学文网摘要：本文总结几种常用来证明群同态与同构的方法，并列举些典型的例子加以演示。
关键词：群同态；群同构；凯莱定理
【中***分类号】G642
1.引言
同态与同构在近世代数的整个课程体系起到非常关键的作用，它是研究近世代数的一个重要的工具。鉴于同态与同构的重要作用，所以如何掌握同态与同构就显得尤为必要。群是近世代数研究的一类代数系统，而群同态与同构就为研究群间的关系的有力工具。而在一般的近世代数教材，如[1]，[2]，[3]等，一些研究群同态的论文，如[4]，[5]，[6]等，都没有较详细的介绍证明群同态与同构的方法，在最近几年的近世代数的课程教学中，许多学生都对群同态与同构感到高深莫测，即使最简单的群间的同态与同构问题，往往无从下手。本文针对这种情况，探讨了几种证明群同态与同构的常见方法。
2.证明群同态与同构的常见方法
定义1[1] 设 与 是两个群，如果有一个 到 的映射 保持运算，即
则称 为群 到群 的一个同态映射；当 为满射时，称群 与 同态，记为 ；当 为双射时，称群 与 同构，记为 。
注1 用定义来证明群同态与同构是最基本的方法，若用定义法来证明群同态与同构必须明确两群的具体结构及运算，以便快捷准确地找到两群间的同态或同构映射。
例1、 设 为正整数， 为整数加群，证明：
分析：由 ， ，而
，从而 便为 到 的同构映射。
证明： ，即证。
例2、证明： ，其中 为有理数集， 为整数集， 为所有单位复数根的乘法群。
分析：由 ， ，而
为偶数 ，从而 便为 到 的同构映射。
证明： ，即证。
结论1[1] 设6阶群 不是循环群， 则同构于次对称群 。
例3、设 ， 分别为三、四元对称群， 为Klein四元群，证明：
证明：对 ，有
从而 为 的正规子群，且 为6阶有限群，又 中无6阶元，从而 为6阶非循环群，由结论1得证。
定理1[1] 任何 阶有限群都同 元对称群 的一个子群同构。
例4、同例1
证明：因为
，
从而 ， 均为 阶群，且均与置换群 同构，即证。
定理2[1]（群同态基本定理）设 是群 到群 的一个同态满射，则 为 的正规子群，且
注2：此定理为证明群同构常用的方法，此方法必然有一个为商群，构造性比较强，就是要找到一个从群 到群 的一个同态满射，并使这个同态满射的核恰为 。
例5、同例2
证明：由于 ，设 ，则 从 到 的一个满射，
，从而 从 到 的一个同态满射，且
从而由定理2得证。
参考文献
[1]杨子胥.近世代数 [M].北京：高等教育出版社，2011.
[2]刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1999.
[3]胡冠章，王殿***.应用近世代数[M].北京：清华大学出版社，2006.
[4]黄崇智.关于同态与同构[J].内江师范学院学报（自然科学版），2002，17（6）：62- 66.
王高振，男，讲师，79年9月，硕士，主要从事高等数学的教学与研究
宜春学院数学与计算机科学学院 江西省宜春市学府路576号 手机：15070585276 336000
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