学文网双曲线及其标准方程篇1
主讲：王晓斌
地点：学校新篮球场
时间：2012年12月6下午第一节课
学习目标：
1.知识目标
（1）掌握双曲线的定义。
（2）体会双曲线的标准方程求解过程中所蕴含的数学思想。
（3）掌握双曲线的标准方程。
（4）理解数形结合的数学思想，体会运动变化的观点。
2.能力目标
（1）培养学生的合作探究能力、发现问题的能力及大胆提出问题的良好习惯。
（2）训练和培养学生分析、解决数学问题的能力。
（3）掌握探究数学问题的一般方法。
3.情感目标
（1）通过双曲线的形成过程培养学生的数学美感。
（2）培养学生的团结协作精神。
学习重点：
1.双曲线的定义
2.双曲线标准方程的探究过程
学习难点：
1.坐标系的建立及几何特征的描述
2.标准方程的推导过程
学习方法：
1.动手探究法
2.小组讨论法
3.发现总结法
课前预习：
问题1.我们已经学习了椭圆及其标准方程，回忆我们是如何推导其方程的？
①画***；②建系；③取代表；④条件几何化；⑤进一步代数化。
问题2.你能举出与双曲线有关的例子吗？
教学过程：
一、观察分析
问题3.用一平面截两个圆锥会得到什么样的曲线？
出示道具，观察得出双曲线。
问题4.椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数（大于|F1F2|）的轨迹叫做椭圆。
问题5.如果把椭圆定义中“距离的和”改成“距离的差”，那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
变成双曲线。
二、动手探究
1.分组探究画双曲线的过程
人员：全班分成8个小组，各小组由小组长负责。
道具：一根绳子，一个竹筒，两个固定物，粉笔。
2.双曲线的定义（用语言描述）
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。
问题6.竹筒的距离差与两定点之间有什么关系？
三、推导双曲线的标准方程
1.建系
使x轴经过两焦点F1、F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线。
2.取代表
设M（x，y）是双曲线上任一点，焦距为2c（c>0），那么焦点F1（-c，0），F2（c，0）
3.条件几何化
MF1-MF2=2a
四、小组展示，学习交流
在展示过程中，其他同学可以发问，可以补充纠正，充分展示每个同学的才能，最后教师根据情况点评、及时表扬，充分发挥激励作用，调动学生学习的积极性和趣味性。
五、问题思考
问题7.这里的“标准”指的是什么？
以双曲线的两对称轴为坐标轴，以中心为坐标原点。
问题8.标准方程有几种形式？怎样才能确定焦点在哪条轴上？
问题9.双曲线形状和大小与哪些量有关？
与a，b，c有关，特别是用“e”来刻画。
问题10.双曲线的方程中，a，b，c三者之间是什么关系？哪一个最大？它们表示什么？在***形中能指出来吗？
c2=a2+b2（满足勾股定理） c最大
六、布置作业
1.完成今天的学案
2.推导完成另一种双曲线的标准方程
双曲线及其标准方程篇2
1． （2012上海文16）对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
2． （2012全国大纲卷理3、文5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4，则该椭圆的方程为（ ）
3． （2012全国新课标卷理4、文4）设F1，F2是椭圆E：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x=■上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
4． （2012四川文15）椭圆■+■=1（a为定值，且a>■）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______．
5． （2012江西理13）椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2． 若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为___________．
双曲线及其性质
6． （2102福建文5）已知双曲线■－■=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（ ）
7． （2012湖南理5）已知双曲线C：■-■=1（a，b>0）的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
8． （2012全国新课标理8、文10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，AB=4■，则C的实轴长为（ ）
9． （2012全国大纲卷理8、文10）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2等于（ ）
10． （2012江苏8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线■－■=1的离心率为■，则m的值为______．
11． （2012辽宁文15）已知双曲线x2－y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为__________．
12． （2012天津文11）已知双曲线C1：■-■=1（a>0，b>0）与双曲线C2：■－■=1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（■，0），则a=________，b=________．
抛物线及其性质
13． （2012四川理8、文9）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y■）． 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM等于（ ）
14． （2012安徽理9）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AF=3，则AOB的面积为（ ）
15． （2012重庆理14）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB=■，AF
曲线与方程
16． （2012山东文11）已知双曲线C1：■-■=1（a>0，b>0）的离心率为2． 若抛物线C2：x2=2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（ ）
17． （2012山东理10）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率为■． 双曲线x2－y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）
圆锥曲线的综合问题
18． （2012福建理8）已知双曲线■－■=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
D． 5
19． （2012安徽文20）如***1，F1，F2分别是椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知AF1B的面积为40■，求a，b的值．
20． （2012广东文20）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：■+■=1（a>b>0）的左焦点为F1（－1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．
21． （2012全国新课标卷理20）设抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
（1）若∠BFD=90°，ABD的面积为4■，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
22． （2012湖南理21）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（1）求曲线C1的方程；
（2）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D． 证明：当P在直线x=－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
23． （2012山东文21）如***2，椭圆M：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求■的最大值及取得最大值时m的值．
24． （2012江西文20）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足■+■=■·（■+■）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x■，y■）（-2
25． （2012江苏19）如***3，在平面直角坐标系xOy中，椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）． 已知（1，e）和e，■都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．
①若AF1－BF2=■，求直线AF1的斜率；
②求证：PF1+PF2是定值．
26． （2012湖北理21）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足DM=mDA（m>0且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
双曲线及其标准方程篇3
【关键词】 抛物线；问题；定义；标准方程；设计意***
【基金项目】本文系甘肃省教育科学“十二五”规划课题―培养高一新生发展性学习能力和适应数学新课程的学习方法的实验研究（课题批准号：GS[2014]GHBZ038）的阶段性成果之一
一、内容分析
本节课是人教A版高二数学选修1-1第二章2.3.1抛物线及其标准方程的第一课时，主要内容是抛物线定义和抛物线标准方程，它是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，是学习抛物线的性质及其应用的基础，有着承上启下的作用.
二、学情分析
学生已经学习并且经历了椭圆、双曲线的特征，建立适当的直角坐标系，推导椭圆、双曲线的标准方程的过程，有了一定的学习基础，但文科生基础又较为薄弱，他们思维活跃但逻辑思维能力欠佳，直观形象思维较强但抽象能力较差.
三、教学过程
环节一：生活中的抛物线
设计意***：让学生欣赏现实生活中的一些抛物线***片，体会到抛物线的美及其在现实生活中的应用，从而产生研究抛物线的动力.
环节二：问题情境、引入新课
问题1：由2.1椭圆例6和2.2双曲线例5，得到产生椭圆和双曲线的另一种方法：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e的点的轨迹，当0
设计意***：这一问题使学生产生当动点到一定点距离与它到定直线距离相等（即离心率为1）时点的轨迹是什么的强烈愿望，使学生完成角色的改变，从“要我学”变成“我要学”.这样入手引出抛物线的定义，加强了与椭圆和双曲线的联系.
