学文网摘要：本文通过举例，阐明了勾股定理的几个拓展应用，为学生理解和运用提供了方法。
关键词：勾股定理 应用
中***分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2014.04.048
但凡学过勾股定理的人都知道，对于一个直角三角形（如***），∠C是直角，AB是斜边（c），两条直角边分别是BC（a）和AC（b），三条边之间满足关系式c2=a2+b2，称为勾股定理。
毋庸讳言，勾股定理可用于解直角三角形，教科书上都写道：已知直角三角形的两条边的长，可用勾股定理求出第三边。其实勾股定理灵活多变，在解决数学问题的许多方面有广泛的运用。通过对勾股定理的深入了解，特别是牢记一些特殊的直角三角形，可以大大加快解题速度，答案可以脱口而出。以下从几个方面探究勾股定理的多方位应用。
1 确知任意两条边求解第三边
例1.在一个直径为10的圆里边，有长为8的弦与直径垂直，求该弦到圆到圆心的距离是多少？
解法一：如***，由垂径定理可知：OC垂直且平分AB，所以AC=[1
2]AB=4，而且OAC是直角三角形，根据 勾股定理，有：OC2=OA2-AC2=52-42=9，
OC= [9]=3.答：这条弦到圆心的距离（弦心距）等于3。
解法二（特解）：熟悉了勾股定理后，可以直接用常数求解。
在直径为10的圆里边，当弦与直径垂直时，若弦长为8（其一半为4），则弦心距为3；若弦长为6（其一半为3），则弦心距为4。依据是“勾三股四弦五”！
2 知道斜边求两条直角边
对于等腰直角三角形，由于两条直角边相等，故可在仅知斜边的情况下求解两条直角边。
例2. 已知一个正方形的对角线长4 [2]，求这个正方形的边长。
解：如***，四边形ABCD为正方形，AC是对角线，ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理，有：AB2+BC2=AC2，即2（AB）2=（4 [2]）2，AB2=16。
AB= [16]=4.答：正方形的边长为4。
由上例可得到一个推论：正方形的面积等于对角线平方的一半。
有这样一个智力测验题：在一个正方形的水池的四个顶点各有一棵树，现要将水池的面积扩大一倍，扩大后水池仍要求为正方形而且树不能浸在水里，怎样可以实现这一目标？答案是：分别以四边为底边向外作等腰直角三角形，得到以原正方形对角线为边长的新正方形，面积当然是原正方形的2倍，而且树仍在水池外。
3 确知一条直角边，另外仅知其余两条边的数量关系（差值），求解另外两条边
在此条件下，也可以用勾股定理求解且无需开平方，甚为简捷。
例3.（古代算题）有一个正方形的水池边长一丈，水池中心生一根芦苇，芦苇顶端高出水面一尺。若将芦苇拉至岸边，芦苇恰好没于水下。求水深及芦苇长（注：丈、尺为古代长度单位，1丈=10尺，3尺合现代1米）。
解：如***，若将芦苇拉至岸边，构成一个直角三角形，水面中心到岸边的距离为5尺，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理，有： （x+1）2=x2+52，即x2+2x+1=x2+25，2x=24，x=12，x+1=13.答：水深12尺，芦苇长13尺。
解法二（特解）：直接用常数求解。在直角三角形中，一条直角边等于5，斜边比另一条直角边大1，斜边必然等于13！
4 确知斜边以及两条直角边的和或差，求解两条直角边
在这种情况下，必须勾股定理与一元二次方程配合使用方可求解，好在这时的一元二次方程都非常简单，一望而知答案。
例4. 已知一个直角三角形的斜边为41，两条直角边的和为49，求两条直角边的长。
解：设一条直角边为x，则另一条直角边为（49-x），根据勾股定理，有：x2+（49-x）2 =412 ，整理得 x2-49x+360 =0，解这个一元二次方程，得x1=40，x2=9，经检验，两根均符合题意。实际上，它们分别是两条直角边的长。答：两条直角边的长分别是40和9。
5 用勾股定理解决代数问题
例5.有两个连续偶数，其平方的差等于100，求这两个偶数。
解：此题固然可用方程来解，但其法甚繁，若应用勾股定理的思路，就非常容易，甚至可以立即口答出来：记得有一个直角三角形，一条直角边为10，另一条直角边为24，斜边为26，三边满足勾股定理：262-242=102，则本题所求的两个偶数即为26与24。
作者简介：王新武（1978-），男，甘肃平凉人，讲师，从事数学教学工作，平凉医学高等专科学校，甘肃平凉 744000