“等时圆”及其应用

一、“等时圆”的由来

在竖直平面内,在重力和斜面支持力作用下,一个物体从圆周的最高点沿光滑斜面滑到圆上任意一点,所用时间都相等;从圆周上任意一点沿光滑斜面滑到最低点所用的时间也均相等,且都等于物体从圆周的最高点自由下落到最低所用的时间。

证明如下:

连接BC,则

AB=2Rcosα

设物体沿光滑弦的加速度为a,根据牛顿第二定律,有

mgcosα=ma

物体在斜面上做初速度为零的匀加速运动,则

AB=12at2AB

所以tAB=4Rg=2Rg。

当物体沿AC方向自由下落时

2R=12gt2

所以t=2Rg=tAB。

由于B点是圆周上任意一点,所以物体从圆周的最高点沿光滑弦滑到圆弧上任意一点,所用时间相等。

同理可证从圆周上任意一点沿光滑弧滑到最低点所用的时间相等。

由于物体从圆周上最高点滑到圆上任意一点所用时间相等,从圆上任意一点沿光滑弦滑到圆的最低点所用时间也相等,这个竖直平面内的圆叫做“等时圆”。

二、“等时圆”的应用

例1.倾角为θ的光滑斜面上方,有一固定点A。现从A点向斜面放一块光滑木板,为了使一小球从A点由静止出发滑到斜面上所用时间最短,那么木板与竖直方向的夹角α应满足的关系为()

A.α=θB.α=θ2

C.α=θ3D.α=2θ

分析:根据“等时圆”的结论,可以以A点为圆的最高点画一些圆周,使这些圆周与斜面有公共点。由***可以看出,当圆与斜面相切时,圆的半径最小,所以这种情况下小球滑下所用时间也最短。根据几何关系不难知道:α=θ2。

例2.如***所示的圆柱形粮仓内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定在底部的圆心O,而上端则搁在仓库侧壁上,三块滑板与水平面的夹角依次是30°、45°、60°。若三个小孩同时从a、b、c处开始下滑(忽略阻力),则()

A.a处小孩最先到达O点

B.b处小孩最先到达O点

C.c处小孩最先到达O点

D.a、c处小孩同时到达O点

分析:如***,将a、b、c三点等效于同一平面内,以O点为最低点画出一些圆,使a、b、c三点在圆上,由***可以看出,b所在圆的半径最小,所以b处小孩最先到达O点,a、c两点在同一圆上,因此他们同时到达O点。

三、“等时圆”的特征及等效“等时圆”

物体在运动过程中,只受两个力的作用,即重力和斜面的支持力；重力作用线所在平面为竖直平面；过圆心的重力的作用线与圆相交于两点,逆重力作用线方向与圆的交点为最高点,顺重力作用力方向与圆的交点为最低点。

在其他情况下,物体在运动过程中受一个恒力(或合力为一恒力)和斜面的支持力的作用,恒力所在平面为等效竖直平面,过圆心的恒力作用线与圆相交于两点,逆恒力作用线方向与圆的交点为等效最高点,顺恒力作用线方向与圆的交点为等效最低点,恒力所在平面内的圆为等效“等时圆”。

根据上面“‘等时圆’的由来”中证明,可以得出,在等效竖直平面内,从等效最高点沿光滑斜面滑到圆上各点所用时间相等;在等效竖直平面内,从圆上各点沿光滑斜面滑到等效最低点所用时间相等,且都等于物体从等效最高点只在恒力作用下运动到等效最低点所用时间。

四、等效“等时圆”的应用

例3.如***,从光滑斜面上一点A开一些光滑斜槽,让一小球从A点出发,沿不同光滑槽从另一边BC上各点抛出,则小球运动时间最短时,槽与AD的夹角为。

分析:物体所受重力、斜面的支持力的合力沿斜面向下,且为一恒力,可等效为“重力”。光滑斜槽等效为光滑斜面,则此斜面的正视***如右***所示。以A为最高点作一些圆,使之与BC有公共点,当圆与BC相切于点M时,此圆的半径最小,因此沿这条斜槽滑下所用时间最短。根据几何知识可知,此时AM与AD的夹角为45°。

（作者单位：河南省滑县教师进修学校）

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