学文网四点共圆是《圆》一章的重要内容，在几何中应用较为广泛． 如何证四点共圆呢？这里给同学们介绍五种方法．
第一，利用圆的定义：即到一定点距离相等的各点共圆．
例１如***１，试证明菱形ＡＢＣＤ各边中点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ四点共圆．
思路和证明：应用定义，去证ＯＥ＝ＯＦ＝ＯＧ＝ＯＨ． 这很容易办到，所以Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ共圆．
第二，若两个（或多个）直角三角形共斜边，则各顶点共圆．
例２已知：如***２，ＡＢ和ＡＣ与Ｏ相切于Ｂ、Ｃ，Ｐ是Ｏ上一点，且ＰＥＡＢ于Ｅ，ＰＤＢＣ于Ｄ，ＰＦＡＣ于Ｆ，求证：ＰＤ2＝ＰＥ・ＰＦ．
思路和证明：欲证ＰＤ2＝ＰＥ・ＰＦ，即证PD/PF＝PE/PD，只需证ＰＦＤ∽ＰＤＥ． 由于这里证边成比例比较困难，因而转证对应角相等，即证∠ＰＤＥ＝∠ＰＦＤ，∠ＰＥＤ＝∠ＰＤＦ，这需从切线、垂线、四点共圆去思考．
因两个直角三角形ＲｔＰＢＤ、ＲｔＰＢＥ共斜边ＰＢ，因此，Ｂ、Ｄ、Ｐ、Ｅ四点共圆，同理Ｄ、Ｃ、Ｆ、Ｐ四点共圆，连ＰＢ、ＤＥ、ＰＣ、ＤＦ可得∠ＰＤＥ＝∠ＰＢＥ，∠ＰＢＤ＝∠ＰＥＤ，∠ＰＦＤ＝∠ＰＣＤ，∠ＰＤＦ＝∠ＰＣＦ，又ＡＢ、ＡＣ是Ｏ的切线，得∠ＰＢＥ＝∠ＰＣＤ，∠ＰＢＤ＝∠ＰＣＦ（弦切角）．于是得∠ＰＤＥ＝∠ＰＦＤ，∠ＰＥＤ＝∠ＰＤＦ，所以ＰＦＤ∽ＰＤＥ成立．
第三，利用圆内接四边形的判定定理：对角互补的四边形内接于圆（四顶点共圆）；外角等于内对角的四边形内接于圆（四顶点共圆）．
例３如***３，从Ｏ直径的一端点Ａ，向过另一端点Ｂ的切线上作直线ＡＥ、ＡＦ，分别交Ｏ于点Ｃ、Ｄ，求证：Ｃ、Ｅ、Ｆ、Ｄ四点共圆．
思路和解答；欲证Ｃ、Ｅ、Ｆ、Ｄ四点共圆，只需证∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ． 连ＣＤ、ＣＢ，由于已有Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ四点共圆，可知有∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ，再由∠ＡＥＢ＋∠ＣＢＥ＝９０°，∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝９０°得∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＢ． 于是∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ，结论成立．
第四，若两个三角形有公共底边，且顶角相等，又位于公共底边同侧，则四点共圆．
例４如***４，在ＡＢＣ中，三条高线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于Ｏ，延长ＡＤ至Ｇ，使ＤＧ＝ＤＯ． 求证：Ａ、Ｂ、Ｇ、Ｃ四点共圆．
思路和证明：连ＢＧ、ＣＧ，欲证Ａ、Ｂ、Ｇ、Ｃ四点共圆，只需证得∠ＡＣＢ＝∠ＡＧＢ，根据已知易证ＢＯＤ≌ＢＧＤ，便有∠ＢＧＤ＝∠ＢＯＤ，现只需证∠ＢＯＤ＝∠ＡＣＢ了．因为Ｄ、Ｃ、Ｅ、Ｏ四点共圆，∠ＢＯＤ是四边形ＤＣＥＯ的外角，所以的确有∠ＢＯＤ＝∠ＡＣＢ，于是∠ＡＣＢ＝∠ＢＧＤ＝∠ＡＧＢ，结论成立．
第五，利用相交弦定理的逆定理：若两条线段ＡＢ、ＣＤ相交于点Ｐ，且满足ＡＰ・ＢＰ＝ＣＰ・ＤＰ，则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆．
例５如***５，Ｐ为Ｏ外一点，引切线ＰＡ、ＰＢ，Ａ、Ｂ是切点，连结ＡＢ与ＯＰ，它们相交于点Ｍ，过点Ｍ任引弦ＣＤ，求证：Ｏ、Ｃ、Ｐ、Ｄ四点共圆．
思路和解答：欲证Ｏ、Ｃ、Ｐ、Ｄ四点共圆，受相交弦定理的逆定理的启示，只需证明ＯＭ・ＰＭ＝ＣＭ・ＤＭ． 由于易知Ｏ、Ａ、Ｐ、Ｂ四点共圆（两个直角三角形共斜边），由相交弦定理得ＯＭ・ＰＭ＝ＡＭ・ＢＭ，而再由Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ四点共圆，得ＡＭ・ＢＭ＝ＣＭ・ＤＭ，便有ＯＭ・ＰＭ＝ＣＭ・ＤＭ． 结论显然成立．