4］伍家德.坐标系与参数方程［M］.湖北教育出版社.
［5］张贤达.矩阵分析与应用［M］.清华大学出版社，2004，09版.
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