学文网摘要：在高等数学中，一元函数的微分学和积分学是整个微积分体系中的核心和基础。在高职学生的学习过程中，微分学中的导数先行学习较易掌握，而不定积分的学习在后，掌握起来较为困难，尤其是在利用凑微分的方法求解不定积分上。以下，我根据多年高等数学的教学经验，介绍一下求不定积分的凑微分的简单方法。
关键词：一元函数 不定积分 凑微分
在高等数学学习中，一元函数的微积分是高等数学知识的核心和灵魂。但在高职院校，多数学生对中学数学知识掌握的不够牢固，而高等数学授课课时相对较少，由于微分学中的导数先行学习，学生较易理解和掌握，而不定积分的学习在后，学生能理解但掌握起来较为困难，尤其是在求解不定积分的凑微分法上尤为突出。本人根据多年在高职院校讲授高等数学的经验，对一元函数的不定积分凑微分法及应用技巧总结如下：
凑微分法（又叫第一类换元法）是求不定积分方法中最常用、最灵活的方法，也是学生学习中迷茫和不易掌握的一种方法。实际上，凑微分应用再灵活多变也是有规律的，具体如下：被积函数中含有复合函数，复合函数中的一部分作为整体时，该复合函数就对应一种基本初等函数；此时再看被积表达式除该复合函数外剩余的部分能不能凑出整体的微分（有时不是一步到位），能凑则可用凑微分法求出，不能则应用其他方法求出。具体应用如下：
例1： 求∫sin3xdx
分析：该被积函数sin3x中明显含有复合函数sin3x，其中把3x当作一个整体时，sin3x对应一个正弦函数sin；回头再看被积表达式sin3xdx，除去复合函数sin3x外剩下dx，而dx=13d3x，即凑出整体3x的微分d3x，再应用正弦函数的积分公式∫sinxdx =-cosx+C求出不定积分，公式中x换成整体3x，即可用凑微分法求出该不定积分。
解：∫sin3xdx
=13∫sin3xdx3x （凑整体3x的微分d3x）
=-13cos3x+C （应用积分的基本公式，公式中x被3x代替）
例2： 求∫ex1+2ex4dx
分析：该被积函数ex1+2ex4中明显含有复合函数1+2ex4，其中把1+2ex当作一个整体时，1+2ex4对应一个幂函数4；回头再看被积表达式ex1+2ex4dx，除去复合函数1+2ex4外剩下exdx，而exdx=dex=12d2ex=12d1+2ex，即凑出整体1+2ex的微分d1+2ex，在应用幂函数的积分公式∫xαdx =xα+1α+1+C求出不定积分，公式中x换成整体1+2ex，即可用凑微分法求出该不定积分。
解：∫ex1+2ex4dx
=∫1+2ex4exdx （调整被积函数位置为凑微分做准备）
=∫1+2ex4dex （先由exdx凑出dex）
=12∫1+2ex4d2ex （调整系数）
=12∫1+2ex4d1+2ex （加常数1微分不变，已凑出整体1+2ex的微分）
=121+2ex4+14+1+C （应用公式∫xαdx =xα+1α+1+C，式中x换成整体1+2ex）
=1101+2ex5+C （整理）
例3：求∫x2ln2xdx
分析：该被积函数x2ln2x中明显含有复合函数ln2x，其中把lnx当作一个整体时，ln2x对应一个幂函数2；回头再看被积表达式x2ln2xdx，除去复合函数ln2x外剩下x2dx，而x2dx=d13x3，即凑出x3的微分dx3，并没有凑出整体lnx的微分dlnx，所以不能则应用凑微分的方法求出，而应用分部积分法求出，具体如下。
解：∫x2ln2xdx
=∫ln2x・x2dx （选ln2x为u，凑dv即x3dx去凑微分）
=∫ln2xd13x3 （x3dx凑出微分d13x3，即v=13x3）
=13x3・ln2x-∫13x3dln2x （应用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu ）
=13x3・ln2x-∫13x3・2lnxlnx′ dx （求出du，即dln2x=2lnxlnx′dx）
=x3・ln2x-23∫x3・lnx1x dx （计算并整理）
=x3・ln2x-23∫x2lnxdx
=x3・ln2x-23×13∫lnxdx3 （再次采用分部积分：选u凑v）
=x3・ln2x-29x3lnx-∫x3 dlnx （再次应用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu ）
=x3・ln2x-29x3lnx+29∫x3・1x dx （整理并求出du）
=x3・ln2x-29x3lnx+29∫x2 dx （整理）
=x3・ln2x-29x3lnx+29×13x3+C
=x3・ln2x-29x3lnx+227x3+C
以上介绍了困扰高职学生的一元函数的不定积分中的凑微分求导方法。熟练掌握了一元函数的不定积分的运算，不仅为学习一元函数的定积分打下坚实的基础，也为学生学习多重积分奠定了基础。这样，不仅容易学好高等数学，还能学以致用。