环节三：抛物线的定义
问题2：为什么要强调定义的另一种说法？
设计意***：进一步说明椭圆、双曲线及抛物线有统一的定义，即圆锥曲线的统一定义，培养了学生的观察与概括能力.
问题3：若定点F在定直线l上，则动点M的轨迹还是抛物线吗？
设计意***：抓住学生对定义的中出现的小漏洞，设置疑点，激发学生好奇心，同时完善了抛物线定义，也为下一步作出抛物线***形提出需要.
问题4：抛物线定义中的“一动三定”是什么？
设计意***：剖析抛物线的定义，将定义可归结为“一动三定”，加深对定义的理解，突出了本节课的重点，也便于学生理解记忆定义.
教师强调：抛物线是圆锥曲线的一种，不是双曲线的一支.
环节四：抛物线的标准方程
问题5：比较椭圆、双曲线标准方程的建立，如何选择坐标系，求得的抛物线方程才能更简单，***像具有对称美呢？
设计意***：引导学生积极思考，讨论发现最优方案，充分利用学生已有知识解决当前问题，唤起学生的美感意识，进一步培养学生的直觉判断能力、思维优化意识及适当建立坐标系的能力.
问题6：再观察3个二次函数的***像，哪个具有对称美，形式最简单？
设计意***：让学生比较、鉴别发现要使抛物线具有对称美，形式最简单，必须使抛物线的顶点在坐标原点，***像关于x轴或y轴对称.再次确认选择的方案.
问题7：如何推导出抛物线的标准方程？
设计意***：采取选择的方案建立适当的直角坐标系，类比椭圆、双曲线的标准方程的推导，学生很顺利地推导出抛物线的标准方程，突破了本节课的难点.由学生***完成，符合学生现阶段学习能力，充分突出了教学互动，培养了学生的操作能力和辩证唯物主义思想.
问题8：抛物线标准方程中p（p>0）的几何意义是什么？
设计意***：学生结合***形，自主探究出标准方程中p指什么？为什么 p>0？
教师强调：与椭圆、双曲线的标准方程类似，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他形式.
问题9：若抛物线的开口分别向左、向上、向下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？
设计意***：通过类比、轮换求解开口不同时抛物线的标准方程及相应的焦点坐标、准线方程，填58页的表格，完善抛物线的四个标准方程
教师强调：抛物线标准方程有4种形式，位置不同，方程形式也不同，焦点坐标、准线方程、开口方向也不同.
为了更好地理解掌握抛物线的标准方程，还设置了以下三个问题：
问题10：根据表中抛物线的标准方程的不同形式，如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
问题11：根据表中抛物线的焦点坐标、准线方程、开口方向的不同，会判断对应的是哪个抛物线标准方程吗？
问题12：4种位置的抛物线标准方程的共同点和不同点有哪些？
设计意***：在这几个问题上，要充分相信学生，挖掘学生的自身潜能，培养学生发现知识，探求知识的能力.通过这几个问题的解决，学生切实掌握了4种抛物线的标准方程、***像、焦点坐标、准线方程、开口方向等之间的关系，突出了重点内容，为后面知识的应用做好准备.
双曲线及其标准方程篇4
1.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()
A.4 B.3
C.4 D.8
答案：C 命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力.根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计算出三角形的面积.
解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点坐标为(1,0).直线AF的方程y=(x-1)，解方程组得或因为点A在x轴的上方，所以符合题意，即点A的坐标为(3，2)，|AK|=3+1=4，点F到直线AK的距离d即为点A的纵坐标2，因此SAKF=|AK|·d=4.
2.已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()
A.-x2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
答案：D 解题思路：设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，
4=a2+b2.又圆F：(x-2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=±x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=， a2=b2=2，故双曲线C的方程为-=1.
3.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*)，其前n项和Sn=，则双曲线-=1的渐近线方程为()
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案：C 命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.
解题思路：依题意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故双曲线方程是-=1，该双曲线的渐近线方程是y=± x=±x，故选C.
4.如***所示，F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()
A.+1 B.+1
C. D.
答案：B 命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质等知识，意在考查考生的基本运算能力.
解题思路：连接AF1，依题意，得AF1AF2，又AF2F1=30°， |AF1|=c，|AF2|=c，因此该双曲线的离心率e===+1，故选B.
5.设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|+|=||，则 的值为()
A. B.2
C. D.1
答案：A 解题思路：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m>n.由|+|=||知，F1PF2=90°，则m2+n2=4c2， e1=，e2=，+==2，=.
二、填空题
6.若双曲线-=1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x-m)2+y2≥16内，则实数m的取值范围是________.
答案：(-∞，-5][5，+∞) 命题立意：本题主要考查双曲线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，考查等价转化思想，考查分析问题、解决问题的能力.
解题思路：问题等价于已知双曲线的渐近线4x±3y=0与圆相离或者相切，故实数m满足≥4，即m≥5或m≤-5.
7.已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x-1)2+y2=相切，且双曲线的右焦点为抛物线y2=4x的焦点，则该双曲线的标准方程为________.
答案：-y2=1 命题立意：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程、几何性质，点到直线的距离公式以及基本量间的关系等.
解题思路：由题意可知双曲线中c=.设双曲线-=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为kx-y=0，根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径，得k2=，即=.又a2+b2=()2，则a2=4，b2=1，所以所求的标准方程为-y2=1.
8.已知双曲线-=1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且MF1MF2，则点M到x轴的距离为________.
答案： 命题立意：本题主要考查双曲线的几何性质，以及点到直线的距离，考查考生的运算求解能力.
解题思路：设M(x，y)，F1(-3,0)，F2(3,0)，则由MF1MF2，得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在双曲线上，故可以解方程组y2=，故点M到x轴的距离为.
三、解答题
9.已知椭圆C：+=1(a>)的右焦点F在圆D：(x-2)2+y2=1上，直线l：x=my+3(m≠0)交椭圆于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若(O为坐标原点)，求m的值;
(3)设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合)，且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在值?若存在，求出这个值;若不存在，请说明理由.
解析：(1)由题设知，圆D：(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0)，半径是1，
故圆D与x轴交于两点(3,0)，(1,0).
所以在椭圆中，c=3或c=1，又b2=3，
所以a2=12或a2=4(舍去， a>).
于是，椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
直线l与椭圆C方程联立
化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0，
y1+y2=，y1y2=.
x1+x2=m(y1+y2)+6=.
x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=++9=.
，·=0，
即x1x2+y1y2=0，得=0.
m2=，m=±.
(3) M(x1，y1)，N1(x2，-y2)，
直线N1M的方程为=.
令y=0，则x=+x1=
P(4,0).
解法一：SPMN=|FP|·|y1-y2|
=·1·
≤2·=1.
当且仅当m2+1=3，即m=±时等号成立，
故PMN的面积存在值1.
