学文网摘要:旋转是数学中的重要思想方法,在中考的舞台上,总少不了它的身影。特别是当条件中出现等腰三角形、正三角形、正方形等基本***形时,常考虑通过***形的旋转构造全等三角形,以集中条件,求得问题的解决。下面我们就来探究一下旋转的奥秘。
关键词:数学;旋转变换;思想方法
一、基础回顾
1.决定旋转效果的要素
决定旋转效果的要素是旋转中心、旋转角度、旋转方向。
2.***形旋转变换的性质
(1)一组对应点与旋转中心连接所成的角是旋转角, 这些角都相等。
(2)每对对应点到旋转中心的距离相等。
(3)旋转前后的两个***形全等。
3.旋转变换证明的基本条件与口诀
基本条件:***形中至少有两条相等的线段。
口诀:***中条件较分散,旋转***形试试看。
二、旋转变换证明的基本***形
1.等腰直角三角形(如***1所示)
已知条件:AC=BC,∠C=90°,∠A=∠B=45°。
旋转方法:
旋转中心:直角顶点C。
旋转角度:90°。
旋转方向:可顺可逆。
例1如***2所示,分别以锐角ABC的边AB和AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和ACE,M是BC的中点,连接DE。
求证:(1)DE=2AM;
(2)SADE=SABC。
分析:学生初看这个题目,一般会受“M是BC的中点”的影响。用倍长中线法去解决这个问题,但这样很难证出DE=2AM。如果将ADE绕点A逆(或顺)时针方向旋转90得到APB(如***3所示),问题则变得非常简洁方便。
解:(1)延长CA至P,使PA=PC,连接BP,则∠DAE=∠BAP.
又PC=AP=PE,AD=AB,
ADE≌APB。
BP=DE。
AC=AP,BM=CM,
AM是CBP的中位线。
PB=2AM。
DE=2AM。
(2)M是BC的中点,
SABC=2SABM=2SACM。
ABP和ABM等高,且BP=2AM,
SABP=2SABM。
SABP=SABC。
SADE=SABC。
2.正方形(如***4所示)
已知条件:AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
旋转方法:
旋转中心:各直角顶点。
旋转角度:90°。
旋转方向:可顺可逆。
例2如***5,在正方形ABCD中,E是BC边上一点,AF平分∠EAD。
求证:BE+DF=AE。
分析:本题直接求BE+DF=AE比较困难,如何将BE、DF、AE三条线段集中起来是解题的关键。那么我们可以把AFD绕点A顺时针方向旋转90°得到APB(如***6所示),这样问题就迎刃而解了。
证明:延长BC至P,使BP=DF,
又AD=AB,∠D=∠PBA=90°,
PBA≌FDA。
∠P=∠AFD,∠PAB=∠FAD。
AB∥CD,
∠AFD=∠BAF。
AF平分∠EAD,
∠FAD=∠EAF。
∠PAB=∠EAF。
∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠PAB=∠PAE。
∠P=∠PAE。
AE=PE。
PE=PB+BE,
BE+DF=AE。
3.等边三角形(如***7所示)
已知条件:AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°。
旋转方法:
旋转中心:各顶点。
旋转角度:60°。
旋转方向:可顺可逆。
4、一种特殊的四边形(如***8所示)
已知条件:AD=DC,∠D=∠B=90°。
旋转方法:
旋转中心:顶点D。
旋转角度:90°。
旋转方向:可顺可逆。
例3:如***9,已知四边形ABCD中,ABBC,ADDC且AD=DC,若BD=4cm。试求出四边形ABCD的面积。
分析:本题直接看上去,无从下手,但我们转变思维,将ABD绕点D逆时针方向旋转90°得到CPD,会达到出奇制胜的效果。
现在,你感受到旋转变换的威力了吗?你是否有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的感受呢?
【责编 冯立伟】