学文网初等数论是数学基础理论的一个分支，它主要研究的是整数的性质和方程的整数解。由于初等数论中的问题简明易懂，所以近代数学中许多重要的思想、方法和技巧都是从对整数性质的深入研究而丰富并发展起来的。在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。例如我们问现在几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数,同是几点钟或同为星期几。常常在生活中有同样的意义，这样，就在数学中产生了同余的概念。这个概念的产生可以说大大丰富了数学的内容。在代数里面一个主要的问题就是解代数方程，而同余方程是同余理论的核心内容。在这里我们所要研究的就是关于同余方程的一些基本知识、概念、术语等，以及对于一次同余方程，一次同余方程组等等的求解问题。
一、同余方程
设整系数多项式f（x）=anxn+…+a1x+a0（1）我们可讨论是否有整数值x满足同余式f（x）0（mod m）（2）我们要求解的这个同余式（2）称为是模 的同余方程。
若整数c满足f（c）0（mod m），则称c是同余方程（2）的解，我们把这个解记为xc（mod m）。这实际上是把同余类cmodm看作是满足同余方程（2）的一个解。当c1、c2均为同余方程（2）的解，且对模 不同余时，才把它们看作是不同解，我们把所有对模m两两不同余的（2）的解的个数（即满足“2”的模m的同余类的个数）称为是同余方程（2）的解数。因此，我们只要在模m的一组完全剩余系中来解模m的同余方程。显然，模m的同余方程的解数至多为 。
例1: 求同余方程4x2+27x-120（mod 15）的解。
解：取模15的绝对最小完全剩余系：-7，-6，…，-1，0，1，2，…，7。直接计算知x=-6，3是解。所以，这个同余方程的解是x-6，3（mod 15）。
例2: 求同余方程4x2+27x-90（mod 15）。直接计算知这个方程无解。
当f（x）的系数都是模m的倍数时，显见，任意的整数值x都是同余方程（2）的解，这样的同余方程（2）的解数为m，但并不是同余方程（2）的解数为m的必要条件，这可由下面的例子看出。
一般的,对素数p，同余方程xp-x0（mod p）的解数为p。
二、同余方程恒等变形
如同为了解代数方程进行恒等变形一样，为了解同余方程需要利用同余式的性质对同余方程进行恒等变形，即把它变为解完全相同的另一种同余方程，而后者要更简单易懂，最基本、最简单的有以下几种:
1.设s（x）是整系数多项式，同余方程（2）和同余方程 f（x）+m s（x）0（mod m）（3）等价，即它们的解和解数相同，这一恒等变形可表述为：若f（x）g（x）（mod m），则同余方程（2）和同余方程g（x）0（mod m）（4）的解和解数相同。
例如，例1中的同余方程和4x2+3x+30（mod 15），或4x2+12x-120（mod 15）都是等价的。
特别地，一个同余方程中的系数为模的倍数的项去掉后，同余方程的解不变。
例如，同余方程15x8+7x6+45x3-30x+60（mod 15）可化简为7x6+60（mod 15）。
由此，可引进模m的同余方程（2）的次数，即整系数多项式f（x）的模m的次数概念：若man,则称模m的同余方程（2）的次数及模m的次数为。当m｜aj，（0≤j≤n）时，我们就不能把二者一起说.要特别注意的是:模m的同余方程（2）的次数及f（x）模m的次数和多项式f（x）的次数不是一回事。
2.设s（x）是整系数多项式，同余方程（2）与同余方程f（x）+s（x）s（x）（mod m）（5）的解和解数相同。
例如,例1中的同余方程与4x2+27x12 （mod 15）是一样的同余方程ax-b0（mod m）和同余方程axb（mod m）是一样的。
定理1:若（an,m）=1及a■■an=1（mod m），则同余方程（2）与同余方程xn+a■■an-1xn-1+……+a■■a1x+a■■a00（mod m （6）的解和解数一样。
3.设同余方程h（x）0（mod m）（7）的解数为m,即上式是恒等同余式。如果整系数多项式q（x）,r（x）满足f（x）=q（x）h（x）+r（x）或更一般地，f（x）q（x）h（x）+r（x）（mod m）（9）。那么，同余方程（2）与同余方程r（x）0（mod m）（10）的解和解数相同。如果 的最高次项系数为1，那么，一定存在整系数多项式q（x）与r（x）。r（x）的次数小于h（x）的次数，使得式（8）成立。
如何才能学好初等数论中的同余方程部分，我们的建议是多做、多实践。学习初等数论就像学习新的实用技术课程一样，必须多练习，甚至是一定理一练习，反复看书、反复看举例题或反复做练习题，或许您会豁然开朗。此篇论文只是对简单同余方程的解法进行论述，同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法。而同余方程是同余理论的重中之重，在数学领域中应用广泛。
参考文献：
[1] 闵嗣鹤，严士健编.初等数论.北京：高等教育出版社，2003.
[2] 潘承洞，潘承彪编.初等数论.北京：北京大学出版社，2001.
（责编 张宇）
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