(或SPMN=2·
双曲线及其标准方程篇5
数学教学的价值有两个:数学的实用性;思维训练功能．数学教学必须同时兼顾教育价值的两个方面，目前的教学过于偏重于后者，导致在数学课程与生活脱离，课堂充满了密不透风的演绎与推理，数学让学生感受到的只有“冷冰冰”的一面，感受到的只有数学对考分的贡献，学生对数学的认识自然就有偏差，误以为学数学就是学解数学题．当然，过于强调应用而忽视思维也是不行的，这是另一个极端．数学是一门自然科学，直觉思维和逻辑思维同等重要，而且思维训练是推进数学学科发展不可或缺的．要树立正确的价值取向，教师就要理清楚高中数学教育的出发点．高中数学教学的出发点在于培养高中学生基本的数学素养，这是与其价值取向高度相关的．(1)给学生提供最基本的思维训练平台，通过高中数学教学，引导学生学会以数学的眼光去认识世界、思考问题．(2)从学生的生活实际出发，创设情境，将数学与现实世界有机地联系在一起，让学生在处理实际问题时，感受到数学学习的社会价值，从中学会处理数学问题的方法，提升解决问题的能力．
二、教学案例分析:双曲线及其标准方程
1．导入新课在抗美援朝战争的早期，我志愿***某炮兵团侦察出美***阵地后当机立断炮击美***阵地．可是在此不久，美***也较为准确地将炮弹打到了我***的阵地，大家想一想为什么美***会如此准确呢?提出这一历史性的问题，有效地激发了学生的学习兴趣．是什么原因呢?大家都想一探究竟，这个AB时候教师初步进行解释，而解释的最佳方式就是配上***形来理解:如***，美***在其阵地旁建筑了三个固定观测点A、B、C，假设我方阵地的位置在D点(任意位置)，美***从我方的***声到达这几个点的时间差，再借助于声速就能较为准确地判断我方阵地的位置，这是数学在***事上的应用．这样的解释，学生能够理解，但是玄机究竟在哪里呢?这就是今天要学习的内容，如此导入，学生的精气神都调动起来了．
双曲线及其标准方程篇6
摘 要：现有输电线路验电技术大多采用接触式，用于特高压线路时存在操作不便及一定的安全隐患。该文介绍的一种非接触式线路验电装置，基于垂直场强差分布曲线匹配方法，通过对垂直于地面、垂直于输电线路走向的电场强度分量的测量，将其与仿真计算得到的标准数据进行比对分析得到输电线路的带电状态。实现了在塔下非接触式安全验电，确保了作业人员的安全。经多条特高压线路实测，采用这种算法的验电装置验电准确、安全便捷。为特高压输电线路验电提供了一种安全有效的新方法。
关键词：输电线路 工频电场 非接触式线路验电装置
中***分类号：TM755 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）03（a）-0048-04
A Non-contact Line Charged Check Devicefor UHV Transmission Lines
Li Jiwen1 Chen Xianyong1 He Yiping1 Zhao Gang2
（1.Xinjiang power transmission & transformation engineering company，Urumqi Xinjiang，830011，China；2.Xi’an Guangyuan electric Co.，Ltd.，Xi’an Shaanxi，710065，China）
Abstract：Most of existing transmission line chargedcheck technology uses the contact， when used in UHV line is inconvenient operation and certain security risks. This paper introduces a kind of non-contact line charged check device， based on the vertical electric field intensity distribution curve matching method， based on the perpendicular to the ground， perpendicular to the electric field component of the transmission lines to measurements， with the standard data obtained by the simulation calculation comparison analysis get charged state of the transmission line. Realize non-contact safety inspection under the tower， ensure the safety of workers. By multiple UHV line measurement， the device using thisalgorithm inspection accurate， safe and convenient. The device provides a safe and effective new method for UHV transmission lines inspection.
Key Words：Transmission lines；Power frequency electric field；Non-contact line charged check device
《GB26859电力安全工作规程》第6.3.2条规定，高压直流线路和330 kV及以上的交流线路，可使用带金属部分的绝缘棒或专用的绝缘绳逐渐接近导线，根据有无放单声和火花的验电方法，判断线路是否带电，验电时应戴绝缘手套。但笔者在***特高压输电线路检修工作实践中发现，许多线路铁塔高度都在七八十米以上，塔下无法验电，需要作业人员冒着大风，携带数米长的验电杆攀爬铁塔到一定高度进行验电，存在劳动强度过大、操作困难及较大安全隐患。
为解决特高压线路缺乏安全有效的验电手段的问题，笔者们研制了一种非接触式线路验电装置，它通过测量地面附近的垂直于地面及垂直于输电线路走向的工频电场强度分量，可以准确地判断线路的带电状态。
装置采用曲线匹配的算法，即对典型的特高压输电线路类型，单塔单回路，单塔双回路和两路并行的线路下方的工频电场强度进行仿真计算，得到线路下方一定高度范围内的仿真（曲线）数值，作为标准曲线库保存。当获得一组实际测量（曲线）数值后，将其与标准曲线进行逐条曲线相似性判断，相似度最高的标准曲线作为匹配曲线，根据匹配标准曲线的属性判断出线路的带电状态。
经过在***多地对750 kV的输电线路的实际测量，装置的测量准确率达到了100%。
实践证明，这种针对特高压输电线路，基于电场强度测量的非接触式线路验电装置准确可靠，为特高压输电线路验电提供了一种新方法。
1 装置与测量
如***1所示，装置由两部分构成，前端探头盒包含依次连接的感应模块、滤波模块、采集模块和信号处理模块，感应模块测量位于测量路径上各测量点的带电体的电压信号，经过滤波模块低通滤波后，送至采集模块进行模数转换，由信号处理模块进行信号处理后传输出去。
后端是一台工业级的平板电脑，存储有仿真得到的作为标准***谱的横向场强分布数据曲线。应用程序根据实际测量的数据计算生成测量曲线，将测量曲线与标准***谱进行匹配识别。若测量曲线的最小值大于设定的带电阀值，同时，将测量曲线与对应类型输电线路的标准数据曲线逐条进行距离计算，若距离的最小值小于距离阀值，则表示有电，显示验电结果。
