学文网摘 要： 定积分是积分学的重要组成部分，其概念抽象、难以理解、解题方法灵活多变。本文讨论了定积分计算的各种方法与技巧。
关键词： 定积分 换元积分法 分部积分法 计算方法
定积分与不定积分是积分学的两个组成部分，定积分不仅是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具.定积分概念抽象、定理较多，学生不仅在理论学习中难以理解掌握，在定积分计算中难度也很大，往往面对一个题目，不知如何下手.因此，本文通过对各种题型、各种解题方法的分析研究，讨论了定积分计算的方法与技巧，希望对初学者有所帮助.
一、 利用定积分定义计算定积分
定积分的思想方法是：“分割、取近似、求和、求极限”，实质是在连续区间上求和，我们通过例子来说明定积分定义的含义.
例1.用定积分定义计算：edx.
解：将区间［0，1］n等分，分成n个小区间［，］，则每个小区间的长为Δx=，并取ξ=为右端点（i=1，2，…，n），得到：
原式=f（ξ）Δx=e•==e-1.
注：一般来说，用定义计算定积分是十分麻烦的，实际计算中，并不用上述方法.
二、 利用定积分性质估算定积分的值
例2.估算定积分（1+sinx）dx的值
解：f（x）=1+sinx在［，π］上的最大值为f（）=2，最小值为f（π）=1，即：1≤1+sinx≤2，所以：π=1×（-）≤（1+sinx）dx≤2×（-）=2π.
三、利用Newton-Leibniz公式计算定积分
设f（x）在［a，b］上连续，且F′（x）=f（x），则f（x）dx=F（b）-F（a），这就是Newton-Leibniz公式.由此看出：Newton-Leibniz公式刻画了定积分与不定积分的紧密联系，它使得计算定积分时，只要找到被积函数f（x）的某个原函数F（x），F（x）在b，a两点的函数值的差就是所求的定积分.Newton-Leibniz公式是最基本的定积分计算公式，而找到f（x）的原函数F（x）是应用这个公式的关键，所以，熟练使用Newton-Leibniz公式的关键是对不定积分的计算相当熟练.
例3.计算定积分：（1）dx；（2）dx.
解：（1）原式=（3x+）dx=［x+arctanx］=1+
（2）原式=dx=tanx|=1
四、利用定积分对积分区间的可加性计算定积分
如果被积函数含有绝对值或平方根时，应按绝对值内或被开方式子的正负号将积分区间分段求定积分的代数和.同样，对分段函数的定积分，也应该按分段情况逐段积分.
例4.计算定积分：（1）；（2）f（x）dx，其中f（x）=x+1，x≤1x，x＞1
解：（1）原式==（cosx-sinx）dx+（sinx-cosx）dx=［sinx+cosx］+［-cosx-sinx］=2（-1）
（2）f（x）dx=（x+1）dx+xdx=［x+x］+［x］=
五、利用换元积分法计算定积分
不定积分的换元积分法有两种类型，同样定积分的换元积分法也有两种类型：当用第一类换元积分法求定积分时，若未引进新的积分变量，则积分上、下限不变；当用第二类换元积分法求定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，积分上、下限要作相应改变.
例5.计算定积分：（1）（1-sinθ）dθ；（2）dx；（3）dx；（4）已知dx=，求a.
解：（1）原式=dθ+（1-cosθ）dcosθ=π+［cosθ-cosθ］=π-
（2）原式=d（x-1）=［（x-1）+arcsin（x-1）］=
（3）令x=π-t，则原式=（-dt）=dt-dt
所以，原式=dt=-［arctan（cost）］=.
（4）令=t，即x=ln（t+1），dx=dt，则:
原式=•dt=2arctant|=π-2arctan，由-2arctan=得：arctan=，所以a=ln2.
六、利用分部积分法计算定积分
分部积分法的公式为：uv′dx=［uv］-u′vdx，而如何确定恰当的u，v与不定积分的思想完全相同，当u，v选择不恰当时，很难算出定积分，具体求解时，有时须先换元，再分部积分.
例6.计算定积分：dx
解：令x=sint，dx=costdt，则：原式=costdt=
-（cott）′tdt=-tcott|+cottdt=π+ln3.
七、对称区间上的定积分的计算
由公式f（x）dx=［f（x）+f（-x）］dx=2f（x）dx，f（x）为偶函数0，f（x）为奇函数，可计算对称区间上的定积分或者可化为对称区间上的定积分.
例7.计算定积分：（1）I=sin（lnx）dx；（2）I=dx
解：（1）令t=lnx，则I=esintdt=sint（e+e）dt=（e-e）
（2）令t=lnx并应用得arctanu+arctan=得：
I=（arctane+arctane）sintdt=sintdt=.
注：从上例看出：对积分上限、下限互为倒数的区间［，a］上的定积分f（x）dx，可引入变换t=lnx，化为对称区间［-lna，lna］上的定积分f（x）dx=ef（e）dt.
定积分的计算方法很多，除上面介绍的方法外，还有周期函数的定积分计算，建立递推公式计算定积分，等等，同时定积分的各计算方法不是孤立的，很多题目都可能是几种计算方法联合使用，只有多练习才能熟能生巧.
参考文献：
［1］华东师范大学数学系. 数学分析［M］.高等教育出版社，2008.
［2］同济大学数学教研室. 高等数学［M］.高等教育出版社，2008.
［3］吉米多维奇. 数学分析习题集［M］.山东科技出版社，1999.
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