学文网摘要 微元法是将积分应用于求解实际问题的重要工具，是将实际问题抽象成定积分非常实用的方法，文章通过分析方法的理论背景、方法的推导、方法的应用，引导学生寻找“微元”，学会用“微元法”解决定积分的应用问题。
关键词 微元法 积分
中***分类号：O13 文献标识码：A
微元法是分析、解决物理数学问题中的常用方法，是从部分到整体的思维方法。该方法可以使一些复杂的物理数学过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元”，而且每个“元”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元”，然后再将“元”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
一、微元法的理论背景
在同济大学所编的《高等数学》“定积分的应用”一章里介绍了微元法 （也称元素法 ） ，应用微元法可将一些几何、物理等实际问题转化为定积分来计算。.微元法的理论是建立在如下基础之上的：二、微元法
微元法一般解题思路如下：
将研究对象或过程无限分割，或假设研究对象发生微小的变化，被选的微元应具有整体研究对象所具有的特征。
从微元入手，以某个微元为研究对象，或以某个微小变化为研究过程，找出所选微元或微小变化所遵循的物理规律，列出对应的物理方程。
找出微元对象与整个物理现象或微元过程与整个物理过程之间的隐含关系，列出对应的数学关系式，求解整体物理量。
微元的选取应遵循的规则：
（1）所选取的微元必须具有代表性，即微元应具有物体的某些物理特征，并代表物体的受力特征，运动特征，状态变化特征等。（2）所选取的微元必须与所求物理量相关联，这样才能通过研究微元得到问题的解。
（3）所选取的微元要尽量简单，这样有助于建立简单的数学物理模型，易于研究分析。
三、微元法在物理数学中的应用。
（一）利用高斯公式推证阿基米德原理。
浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直向上、其大小等于这物体所排开的液体的重力。
证明：取液面为xoy面，z轴沿铅直向下，设液体的密度为 ，在物体表面∑上取微元dS上一点，并设∑在点（x，y，z）处的外法线的方向余弦为cos ，cos ，cos ，则dS所受液体的压力在坐标轴x，y，z上的分量分别为：
（二）微元法在数学中的应用。
这是因为不是 的高阶的无穷小。
“微元法”是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。利用“微元法”处理问题，将复杂的物理过程分解为众多微小的、遵循相同规律的微，微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，从而将非理想数学物理模型变成理想数学物理模型，然后利用必要的数学和物理方法处理微元，从而解决问题。
（作者单位：三峡大学理学院）
参考文献：
[1]王荣乾，余小飞.正确使用微元法解决旋转体的侧面积问题.数学学习与研究（教研版），第2期，105，2009.
[2]同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社.