为尽量减小对场强的干扰，装置的前端通过电-光转换，后端通过光-电转换，使它们之间用光纤连接。
探头盒下部有一个安装孔，可以连接一个预制的托举杆，操作人员可以手持托举杆，将探头盒举过头顶1 m，进行验电操作。
装置测量输电线路下方工频电场强度垂直分量的方法是沿着线路垂直方向匀速走一定长度的路径，探头盒将采集到的场强值上传到平板电脑，生成采集数值集合（曲线），***2是不同输电线路类型所需要走过的路径示意***。
为保证测量的准确性，测量路径在输电线路导线的外延还要延伸一段距离。
测量完成后，平板电脑将测量数据存储到硬盘上。
2 标准***谱
利用专业的电磁场仿真软件，对750 kV和1 000 kV特高压等级，对单塔单回路、单塔双回路，两（单回）路并行等常见的输电线路类型，对不同的杆塔形状，不同相序的输电线路下方的电场强度进行仿真计算，得到了一个完整的标准曲线库。
为使标准***谱和实际测量一致，标准***谱所要仿真的横向长度要符合测量路径的要求，即***2所示的长度。例如标号为7C1―SZ3（如***3所示）的同塔双回路杆塔，其最外侧线路距中心15.6 m，则此杆塔在杆塔下方的仿真长度为70.20 m。
下面是750 kV的两个标准曲线库的例子。为清楚起见，只显示了部分仿真曲线（见***4、***5）。
750 kV的仿真曲线从距地面14 m起，间隔2 m，一直到70 m止；1 000 kV从34 m到90 m，间隔2 m。
从仿真曲线上可以知道，对单塔双回路输电线路类型而言，无论杆塔类型如何，无论相序如何，两路带电的基本形状都是从双峰形逐渐演变成凸包形，一路带电是滑梯形。曲线特征非常明显。
3 测量数据与曲线匹配计算
3.1 测量数据
***6是乌吐线两路带电时在两个测量点测得的数据，***7是乌吐线一路带电时在3个测量点得到的测量数据。***6和***7的测量数据是经过挑选的，有代表性，大多数测量数据的曲线特征都与此相似。***中横坐标表示在测量路径上测到的点位置，纵坐标表示场强。
实际测量时，由于环境、电缆高度等因素的影响，即使是同一条线路，不同地点测得的数据是不同的。
在两路带电时，如***6测得的数据基本呈现双峰型或鼓型；在一路带电时，如***7测得的数据基本呈现滑梯型。这些特征与仿真曲线的特征基本一致。
电场分布受环境的影响较大，测量路径上的遮挡物、障碍物都会造成电场的局部畸变，使得测量结果严重偏离正常的电场分布，造成测量结果失效。更严重的，可能造成判断错误。因此，在实测时，尽量在空旷、平整的空地上选择一条测量路径进行测量。可以在一条路径上反复测量几次，综合几次的判断结果最终确定线路的带电状态。
3.2 曲线匹配计算
从***4和***5的仿真曲线，以及***6和***7的测量曲线形状看，测量曲线与某些标准曲线存在着一定的形状相似性。通过比较测量曲线与标准曲线的相似度，一条测量曲线可以寻找到“最佳”匹配的标准曲线。通过这条匹配标准曲线的属性就可以判断曲线的带电状况。
其次，测量曲线有很多的锯齿，这可能是干扰或测量误差造成的，因此需要对曲线进行光滑滤波处理。
设测量曲线为，对其进行一次自适应滤波，
然后再进行3次***条插值，设标准曲线的点个数为，根据***条插值函数计算出个点的测量值，归一化处理后，设为；假设一条归一化以后的标准曲线为，计算两条曲线的距离，得出测量曲线与一条标准曲线的距离。遍历标准曲线库，取对应的标准曲线，通过标准曲线的属性就可以判断出线路的带电状态。
根据两条曲线间距离的不同定义，可以衍生出不同的曲线匹配算法。此外，根据两条曲线间的相关性，即相关系数，也能较好地进行匹配判断。
在匹配算法中，针对每一种算法，设定了两个阀值A和B，阀值A的含义是带电阀值，阀值B的含义是匹配阀值，当测量曲线的平均值小于等于阀值A时，判断线路不带电，给出结论；当测量曲线的平均值大于阀值A时，判断线路带电，但此时有可能是一路带电；需要进一步判断。当测量曲线与标准曲线的最小距离小于阀值B，则给出判断结果，否则给出无法判断的结论。
线路不带电时，其下方的电场强度与正常环境下的差别不大，都在两位数以下，而当线路带电时，线路下方的场强都在三位数以上。仿真和实测都证实了这一点。因此，通过设定适合的阀值A，可以容易地确定线路是否带电，且不会误判。对于单回路线路，阀值A就能给出结论，而对双回路线路或两路并行线路，当阀值A判断有电时，进一步判断是两路都带电还是其中一路带电，哪路带电成了关键，这也是匹配算法要解决的关键问题。
在应用软件中，我们对一条测量曲线顺序采用多种算法进行判断，只有当所有的判断都一致，或仅有一个例外时，软件才给出分析结论。否则软件不给确定的结论。
笔者在***对750 kV的线路进行了多次实地测量，测量样本包含单塔单回路、单塔双回路、两路并行等输电线路类型，包含了很多的杆塔类型和相序排列类型，以及带电、部分带电、不带电等情形，有效的测量样本数大约320个。对这些样本的分析判断结果与实际情况完全一致。
4 结语
非接触式验电装置能够对750 kV电压等级的输电线路进行准确验电，是否能取代传统的验电方式还有待实践的检验。
此验电装置还有不少改进的空间，其一是对测量环境的要求，即要求有一个空旷平整的空地进行测量。针对这个问题，我们也在改进测量方法和算法，比如通过测量输电线路下方几个特征点的场强数据，判断出线路的带电状态。其二是前端装置和平板电脑间是有线连接，实际测量有不便之处，为此，我们也在尝试通过改进采集处理流程，预补偿算法等消除无线连接对局部电场造成的影响。
参考文献
[1] 刘振亚.国家电网公司颁布国家电网公司输变电工程通用设备（1000kV输电线路分册）（2013年版）[M].中国电力出版社，2014.
[2] 刘振亚.国家电网公司颁布国家电网公司输变电工程通用设计：750kV输电线路分册（2010年版）[M].中国电力出版社，2010.
[3] 刘振亚.国家电网公司颁布国家电网公司输变电工程通用设计：500（330）kV输电线路分册（2011年版）[M].中国电力出版社，2011.
[4] 弋东方.电力工程电气设计手册第一册：电气一次部分[M].中国电力出版社，2014.
[5] G-DGW_179-2008，110～750kV架空输电线路设计技规定[S].2008.
[6] 封静波，苏志勋，刘秀平.一种基于相似曲线的全景***自动拼接算法[J].计算机学报，2003，26（11）：1604-1608.
双曲线及其标准方程篇7
一、圆锥曲线的定义及几何性质
重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质,因为这是本章的基石,高考所考的题目都要涉及到这些内容.
1. 求曲线方程
求曲线方程的常用方法有求轨迹方程法、定义法、待定系数法等.
例1(2008山东10):设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为
A.x242-y232=1 B.x2132-y252=1
C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1
解析:根据双曲线的定义可判断曲线C2是焦点在x轴上,且实轴长2a=8的双曲线;再根据椭圆的长轴长为26,离心率为513,可得半焦距c=5,由于双曲线与椭圆的焦点相同,即可求出方程为x242-y232=1.
答案:A.
2.求椭圆、双曲线的离心率
求离心率关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系,然后把b用a、c代换,求出离心率.在双曲线中,由于e2=1+(ba)2,所以双曲线的渐近线与离心率密切相关.
