学文网摘 要：随着数字技术的发展，数字滤波器在许多领域得到广泛的应用。研究一种在Matlab语言环境下设计IIR数字陷波滤波器的方法，在数字陷波滤波器设计过程中，先进行模拟低通滤波器的设计，然后进行模拟低通/模拟带阻滤波器转换，最后采用双线性变化法将模拟陷波滤波器转化成数字陷波滤波器。提出一种用所有零点和极点来表达数字陷波器传递函数的方法，同时给出以巴特沃斯模拟低通为原型设计数字陷波滤波器的程序。
关键词：无限冲激响应;巴特沃斯滤波器;数字陷波滤波器;Matlab;双线性变换
中***分类号：TN713 文献标识码：B 文章编号：1004373X(2008)1812903
Design of Digital Butterworth Notch Filters
ZHANG Weixi
(Jiangsu Teachers University of Technology,Changzhou,213001,China)
Abstract：Along with the development of digital technology,digital filters are widely used in many fields,this paper introduces how to design a IIR digital notch filters in matlab environment.The design of digital notch filters can be achieved through three steps:firstly,the design of analog lowpass filter; secondly,it is analog lowpass to analog band stop filter conversion;at last,using the bilinear transformation make the analog notch filters change into digital notch filters.The paper also introduces how to design the transfer function of the digital notch filters using all the zeros and farthest points at the same time,it also introduces the program of the digital notch filters under Butterworth analog lowpass prototype.
Keywords：infinite impulse response;Butterworth filters;digital notch filter;Matlab;bilinear transformation
1 引 言
当带阻滤波器的阻带很窄时，被称为陷波滤波器［1］，又称点阻滤波器。一个理想点阻滤波器的频率响应是要在消除的信号频率点,其值等于零; 而在其他频率处,其值不为零,且要等于1。
理想的陷波滤波器的频率响应式为：|H(ejω)|=1,ω≠ω0
0,ω=ω0(1)
理想的陷波滤波器的幅频特性如***1所示。
***1 陷波滤波器的幅频特性陷波滤波器的设计是以模拟滤波器为原型，通过一定变换转换为数字滤波器。陷波滤波器的设计方法有2种：
(1) 依托模拟低通为设计原型，利用模拟频率带阻变换法，再利用双线性变换法将前面所设计的带阻滤波器数字化；
(2) 在频域进行直接设计的z平面零极点法。
2 原 理
现以巴特沃斯低通模拟滤波器为设计的原型，归一化的巴特沃斯模拟低通的传递函数为：Ha(p)=1∏N－1k=0(p－pk) k=0,1,…,N-1
由模拟滤波器的频率转换又知道模拟低通转化为模拟带阻的变换关系为：p = SBS2 + Ω20(2)式（2）中，p为模拟原型拉普拉斯变量（p=σ+jw）；S为模拟带阻的原型拉普拉斯变量（S=σ+jw）；Ω0为模拟带阻滤波器的几何中心频率；B为模拟阻带的带宽。
将式(2)代入到归一化的巴特沃思低通传递函数，得到模拟带阻滤波器的传递函数Ha(S)：Ha(S) = 1∏N-1k = 0 (SBS2 + Ω20-Pk )
通过双线性变换法将得到模拟带阻滤波器的传递函数进行数字化：S=2fs・z－1z+1=2T・z－1z+1(3)式（3）中T为采样周期；fs为采样频率。
H(z)=［(4+Ω20T2)Z2+(2Ω20T2－8)Z+(Ω20T2+4)］N∏N－1k=0［(4+Ω20T2+2BT)Z2－Pk(2Ω20T2－8)Z－(Ω20T2Pk+4Pk+2BT)］将上述式子的分子、分母均分别因式分解。分子表达式:［(4+Ω20T2)Z2+(2Ω20T2－8)Z+(Ω20T2+4)］N中，a=4+Ω20T2，b=2Ω20T2－8，c=Ω20T2+4所以分子上述表达式的分子化简为:Z－(8－2Ω20T2)±(2Ω20T2－8)2－4(4+Ω20T2)22(4+Ω20T2)N用同理去化简分母，就得到用零、极点形式来表达的数字陷波滤波器的传递函数式子，具体表述如式（4）所示：
