学文网《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下简称《课标（2011年版）》）第76页上有这样一个例题及“说明”：“例5 教室里有6行座位，每行7个，教室里一共有多少个座位？［说明］这个例子可以引导学生理解教室中的座位数是6个7的和，可以写成：6×7或7×6。”
《课标（２０１１年版）》第17页上还有这样一段叙述：“结合具体情境，体会整数四则运算的意义（参见例5）。”由此可知，“例5”是为学生体会整数乘法意义而设定的，这个例题的作用与2001年出版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（下简称《课标（实验稿）》）第13页上的一个“注释”的作用相同，因此我们有必要先将“注释”与“例5”进行比较。
一、 “注释”与“例5”的比较
《课标（实验稿）》第13页上有这样一个“注释”：“关于乘法：3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3，3×5读作3乘5，3和5都是乘数（也可以叫因数）。”笔者曾在2004年第2期《数学教育学报》上发表文章指出：“注释”存在三个问题。第一，“3个5”的意义不明确，应改为“3个5相加”。第二，“3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3”（为叙述方便，这句话下面简称“规定”）的规定不合理。第三，“乘数”也可以叫“因数”的说法不妥。显然，“例5”中已不存在第一个问题和第三个问题，但是“6个7的和，可以写成：6×7或7×6”这句话与“注释”中的“规定”实质是一样的，我们不妨也把它叫做“规定”，这个“规定”同样是不合理的。
二、 “例5”所引发的思考
1. 按照“例5”中的“规定”，小学生难以正确理解整数乘法意义
“例5”中规定“6个7的和，可以写成：6×7或7×6”这就是说“6×7”和“7×6”都表示“6个7的和”，那么“7个6的和”又该写成什么算式呢？若按“例5”中的“规定”，应该写成“7×6或6×7”。这样一来，“6个7的和”可以写成两个不同的乘法算式（6×7或7×6），而一个乘法算式（如6×7）又可表示两个不同的加法算式（7个6相加，6个7相加）。如果要回答乘法算式“6×7”的意义，那就得说“它表示6个7相加，还表示7个6相加”“6可表示相同的加数，也可表示相同加数的个数”这样的乘法意义，小学低年级的学生能理解吗？而且“6个7的和”与“7个6的和”是否相等都没有经过检验，就让它们都用同一个乘法算式“6×7”来表示，这样做显然是不合理的。
在人教版数学二年级上册“乘法的初步认识”教学中，教材利用加法算式3+3+3+3+3+3=18引出乘法算式“这样的加法，还可用乘法表示：6×3=18或3×6=18”。一个加法算式为什么要用两个不同的乘法算式表示？“6×3”和“3×6”为什么都表示6个3相加，又都可表示３个６相加？要正确回答这些问题，并使学生正确地理解整数乘法的意义很不容易。笔者不理解为什么弃用传统的整数乘法定义（详细的定义可参阅人民教育出版社1982年出版的《小学数学基础理论和教法（第一册）》），在那个定义中，a×b表示b个a相加，b×a表示a个b相加，当a和b中有0或1时，加个补充定义，整数乘法的意义表述得非常清楚，学生也能正确理解。
2. 按照“例5”中的“规定”，乘法交换律将不复存在
按照“规定”，“6个7的和”可以写成“6×7或7×6”，由此可知，“b个a的和就可以写成b×a或a×b”。由于“b×a”和“a×b”都表示“b个a的和”，于是a×b=b×a这个等式是由“规定”得到的，并没有经过概括、推理或证明，因而不能叫做“乘法交换律”。在四年级学习“乘法交换律”时，教材利用创设的情境，要求学生计算4×25和25×4，发现积是相等的，于是得到4×25=25×4，然后再进行概括，并指出“交换两个因数的位置，积不变”，“这叫做乘法交换律，用字母表示：a×b=b×a”。应该说，对小学生而言，用这种方法概括出“乘法交换律”是合适的（在人教版教材中“乘数”都叫做“因数”）。这里为什么要通过计算得到4×25=25×4，然后再概括出“乘法交换律”呢？其实，教材的编写者仍然是按传统的整数乘法定义来推理的，将4×25看做是25个4相加，将25×4看做是4个25相加，它们是否相等，需要用计算来验证。如果按照“规定”中乘法的意义，4×25可以写成25×4，a×b可以写成b×a，根本不必用计算来验证。
综上所述，笔者认为“例5”中的“规定”是不合理的，它使学生难以正确理解整数乘法的意义，而且将使“乘法交换律”不复存在。然而也有不少专家认为这样的“规定”是“体现了新的数学理念”。例如，在2005年第一期《数学教育学报》第29页上有一篇文章的作者就认为：“《全日制义务教育数学课程标准》中的一个注释所规定的正整数乘法交换律是合理的，可以适应小学生的思维水平，体现了鲜明的自由数学思想和创新教育理念。”“一个注释所规定的正整数乘法交换律是合理的”这句话就值得商榷。因为作为一个数学定律的“正整数乘法交换律”不是规定的，它应该经过概括、推理或证明而得到。一个“规定”也不能称为一个“数学定律”，因此，由“规定”而得到的所谓“乘法交换律”是不合理的，否则“乘法结合律”等数学定律也都可以“规定”了。至于说这个“规定”是“体现了鲜明的自由数学思想和创新教育理念”，那只好“仁者见仁，智者见智”了。
《课标（实验稿）》和《课标（2011年版）》弃用了传统的乘法定义，而分别用“注释”和“例5”来使读者体会整数乘法的意义。然而，不管是“注释”还是“例5”，不仅没有说清楚整数乘法的意义，反而使整数乘法的意义模糊不清，“规定”对学生解决乘法应用问题将会带来负面影响，不利于学生思维能力的提高。事实上，整数乘法的意义不必在《数学课程标准》这样的纲领性文件上用例题的形式给出。要修改传统的整数乘法定义，应该用合适的途径把修改后完整的整数乘法定义公布于众。
期望同行对《课标（２０１１年版）》中“例5”进行共同探讨，同时，也期望能够看到一线教师介绍“乘法的初步认识”教学体会的文章。
（杭州师范大学初等教育学院 310036）
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