例2(2007全国Ⅱ):设F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|.则双曲线的离心率为
A.52B.102C.152 D.5
解析:已知圆锥曲线上一点及焦点,首先要考虑用圆锥曲线的定义求解.设双曲线x2a2-y2b2=1的半焦距为c,依题意双曲线上存在点A,由定义可得|AF1|-|AF2|=2a.再根据∠F1AF2=90°,可得|AF1|2+|AF2|2=4c2,再与|AF1|=3|AF2|联立方程组解得e=ca=102.
答案:B.
例3(2009山东9):设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2只有一个公共点,则双曲线的离心率为
A.54B.5C.52D.5
解析:由题意双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线y=abx与抛物线y=x2+1只有一个公共点,可联立方程组得到一元二次方程x2-bax+1=0的判别式Δ=0,解得(ba)2=4,根据e2=1-(ba)2求的e=5.
答案:D
二、最值或定值问题
以圆锥曲线为载体的最值或定值问题也是高考考查的热点,多与函数、不等式等知识结合,以解答题的形式出现.
1.最值问题
最值问题涉及的知识面比较广,常用的有以下几种方法:
(1)利用不等式,尤其是均值不等式求最值;
(2)利用函数,尤其是二次函数求最值;
(3)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值.
例4(2007全国Ⅰ):已知椭圆x23+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且ACBD,垂足为P.
(1)设P点的坐标为(x0,y0),证明:x203+y202
(2)求四边形ABCD的面积的最小值.
解析:(1)椭圆的半焦距c=3-2=1,由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,所以x20+y20=1,故由放缩法可得x203+y202
(2)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2.
|BD|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=43(k2+1)3k2+2.
因为AC与BD相交于点P,且斜率为-1k,所以|AC|=43(1k2+1)31k2+2.
则四边形ABCD的面积
S=12|BD||AC|=24(k2+1)(3k2+2)(2k2+3)≥24(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)2
2=9625.
所以四边形ABCD的面积的最小值为9625.
2.定值问题
例5(2009辽宁):已知椭圆C过点A(1,32),两个焦点为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
解析:(1)由题意,c=1,由待定系数法可设椭圆方程为x21+b2+y2b2=1,将A(1,32)代入得11+b2+94b2=1,解得b2=3,b2=-34(舍去).所以椭圆方程x24+y23=1.
(2)设直线AE方程为y=k(x-1)+32,代入x24+y23=1得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(32-k)2-12=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),因为点A(1,32)在椭圆上,
所以x1=4(32-k)2-123+4k2,y1=kx1+32-k.
又直线AF的斜率与直线AE的斜率互为相反数,
所以x2=4(32+k)2-123+4k2,y2=-kx2+32+k.
所以直线EF的斜率k=y2-y1x2-x1=-k(x2+x1)+2kx2-x1=12.
即直线EF的斜率为定值,定值为12.
三、圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题,主要是直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线与向量、数列等知识相结合的题目,特别是圆锥曲线与向量相结合的综合题目是高考考查的热点.
1.直线与圆锥曲线相交问题
直线与圆锥曲线相交问题,关键就是将直线方程与圆锥曲线方程联立,化成关于x(或y)的一元二次方程,利用韦达定理求两交点横坐标(纵坐标)的和与积,再利用已知条件找到等量关系(如例4、例5).
2.圆锥曲线与向量、数列等知识相结合的问题
例6(2008山东22) :如***,设抛物线方程x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过点M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(1) 求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=410.求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上,其中,
点C满足OC=OA+OB(O为坐标原点).若存在,
求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,
请说明理由.
解析:(1)证明:由题意设A(x1,x212p),b(x2,x222p),x1
由x2=2py,得y=x22p,则y′=xp,所以kMA=x1p,kMB=x2p.
可得直线MA的方程为y+2p=x1p(x-x0),
直线MB的方程为y+2p=x2p(x-x0).
因为点A,B分别在两条直线上,所以x212p+2p=x1p(x1-x0), ①
x222p+2p=x2p(x2-x0).②
由①-②可得2x0=x1+x2,则可证得A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)解:因为M点的坐标为(2,-2p),即x0=2,代入①②并整理得x21-4x1-4p2=0
,x22-4x2-4p2=0.
即x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根.
因此x1+x2=4,x1x2=-4p2.
又有kAB=x222p-x212px2-x1=x1+x22p=x0p=2p.
由弦长公式可得
|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2
=1+4p216+16p2=410.
可得p=1或p=2,所以所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
(3)解:设D(x3,y3),由点C满足OC=OA+OB(O为坐标原点)可得C(x1+x2,y1+y2),且(x1+x22,y1+y22)在直线AB上.
因为C、D关于直线AB对称,
所以CD的中点坐标Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32)也在直线AB上.
代入直线AB:y-y1=x0p(x-x1),可得y3=x0px3.
若D(x3,y3)在抛物线上,则x23=2py3=2x0x3.
解得x3=0或x3=2x0,即D(0,0)或D(2x0,2x20p).
当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时点M(0,-2p)适合题意.
当x0≠0时,对于D(0,0),C(2x0,x21+x222p),kCD=x21+x222p2x0=x21+x224px0.
又因为kAB=x0p,ABCD,所以kABkCD=x0px21+x224px0=-1.
即x21+x22=-4p2,矛盾.
对于D(2x0,2x20p),因为C(2x0,x21+x222p),此时直线CD平行于y轴,
又因为kAB=x0p,ABCD,所以x0=0,这与x0≠0矛盾.
