学文网摘要：在射影几何中，从对偶思想出发，研究“三点共线”与“三线共点”的结构形式，使得德萨格三角形定理及其对偶定理具有一种“旋转”关系，进而给出这类问题求解的“规律性”方法。
关键词：对偶定理 对偶方法 三点共线 三线共点
To accidentally the proof method of the axioms discussion
Lilin Zhao Linlong
Abstract：At project image several what medium, from to accidentally thought to set out, study“three points totally always line” and“three straight lines total[one] point” of to accidentally problem.from to accidentally the thought set out and study “three points totally always line” with the structure form of “three straight lines total[one] point” and make virtuous Sa space triangle axioms and it to accidentally the axioms has a kind of relation of“revolve”ing and then give one this problem solve of“regulation” method.
Keywords:Virtuous Sa space axioms Converse theorem Three points totally always line Three straight lines total[one] point
在射影几何中，将一个命题的“点”换成“直线”，同时将“直线”换成“点”，并保持原有结构关系不变，所得到的新命题与原命题是“互为对偶命题”，并且两个互为对偶命题有“同真假”性质的对偶原理。[1]
如反映点共线问题与线共点问题的德萨格定理与其逆定理，就是一对互为对偶命题。
德萨格定理 两个三角形ABC和A′B′C′中,若对应顶点的连线AA′,BB′,CC′共点，则对应边的交点P=BC×B′C′，Q=CA×C′A′,R=AB×A′B′共线。
德萨格逆定理 两个三角形ABC和A′B′C′中,若对应定边的交点P=BC×B′C′，Q=CA×C′A′,R=AB×A′B′, 共线，则对应定点的连线AA′,BB′,CC′共点。
我们依据“对偶原理”，只须对德萨格定理进行证明。
证明：如***1。
我们以 A、B、C，A′、B′、C′即表示点，又表示这些点的坐标矢量。设三直线AA′,BB′,CC′的公共点为S。由于三点 A，A′，S共线，所以S点的坐标矢量S一定可表示为A和A′的线性组合：
S=αA+α′A′ (α,α′表示组合系数)
同样有 S=βB+β′B′,
S=γC+γ′C′
比较这三式得
R=αA-βB=-（α′A′-β′B′）,
P=βB-γC=-（β′B′-γ′C′）,
Q=γC-αA=-（γ′C′-α′A′）
第一式αA-βB=β′B′ -α′A′由左端观之，知道它代表两点A和B联线上的一点；由右端观之，知道它代表两点A′和B′联线上的一点；所以它代表直线AB和A′B′的交点R。其余同理。
由于三点P,Q,R的坐标矢量间有明显的线性关系式：P+Q+R=0,所以三点P,Q,R共一直线。
例1[2] 在平面上给定两条直线a和b及不再a和b上的一点P，试问不先定出a和b的交点，如何用直尺作一直线联结P和这交点？
解：如***2。
在a和b两条直线外任取一点O，通过O引三条直线l,m,n，设Q=l×a，R=l×b，R′=n×b，O1=m×PQ,O2=m×PR,p′=O1Q′×O2R′,那么PP′就是所求直线。
证明： 如***2，若我们选择O1QQ′和O2RR′，对应顶点的连线RQ,O1O2,R′Q′共点于O，根据德萨格定理，这两个三角形的对应边的RR′×QQ′,O2R′×O1Q′交点共线，即PP′必然会通过a和b的交点，从而PP′就是所求直线。
若我们选择PQR和P′Q′R′，对应边的交点O,O1，O2共线，根据德萨格定理的逆定理，所以PP′，QQ′，RR′必共点，亦即PP′必通过a和b的交点。
对例1作进一步讨论。在证明中，似乎将***2的两个O1QQ′和O2RR旋转90°后，得到两个PQR和P′Q′R′，则定理应用将由德萨格定理变为德萨格定理的逆定理。
由此，我们猜想：对于可用对偶定理之一处理的命题，是否一定存在可以用另一个对偶定理处理的方法，这在数学方法上，是一个值得研究的问题。
例2[3] 如***3。
在直角三角形RtABC中，∠A=90°,ADBC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：AFFD=ACAB
证明：如***3，记∠DAC=1，∠FAD=2，则根据题意，得∠DAC=∠ABC=1，∠FAD=∠ACD=∠CDE=∠FDB=2，于是，由FBD～FDA，得：AFFD=FDFB （1）
①若我们选择ABC，则直线DEF为梅涅劳斯线[1]，于是，有结果：
FBFA EAEC DCDB=1FBFA=DBDC AB2AC2 （2）
由（1）和（2），得：
FD2FA2= AB2AC2FAFD=ACAB
②若我们选择ACF，则考虑梅涅劳斯定理的对偶定理塞瓦定理[1]，即点D为塞瓦点，于是，有结果：
BFBA EAEC GCGF=1BFBA=GFGC= FAsin2ACsin1=FA•FBAC2 （3）
由（1）和（3），得：
FD2FA2= AB2AC2FAFD=ACAB
对偶证法，为探求命题证明方法提出有益的启示。
例3[2] 证明三角形垂心、重心、和外心三点共线。
证：如***4。
设三角形的重心，垂心，外心分别为H、G、L，另设D、E分别为BC、CA边上的中点,由三角形DEL和ABH可知：DE∥AB，DL∥AH(同垂直于BC),EL∥BH（同垂直与AC），则三点DE×AB、DL×AH、EL×BH均为无穷远点，所以共线。.
由德萨格逆定理知三线AD、BE、HL共点.又AD×BE=G,即点G位于直线HL上，所以H、G、L三点共线。
对于德萨格定理的对偶证明，留给有兴趣的人们去研究。
参考文献
[1] 赵临龙，刘娟.射影几何对偶原理的优越性[J].2009.重庆科技学院学报(自然科学版),2010.2:176-177
[2] 祥，朱维宗.高等几何[M].高等教育出版社，2007.7
[3] 蒋声.初中几何妙题巧解[M].上海科技教育出版社，1989.10
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