H(z)=Z－(8－2Ω20T2)±(2Ω20T2－8)2－4(4+Ω20T2)22(4+Ω20T2)N∏N－1k=0Z－Pk(2Ω20T2－8)±［Pk(2Ω20T2－8)］2－4(4+Ω20T2+2BT)(Ω20T2Pk+4Pk+2BT)2(4+Ω20T2+2BT)（4）
从式（4）中，可以看出该陷波器系统由2N个零点、2N个极点构成，该陷波器的增益为1。零点分别是N个(8－2Ω20T2)+(2Ω20T2－8)2－4(4+Ω20T2)22(4+Ω20T2)。
可以看出这2N个零点假若全部写入到一个数组中，在数值上其实只等于2个值，前N个零点都等于一个值，后N个零点等于都另外一个值。
而陷波器的极点也有2N个，但是不同于零点的是它们在数值上均不相等。这2N个极点的值是随着Pk值的变化而变化的。前N个极点分别为：
Pk(2Ω20T2－8)+［Pk(2Ω20T2－8)］2－4(4+Ω20T2+2BT)(Ω20T2Pk+4Pk+2BT)2(4+Ω202T2+2BT)后N个极点分别为：Pk(2Ω20T2－8)－［Pk(2Ω20T2－8)］2－4(4+Ω20T2+2BT)(Ω20T2Pk+4Pk+2BT)2(4+Ω202T2+2BT)其中，Pk=ejπ(12+2k+12N) ，k=0,1,…,N-1。
3 方 法
有了数字陷波滤波器的传递函数的表达式，只需再推导出设计这样的陷波滤波器的阶数即可，下面就给出陷波器阶数的推导过程［2］。
假设给定数字陷波滤波器的技术参数：陷波频率点foo。这里没有给出阻带和通带的上下限频率，所以不妨设出以下4个频率点的参量以及2个衰减系数［3］：
阻带下限频率fsl；阻带上限频率fsh；通带下限频率fpl；通带上限频率fph通带衰减系数ap；阻带衰减系数as。首先，一般的设计步骤将数字带阻滤波器的技术指标通过频率预畸变转化为模拟带阻滤波器的技术指标：Ωsl=2Ttan2πfsl2fs=2Ttanπfslfs
Ωsh=2Ttan2πfsh2fs=2Ttanπfshfs
Ωph=2Ttan2πfph2fs=2Ttanπfphfs
Ωpl=2Ttan2πfpl2fs=2Ttanπfplfs设阻带中心频率：Ω0=Ωpl・Ωph=2Ttanπfphfstanπfplfs阻带宽度为：B=Ωph－Ωpl=2Ttanπfphfs－tanπfplfs其次，将以上边界频率对阻带宽度B进行归一化：η=ΩB
具体计算过程如下所示：ηsh=ΩshB=tanπfshfstanπfphfs－tanπfplfs
ηph=ΩphB=tanπfphfstanπfphfs－tanπfplfs
ηpl=ΩplB=tanπfplfstanπfphfs－tanπfplfs
η0=ηphηpl=tanπfphfstanπfplfstanπfphfs－tanπfplfs所以：λsp= ηsh η2sh -η20=tanπfph fs-tanπfpl fs ・tanπfsh fstanπfsh fs2-tanπfph fstanπfpl fs
ksp=100.1ap－1100.1as－1
最后，将上述所有结果代入到式（5），计算出原型滤波器的阶数N。n=－lg ksplg λsp（5）
显而易见，计算的n值不一定是正整数，所以原型滤波器原型的阶数N为大于n的最小正整数，在Matlab中用Ceil语言表示。
综上所述，原型滤波器的阶数N可用下式表达［2］：N=Ceil(log100.1ap－1100.1as－1logtanπfphfs－tanπfplfstanπfshfstanπfshfs2－tanπfphfstanπfplfs)所以数字陷波滤波器的阶数为N值的2倍。
4 结 语
从上面的分折可以看出，这种设计方法具有以下几个特点：
（1） 以巴特沃斯模拟低通为原型所设计的所有的数字陷波滤波器系统的增益为1；
（2） 这种数字陷波器不管在什么样的情况，它的2N个零点因为具有重复性；
（3） 数字陷波器的阶数都是巴特沃斯模拟低通原型阶数的2倍；
（4） 所设计的数字陷波滤波器的2N个极点的值是随着巴特沃斯模拟低通原型的归一化的极点的值变化而变化的。
参 考 文 献
［1］王刚，王艳芬，胡延***.双线性变换法中预畸变概念的补充\.电气电子教学学报,2006，28（2）：3537.
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作者简介 张维玺 江苏技术师范学院教授，校学术委员会副主任，校重点学科《电路与系统》带头人。主要从事电子信息工程的教学和科研工作。
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