双曲线及其标准方程篇8
关键词双曲拱坝，测量技术
中***分类号：C35文献标识码： A
1工程概况
大坝口水库坝址区位于大坝沟沟口，该沟谷段长约300m，沟谷宽约25-40m，两岸陡峻、沟谷深切，为基本对称的“V”型谷。坝址河道顺直，两岸山体雄厚，岩体比较坚硬完整。拱坝顶拱外半径为110.00m，中心角为105.51°，坝顶轴线长度202.57m。坝顶厚度4m，不计防渗面板的坝体底部厚度15.0m。
2测量工具及软件的选取
采用以下几种软件进行计算及其测量放样工作：
2.1 Excel软件
Excel软件用于数据的简便精准计算。
2.2 Cass软件
Cass软件用于把计算出的数据采用坐标的形式反映出来。Cass地形地籍成***软件是基于AutoCAD平台技术的GIS前端数据处理系统。
2.3全站仪
全站仪用于数据采集之后的放样工作。
3计算方法及应用
3.1计算方法
拱冠梁断面各层圆心到坝轴线的距离D与相应坝高H（相对于高程1072m的坝高）的关系如下：
高程1072.00-1075.60m:D=54.3+H/tan(14.63°)，H=0-3.6m;
高程1075.60-1122.60m:D=49.85+（H-3.6）/tan(38°)，H=3.6-50.6m;
拱冠梁断面处各计算参数与相应坝高H（相对于高程1072m的坝高）的关系如下：
上游坝面X上=6.184+0.28399H-0.009H²+0.0000333H³，H=0-50.6m
下游坝面X下=8.716-0.32083H-0.00479H²+0.000222H³，H=0-50.6m
其中：D为圆心到坝轴线的距离
H为相对应的高程
X上为上游坝面距坝轴线的距离
X下为下游坝面距坝轴线的距离
3.2以高程1073m拱圈进行举例说明
下游拱圈半径为：R内=D-X下=54.3+1/tan(14.63°)- 8.716-0.32083×1-0.00479×1²+0.000222×1³=37.1m
上游拱圈半径为 R外=D+X上=54.3+1/tan(14.63°)+6.184+0.28399×1-0.009×1²+0.0000333×1³=52.2m
坝轴线到圆心的半径R=D=45.8+1/tan(41.66°)=46.9m
由以上可得出1073m拱圈的圆心和上下游半径。
然后在Cass软件上得出1073m拱圈的坐标：在Cass软件上新建一个***层，由设计给出的坝轴线坐标确定坝轴线的位置，然后由坝轴线到圆心的距离确定出1073m界面的圆心，由此圆心和拱圈上下游的半径确定出1073m的拱圈***，可以由此在软件上生成拱圈上各个点的坐标，然后采用全站仪对坝体进行精确放样。
3.3测量技术在坝体面板施工中的应用
以高程1073m-1074m为例，简述测量技术在坝体面板施工中的应用：
3.3.1采点
由上述操作可画出任意高程的拱圈，从而在成***软件中采集平面***中想要放样点的坐标。由于双曲拱坝变圆心变半径，所以采集的1073m和1074m的坐标是不同的。采取以高度1m为单位进行坐标采集、放样、施工。以AutoCAD为平台的CASS软件中有采集点以记事本格式生成文件。
3.3.2放样
放点时依旧放下一层已浇筑点。如支1074模板时依旧放1073m点，放点后给现场施工人员交底1074m-1073m之间每一点的距离。
3.3.3校正
模板加固前利用全站仪校准1074m-1073m段模板位置，边校准边加固，以减少施工中的误差。
同理在坝体下游C35砼预制块砌筑过程此种测量方法中也被广泛应用，采点与坝体面板相同。由于双曲拱坝变圆心变半径，致使坝体中线到弧线外侧由每层向坝体内侧退5-7cm递增到16-28cm。为减少每层预制块的错台，技术人员通过对预制块的改进及采取砌筑过程中每层跟踪放线，从而减小每层误差。最后达到坝体下游砌块的整体效果。
双曲线及其标准方程篇9
1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有()
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|
B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|
D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|
答案：C 解题思路：抛物线的准线方程为x=-，由定义得|FP1|=x1+，|FP2|=x2+，|FP3|=x3+，则|FP1|+|FP3|=x1++x3+=x1+x3+p，2|FP2|=2x2+p，由2x2=x1+x3，得2|FP2|=|FP1|+|FP3|，故选C.
2.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A，B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()
A.4B.2 C.2D.
答案：C 命题立意：本题考查直线与抛物线及圆的位置关系的应用，难度中等.
解题思路：设直线l的方程为y=-x+b，联立直线与抛物线方程，消元得y2+8y-8b=0，因为直线与抛物线相切，故Δ=82-4×(-8b)=0，解得b=-2，故直线l的方程为x+y+2=0，从而A(-2,0)，B(0，-2)，因此过A，B两点最小圆即为以AB为直径的圆，其方程为(x+1)2+(y+1)2=2，而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，此时圆心(-1，-1)到准线的距离为1，故所截弦长为2=2.
3.如***，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为()
A.y2=9x B.y2=6x
C.y2=3x D.y2=x
答案：C 命题立意：本题考查抛物线定义的应用及抛物线方程的求解，难度中等.
解题思路：如***，分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为E，D，由抛物线定义可知|AE|=|AF|=3，|BC|=2|BF|=2|BD|，在RtBDC中，可知BCD=30°，故在RtACE中，可得|AC|=2|AE|=6，故|CF|=3，则GF即为ACE的中位线，故|GF|=p==，因此抛物线方程为y2=2px=3x.
4.焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()
A.(1,3) B.(1,3]
C.(3，+∞) D.[3，+∞)
答案：D 命题立意：本题主要考查双曲线的离心率问题，考查考生的化归与转化能力.
解题思路：设AF的中点C(xC,0)，由题意xC≤-a，即≤-a，解得e=≥3，故选D.
5.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取值时，直线l的斜率等于()
A. B.- C.± D.-
答案：B 命题透析：本题考查直线与圆的位置关系以及数形结合的数学思想.
思路点拨：由y=，得x2+y2=1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的上半圆，如***所示.
故SAOB=|OA||OB|·sin AOB=sin AOB，所以当sin AOB=1，即OAOB时，SAOB取得值，此时O到直线l的距离d=|OA|sin 45°=.设此时直线l的方程为y=k(x-)，即kx-y-k=0，则有=，解得k=±，由***可知直线l的倾斜角为钝角，故k=-.
6.点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“正点”，那么下列结论中正确的是()
A.直线l上的所有点都是“正点”
B.直线l上仅有有限个点是“正点”
C.直线l上的所有点都不是“正点”
D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“正点”
答案：A 解题思路：本题考查直线与抛物线的定义.设A(m，n)，P(x，x-1)，则B(2m-x,2n-x+1)， A，B在y=x2上， n=m2,2n-x+1=(2m-x)2，消去n，整理得关于x的方程x2-(4m-1)x+2m2-1=0， Δ=8m2-8m+5>0恒成立， 方程恒有实数解.
二、填空题
7.设A，B为双曲线-=1(b>a>0)上两点，O为坐标原点.若OAOB，则AOB面积的最小值为________.
答案： 解题思路：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-x，则点A(x1，y1)满足故x=，y=，
|OA|2=x+y=;
同理|OB|2=.
故|OA|2·|OB|2=·=.
=≤(当且仅当k=±1时，取等号)， |OA|2·|OB|2≥，
又b>a>0，
故SAOB=|OA|·|OB|的最小值为.
8.已知直线y=x与双曲线-=1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB=________.
答案： 解题思路：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2=，y1+y2=0，y1y2=-，
x1+x2=0，x1x2=-4×.
由kPA·kPB=·====知kPA·kPB为定值.
9.设平面区域D是由双曲线y2-=1的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x，y)D，则目标函数z=x+y的值为______.
答案：
3 解题思路：本题考查双曲线、抛物线的性质以及线性规划.双曲线y2-=1的两条渐近线为y=±x，抛物线y2=-8x的准线为x=2，当直线y=-x+z过点A(2,1)时，zmax=3.
三、解答题
10.已知抛物线y2=4x，过点M(0,2)的直线与抛物线交于A，B两点，且直线与x轴交于点C.
(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列;
(2)设=α，=β，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由.
解析：(1)证明：设直线的方程为：y=kx+2(k≠0)，
联立方程可得得
k2x2+(4k-4)x+4=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，
则x1+x2=-，x1x2=，
|MA|·|MB|=|x1-0|·|x2-0|=，
而|MC|2=2=，
|MC|2=|MA|·|MB|≠0，
即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列.
