学文网圆锥摆是水平面内匀速圆周运动的经典案例，多年来，在教学中被物理教师们广泛采用.特别是对初学圆周运动的学生来说，圆锥摆确实是比较合适的重要模型，一是学生普遍的有这样的生活体验，例如公园（或游乐场）里的旋转木马；二是运动简单（水平面内的匀速率运动，不像竖直平面内圆周运动会涉及速度大小改变）；三是受力情况简单，一个重力G，一个绳子的拉力F，两个分力（G、F）与合力（即向心力）F向的关系可以放在力三角形中来讨论；四是这一模型可以拓展到诸如飞机水平转弯、火车水平转弯等.本文试就圆锥摆模型的教学及其拓展来作一讨论.
1 教材对圆锥摆资源的运用
综观各版本的物理教科书提供的学习素材，无一例外的都选取了圆锥摆案例.
人教版物理必修2（2010年4月版）§5.6“向心力”，①在课文正文中编写了“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验，从受力分析及力的矢量关系确定了F向=mgtanθ，结合几何关系，tan=r[]h，其中r为圆周运动的半径，h为圆周轨道与悬点的竖直高度，通过测出小球质量m、轨道半径r及高度h即得出向心力，探究向心力与线速度v、角速度ω的关系；②在“做一做” 栏目中采用“绳子的一端拴一个小沙袋，手握绳子的另一端，让小沙袋在水平方向做匀速圆周运动，体会向心力”；③在“问题与习题”栏目中，探讨小球沿光滑漏斗壁在水平面内做匀速圆周运动的这一变形的圆锥摆问题.
鲁科版物理必修2（2007年7月版），§4.2“向心力与向心加速”，采用了类似上述人教版的材料②，但强调小物体受到的重力与拉力相比可以忽略；而在课本的§4.2及§4.3 “向心力的实例分析”两节的“作业”栏目中均讨论了圆锥摆案例.
教科版物理必修2（2005年11月版），§2.2“圆周运动的向心力”，在课文正文“观察与思考”栏目中给出了游乐场里的旋转木马，受重力和吊绳的拉力共同作用，在水平面上做圆周运动的圆锥摆实用案例；§2.3“匀速圆周运动实例分析”一节的练习与评价栏目，探讨玻璃球沿光滑的碗壁做匀速圆周运动的类似圆锥摆问题.
2 圆锥摆模型的教学要求解读
《普通高中物理课程标准》有关圆周运动（向心力）的要求：（1）内容标准 能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力；例：估测自行车拐弯时受到的向心力；关注圆周运动的规律与日常生活的联系.（2）活动建议 调查公路拐弯处的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异.
各地在执行国家《普通高中物理课程标准》时，都制定了更细的教学要求.例如《江苏省普通高中课程标准教学要求（物理）》（2011年修订本），其中关于圆周运动（向心力）的要求：（1）课程目标 能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力.（2）学习要求 通过实验体验向心力的方向，理解向心力的概念；通过实验，知道向心力的大小与哪些因素有关，理解向心力公式.（3）限制性说明 关于向心力的定量计算，只限于在一条直线上的外力提供向心力的情况.（4）教学建议 调查公路拐弯处的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异.
《江苏省普通高校招生考试（物理科）考试说明（大纲）》（2013年版）关于考点“匀速圆周运动 向心力”的限制说明：“向心力的计算只限于向心力是由同一直线上力合成的情况”.
显然，上述三个文件规定不尽相同，国家课标是没有限制说明，这样，各种教材关于圆锥摆教学案例是应该被采用，而且可以作适当的拓展，按照地方（江苏省）的教学要求和考试要求，圆锥摆这一案例应被删除，因为此处的向心力不是由同一直线上的力所合成.由此，调查公路拐弯处的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异等教学内容都将从教学计划中删除，这明显与国家课标相勃.
关于圆周运动、向心力这一知识点的教学（考试）要求，在***考试中心统一命题的年代，早期是不设限制，90年代中期，全国高考考试大纲中曾设过限制：“向心力的计算只限于向心力是由同一直线上力合成的情况”，到90年代后期，这一限制又删去了，到目前，无论是由***考试中心统一命题还是自主命题的绝大多数省市，考试大纲和考题都不设限制.从江苏省近年的高考试题的要求来看，这一限制也是形同虚设，事实上江苏高考试题对圆锥摆模型一直是考的，而且考试要求还比较高.所以，关于圆锥摆模型的教学不是可有可无，而是必须教，必须教到位！
3 圆锥摆模型及其基本结论
（1）圆锥摆结构和运动模型
如***1所示，一根不计伸长的细线，一端固定在O1点，另一端拴一小球（可视为质点），给小球某一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动.
（2）向心力（牛顿第二定律）方程
设小球的质量为m，悬线与竖直方向的角度为θ，绳子长为l，小球做圆周运动的半径r=l・sinθ，
由牛顿第二定律得
如***2所示，飞机在水平面内转弯时，机翼倾斜，垂直于翼面的升力N与重力G的合力为飞机做匀速圆周运动的向心[HJ1.35mm]力.这里，升力N相当于圆锥摆模型中的绳子拉力F，机翼与水平面的夹角相当于圆锥摆模型中的绳子与竖直方向的夹角θ.
由牛顿第二定律mgtanθ=mv2[]R，解得v=[KF（]Rgtanθ[KF）].由此可知，若航线弯道半径R一定，飞行员可以通过调整机翼与水平面的夹角θ来改变飞行速度.若飞机保持速度v大小一定，则R越小，夹角θ必须越大，反之，则R越大，夹角θ必须越小，当R∞，θ0，表示飞机沿水平方向作匀速直线运动.
拓展2 光滑漏斗壁上小球的圆周运动
如***3所示，一质量为m的小球以一定的速度沿着光滑漏斗壁在水平面内做匀速圆周运动，垂直于漏斗壁的支持力N与重力G的合力为小球做匀速圆周运动的向心力.这里，支持力N相当于圆锥摆模型中的绳子拉力F，漏斗壁与水平面的夹角相当于圆锥摆模型中的绳子与竖直方向的夹角θ.等效的圆锥摆摆线为O1A.
如***4所示，两个相同的小球A和B沿着光滑漏斗壁运动，试比较A和B运动的周期、漏斗壁对小球的支持力的大小.
根据圆锥摆基本结论（2），等效的圆锥摆的周期取决于悬点到圆轨道的高度h，此处因hA>hB，故TA>TB.根据圆锥摆基本结论（3），漏斗壁对小球的支持力N，因θA=θB，故NA=NB.
拓展3 火车水平转弯
如***5所示，火车水平转弯时，按设定速率行驶，在竖直平面内，火车只受重力G和轨道正面的支持力N（轨道侧向没有挤压），与圆锥摆模型对照，轨道正面的支持力N相当于圆锥摆模型中的绳子拉力F，轨道与水平面的夹角相当于圆锥摆模型中的绳子与竖直方向的夹角θ.
由牛顿第二定律[JZ]mgtanθ=mv20[]R，
解得v0=[KF（]Rgtanθ[KF）].对某一轨道而言，轨道的倾斜角θ和圆周半径R均给定，因此，列车在此弯道上的速率v0必须一定.如果列车在弯道上速率偏离了设计的速率，则轨道会产生侧向的弹力.当v>v0时，外轨道对外轮产生沿路面向下的侧压力，当v
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