学文网摘 要：本文根据罗尔中值定理的三个条件，用分析的方法分别对其进行了相应的减弱，得到了罗尔中值定理的推广形式，并分别给出了证明。
关键词：罗尔中值定理；定理的推广
一.引言
罗尔中值定理是微分学的一个基本定理，它是应用函数的导数研究函数整体性态的理论基础，但经典罗尔中值定理的条件太强，在实际应用过程中比较难达到，检验的不方便和使用的不灵活，限制了罗尔中值定理在实际中的应用.为了使罗尔中值定理在更广泛的函数类中得到使用，增加使用的灵活性，本文从经典罗尔中值定理出发，探讨在更广泛函数类中的罗尔中值定理，适当降低一些条件的限制，将其进行推广。
二.罗尔中值定理的推广形式
（一）罗尔中值定理左、右端点函数值相等条件的减弱
定理1设函数在有限区间内可导，且，则在内至少存在一点，使得.
证明 构造函数，则有满足罗尔中值定理，故存在，使，即.
（二）罗尔中值定理开区间内可导条件的减弱
定理2 若函数满足：⑴在闭区间上连续；⑵在开区间内除有限个点的导数为或其他点的导数都存在；⑶，则至少存在一点，使得.
对比罗尔中值定理中的条件，考虑把条件⑵改成在内只有一侧导数存在，其他两个条件不变，那么是否也存在一点，使得？结果是否定的，举一个反例来说明：
例如，函数，显然
⑴在上连续；
⑵在内，
⑶，，显然找不到满足上述条件的点，但把上述条件加强一点，可得到以下推论。
推论1 若函数满足条件：⑴在闭区间上连续，⑵在开区间内右（左）导数存在且连续，⑶，则至少存在一点使得
（三）罗尔中值定理有限区间的减弱
定理3若函数满足在可导，，则至少存在一点，使得。
该定理可得到如下推论：
推论2 若函数满足在内可导，且，则至少存在一点，使得.
推论3 若函数满足在内可导，且，则至少存在一点，使得.
参考文献：
[1] 刘玉莲，傅沛仁. 数学分析讲义（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1992.
[2] 汪***.广义罗尔定理及其应用实例[J].辽宁工程技术大学学报（自然科学版），2000，13（1）：93—94.
[3] 王希超，万林梅，万胜英.微分中值定理条件的降低[J].山东农业大学学报（自然科学版），2001，12（3）：353—355.
作者简介：高慧君（1992.3-），女，河南省扶沟县，本科，黄淮学院数学科学系数学与应用数学专业，研究方向：数学教学。
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