(2)由=α，=β，得
(x1，y1-2)=α，
(x2，y2-2)=β，
即得：α=，β=，
则α+β=，
由(1)中代入得α+β=-1，
故α+β为定值且定值为-1.
11.如***，在平面直角坐标系xOy中，设点F(0，p)(p>0)，直线l：y=-p，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点，过R，P分别作直线l1，l2，使l1PF，l2l，l1∩l2=Q.
(1)求动点Q的轨迹C的方程;
(2)在直线l上任取一点M作曲线C的两条切线，设切点为A，B，求证：直线AB恒过一定点;
(3)对(2)求证：当直线MA，MF，MB的斜率存在时，直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列.
解题思路：本题考查轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系.(1)利用抛物线的定义即可求出抛物线的标准方程;(2)利用导数及方程根的思想得出两切点的直线方程，进一步求出直线恒过的定点;(3)分别利用坐标表示三条直线的斜率，从而化简证明即可.
解析：(1)依题意知，点R是线段PF的中点，且RQFP，
RQ是线段FP的垂直平分线. |QP|=|QF|.故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x2=4py(p>0).
(2)设M(m，-p)，两切点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由x2=4py得y=x2，求导得y′=x.
两条切线方程为y-y1=x1(x-x1)，
y-y2=x2(x-x2)，
对于方程，代入点M(m，-p)得，
-p-y1=x1(m-x1)，又y1=x，
-p-x=x1(m-x1)，
整理得x-2mx1-4p2=0.
同理对方程有x-2mx2-4p2=0，
即x1，x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根.
x1+x2=2m，x1x2=-4p2.
设直线AB的斜率为k，k===(x1+x2)，
所以直线的方程为y-=(x1+x2)(x-x1)，展开得：
y=(x1+x2)x-，
双曲线及其标准方程篇10
一、结合解几的基础内容，考查直线、圆等基础知识与基本技能
直线与圆是解析几何的基础内容，围绕这一内容设计的选择题与填空题相当多.此类题往往具有交汇性、灵活性，虽然难度不大，但涉及的基本方法与基本技能绝不单纯.
例1 已知圆x2+y2=1和直线y=2a+b交于A,B两点，且OA,OB与x轴正向所成的角分别为?琢,?茁，则sin(?琢+?茁)= .
解析 由y=2x+b，x2+y2=1?圯5x2+4bx+(b2-1)=0，设A，B两点坐标分别为A(cos?琢,sin?琢)，B（cos?茁,sin?茁），
那么cos?琢+cos?茁=-，cos?琢cos?茁=-， 又sin?琢=2cos?琢+b，sin?茁=2cos?茁+b，
得sin(?琢+?茁)=sin?琢cos?茁+cos?琢sin?茁=(2cos?琢+b)cos?茁+cos?琢(2cos?茁+b)=4cos?琢cos?茁+b(cos?琢+cos?茁)=4・+b・(-)=-.
点评 本题是一道填空题，涉及直线与圆的位置关系、三角函数的定义，求解时，既要用到解几的常规技能又要用三角的基本换化，不是很难，但有灵活性.
二、结合基本量之间的关系，考查某一参数的范围或最值
圆锥曲线方程中的a,b,c、离心率、渐近线方程等都是基本量，很多看似复杂的问题，其实就是这些量之间的关系问题，只要我们深入分析、透彻理解很快便迎刃而解.看看2011年浙江、天津、福建卷都在此处设计了试题.
例2 已知椭圆x2+=1(0
解析 设F、B、C的坐标分别为(-c,0)，(0,b)，(1,0)，则FC、BC的中垂线分别为x=，y-=(x-)，联立方程组，得x=，y=.
于是m+n=+>0，即b-bc+b2-c>0?圯(1+b)(b-c)>0?圯b>c，从而b2>c2即有a2>2c2， e20， 0
点评 本题是基本量之间的基本关系，首先通过焦点、顶点设出坐标，然后，产生圆心坐标，进一步得到b>c，由此产生离心率的范围.
三、结合几何性质，考查圆锥曲线的离心率
离心率是圆锥曲线的重要特征量，看看历年高考试题，在离心率上“作文章”的有多少？也许不看不知道，看了吓一跳.为什么它如此倍受命题人的青睐呢？它除了牵动着圆锥曲线方程中a,b,c的之间的关系以外，它还可以直接解释椭圆的扁平及双曲线的开口的大小.
例3 如下***，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB∥CD.若双曲线C1以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时, 双曲线的离心率为___________.
解析 ∠BAC=?兹，作CEAB于点E，则BC=2Rsin?兹，EB=BCcos(90°-?兹)=2Rsin2?兹，CD=2R-4Rsin2?兹，梯形的周长：
l=AB+2BC+CD=2R+4Rsin?兹+2R-4Rsin2=-4R(sin?兹-)2+5R.
当sin?兹=，即?兹=30°时，l有最大值5R，这时，BC=R，AC=R，a=(AC-BC)=(-1)R，e==+1.
点评 本考查求离心率，但有一个条件，就是周长最大时，如何产生周长？何时周长最大？显然，除了要有圆锥曲线的基础知识之外，还要具有应用数学基础知识求解问题的能力.
四、结合定义，考查圆锥曲线中的数形结合思想
圆锥曲线的定义是圆锥曲线的基础，也是圆锥曲线基本技能与基本方法的生长点.看看我们的教材，在例题、练习、习题中有三分之一以上的题都与定义有关.无论高考命题的指导思想是“以能力立意”，还是“源于教材，而高于教材”，圆锥曲线的定义，都必将受到命题人的特别关注.
例4 已知点Q是圆M: (x+1)2+y2=64上动点（圆心为M），点N(1,0)，若线段QN的中垂线MQ交于点P.
（1）求动点P的轨迹E的方程.
（2）已知A(1,0),B(2,2)，T是轨迹E上的一动点，求TA+TB的最大值.
（3）在动点P的轨迹上是否存在点T，使,,成等差数列？若存在，求出TM与TN值；若不存在，说明理由.
解析 （1）由线段QN的中垂线交MQ于点P，得PN=PQ，
那么PM+PN=PM+PQ=8>MN，
所以动点P的轨迹是以N、Q为焦点，以8为长轴长的椭圆，
即2c=2，2a=8?圯c=1，a=4，得b2=16-1=15，
故P的轨迹方程为+=1.
（2）易知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由a2=16知TA+TF1=8，因此TA+TB=8+TB-TF1问题转化为“求椭圆上一点到B,F1两点距离之差的最大值”；如***，连B,F1并延长交椭圆与T点.
此时，TB-TF1最大，其值为=，故TA+TB的最大值为8+.
（3）假设存在点T满足题设，由+=1，可知TM+TN=8，MN=2，结合=+，得TM・TN=8.
由TM+TN=8，TM・TN=8?圯TM=4+2，TN=4-2或TM=4-2，TN=4+2.
由于3≤TM≤5且3≤TM≤5，
而4-25,
故点T不存在.
点评 本题以2-1教材P49A组第7题（1-1教材P42A组第7题）为原形进行改编、深化，第一问直接考查椭圆定义的应用、第二问建立在定义的基础上考查数形结合思想的应用、第三问建立在定义的基础上考查方程思想及分析判断的能力.
五、结合实际应用问题，考查圆锥曲线的基础知识与应用技能
实际应用问题以前是函数、数列的“特产”，近年范围有所改变，有向解几“蔓延”的趋势.再加上，解几中确实存在着诸多实际应用的因素，它与现实生活中很多现象都有千丝万缕的联系，比如：神七的运行轨道、郭晶晶跳水的空中曲线、双曲线型冷却塔等.
例5 某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔（如右***），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，从而实现热电系统循环水的零排放.
（1）冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，要求它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为20 m，且双曲线的离心率为，试求冷却塔的高应当设计为多少？
（2）该项目首次需投入资金4000万元，每年节能后可增加收入600万元. 投入使用后第一年的维护费用为30万元，以后逐年递增20万元. 为使年平均节能减排收益达到最大值，多少年后报废该套冷却塔系统比较适合？
解析 （1）如***，建立平面直角坐标系. 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).由题意可知，a=12，e===，解得c=4.
从而b2=c2-a2=(4)2-122=400，
双曲线方程为-=1.
将x=13代入，解得y=. 将x=20代入，解得y=.
所以，冷却塔的高为+=m.
（2）n年后的年平均减排收益为：
==
-10(n+)+580≤-10×2+580=180，当且仅当n=即n=20时等号成立，即20年后报废该套冷却塔系统比较适合.
点评 本题可能又有似曾相识的感觉，是的，这是建立在2-1教材P58页例3（1-1教材P50页例4）为原形进行改编的.它将数列、不等式等尽收其中，试题不难，但却是难得的好题.
六、结合创新，考查圆锥曲线中的探索性问题
以解几的主干知识为依托，命制新背景、新定义、新运算、新性质等的创新题型，考查考生创新能力与创新意识，考查考生捕捉信息与处理信息的能力.近年湖南考查新定义，广东、陕西、山东考探索性问题，这些都是对创新应用的考查.
例6 O′过定点A(0,p)(p>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．
（1）当O′点运动时，MN是否有变化？并证明你的结论；
（2）当OA是OM与ON的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．
解析 （1）设O′(x0,y0)，则x20=2py0(y0≥0)，则O′的半径O′A=， O′的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2.
令y=0，并把x20=2py0代入得x2-2x0x+x20-p2=0，
解得x1=x0-p，x2=x0+p，所以MN=x1-x2=2p .
这说明MN是不变化，其为定值2p．
（2）不妨设M(x0-p,0)，N(x0+p,0)．
由题2，OA=OM+ON，得2p=x0-p+x0+p，所以-p≤x0≤p．
O′到抛物线准线y=-的距离d=y0+=，
O′的半径O′A===．
r>d?圳x40+4p4>(x20+p2)2?圳x20
又x20≤p2 0)，所以r>d，即O′与抛物线的准线总相交．
点评 本题两问的结论都具有探索性，但难度不大，只要抓住圆锥曲线的常规运算技能与技巧都能较好地完成本题求解.
七、结合多种圆锥曲线，考查圆锥曲线常规技能的应用
多种圆锥曲线联合进行设计试题是广东近年高考命题的一大特色，2007年是圆与椭圆、2008年椭圆与抛物线、2009年圆与抛物线、2010年双曲线与椭圆、2011年圆与双曲线，看看从新课标实施以来哪一年考题是单独考查某一种曲线？因此，注重多种圆锥曲线联合是必须的也是应该的.
例7 已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P(-4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A,B两点，和y轴交于点C，并且点P***段AB上，又满足PA・PB=PC2．
（1）求双曲线G的方程；
（2）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.
解析 （1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，则由已知可得，所以k=±，即双曲线G的渐近线的方程为y=±x．
设双曲线G的方程为x2-4y2=m．由y=(x+4)，x2-4y2=m?圯
3x2-8x-16-4m=0， 则xA+xB=， xAxB=-（＊）.
PA・PB=PC2，P,A,B,C共线且P***段AB上，
(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2，整理得：4(xA+xB)+xAxB+32=0，将（＊）代入上式可解得m=28．
所以，双曲线的方程为-=1．
（2）由题可设椭圆S的方程为： +=1(a>2)．下面我们来求出S中垂直于l的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN的中点为P(x0,y0)，则+=1，+=1?圯+
=0.
由于=-4，x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，所以-=0，
所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线-=0截在椭圆S内的部分．
又由于这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以=，即a2=56，椭圆S的方程为+=1．
点评 本题建立在圆、椭圆与双曲线的基础上进行设计，求解时用到了圆锥曲线中很多基础知识与基本技能，如：点到直线的距离公式、通过渐近线方程设双曲线方程、将线段的长度关系转化为坐标关系、韦达定理、点差法等，虽然难度不大，但从知识点的覆盖上看是一道好题.
八、结合函数、不等式、导数、数列考查圆锥曲线基本技能的灵活应用
在广东命题的历史上，曾有过将圆锥曲线问题置于函数、导数、不等式之中，求解中不仅要拥有解几的基础知识与常规技能,还要熟练运用导数、函数、不等式.想想今年这种设计会不会再现，我们还是从“宁可信其有”的角度去作好准备吧！
例8 已知一列椭圆Cn：x2+=1(0
（Ⅰ）试证：bn≤(n≥1)；
（Ⅱ）取bn=，并用Sn表示PnFnGn的面积，试证：S1
解析 （Ⅰ）由题设及椭圆的定义，得2dn=PnFn+PnGn=2?圯dn=1.设点Pn的坐标为(xn,yn)，得-xn=1?圯xn=-1?圯-1≤-1≤1?圯≤
从而对任意n≥1，bn≤.
（Ⅱ）设Gn(cn,0)，则c2n=1-b2n，由（Ⅰ）得xn=-1即xn=-1，那么y2n=b2n(1-x2n)=(1-c2n)[1-(-1)2]，即yn=，
因此Sn=×2cn・yn=，
由Sn′=，令Sn′=0，得cn=（负数舍去）；由于Sn在cn∈(,)时为增函数；在cn∈(,1)时为减函数.
由题意，取bn=，则cn==是增数列，又知c2=
点评 本题涉及椭圆的定义、椭圆的几何性质、导函数在函数中的应用及数列的基础知识等，在求解过程中有一点必须提出，也就是引入右焦点的坐标，利用半焦距进行运算，这是本题求解中的一大运算策略，离开这一点可能本题的第二问就无法解答.
圆锥曲线在高考中的命题通常是“一大一小”，今年到底如何？试题是否按我们的设想进行设计，我们将拭目以待.
转载请注明出处学文网 » 双曲线及其标准方程10篇