学文网摘 要：通过对线性时不变系统的各种分析方法进行归纳讨论，比较出一种完备的分析方法，便于理解各种分析方法的优缺点，以利于学习者学习。采用论述归纳总结的方法对线性时不变系统进行讨论，通过实例得出线性时不变系统各种分析方法的优缺点及其适用范围，为学习信号与系统提供一种导引作用。
关键词：线性时不变;分析方法;应用范围;适用条件
中***分类号：TP18文献标识码：B
文章编号：1004-373X(2009)03-127-03
Discussion on Linear Time Invariant System Analysis
CUI Benliang
(Nanyang Normal University,Nanyang,473061,China)
Abstract：This paper comparatively analyses some methods for the Linear Time Invariant(LTI) systems through discussing and induction,and receives a complete analysis method for the LTI systems,which beneficial to learners.This paper discusses application ranges and conditions of the analysis method for LTI systems through examples,and helps readers to learn the systems and signals.
Keywords：linear time invariant;analysis method;application ranges;application ranges conditions
在系统分析中，线性时变(Linear Time Invariant,LTI)系统分析方法有重要意义，在通信系统、自动控制系统中都会大量碰到。该文着重讨论确定性输入信号作用下的集总参数线性时变系统的分析方法。在建立系统模型方面，系统的数学描述可分为输入/输出描述法和状态变量描述法，系统模型的求解方法分为时域和变换域方法。这里着重从时域和变换域方法讨论系统的分析方法并分析其优缺点。
1 基本特征举例
为了便于对LTI系统的讨论，首先列举它的几个基本特征：
(1) 叠加性与均匀性，见***1。
***1 叠加性与均匀性
(2) 时不变性，见***2。
***2 时不变性
(3) 微分特性，见***3。
***3 微分特性
(4) 因果性，系统的t0时刻的输出只与t=t0和t
***4 因果性
下面先介绍几个概念:
① 零状态响应(zero-state response);
② 零输入响应(zero-input response);
③ 完全响应(total response)。
解释： H［•］表示系统作用，r(t)即为total response。则:
当{x(0-)}=0时，即为zero-state response，rzs(t);
当e(t)=0时，即为 zero-input response rzi(t);
r(t)=rzs(t)+rzi(t)。
④ 冲激信号(impulse signal),见***5。
δ(t)=lim δΔ(t),当Δt0时。
***5 冲激信号
⑤ 阶跃信号(step signal),见***6。
***6 阶跃信号
⑥ 冲激响应:系统在单位冲激信号δ(t)的激励下产生的零状态响应,简记:h(t),见***7。
***7 冲激响应
⑦ 阶跃响应:系统在单位冲激信号u(t)的激励下产生的零状态响应,简记：g(t),见***8。
***8 阶跃响应
有关这几个概念的相关性质,见***9，***10及抽样性。
***9 阶跃响应与冲激响应的关系
***10 阶跃响应的平移
抽样性：x(t)δ(t)=x(0)
2 方法讨论
2.1 时域分析方法
时域分析方法是直接分析时间变量的函数，研究系统的时间响应特征。考虑下面一个简单电路：
设有如***11所示的RC电路，电容两端起始电压为VC(0-),激励源为e(t),求t>0时系统响应VC(t)为多少？
***11 电路***
(1) 常系数线性微分方程(differential equation)
Model:输入/输出
很显然，描述系统的微分方程为：
dVc(t)/dt+Vc(t)/rc =e(t)/rc
Vc(t)=e-t/rcVc(0-)+∫te-(t-τ)/rce(τ)dτ
第一项是rzi(t)，第二项为rzs(t)。
优点：物理概念清晰，｛x(0-)｝=0时，系统是LTI的。否则不是LTI，也不是因果的。
缺点：对于大规模电路列写微分方程麻烦,解微分方程更不容易;需要求解初始值。
(2) 为了更好地描述系统，用卷积(convolution)来分析、计算LTI系统。
E(t)=∫e(τ)δ(t-τ)dτ
R(t)=H［e(t)］=H［∫e(τ)δ(t-τ)dτ］=
∫e(τ)H［δ(t-τ)］dτ=
∫e(τ)h(t-τ)dτ=e(t)*h(t)
所以只要求出系统的冲激响应就可以求出rzs(t)。
考虑一系统，由三个子系统构成，各系统的冲激响应为h1(t),h2(t),h3(t),如***12所示。
***12 系统框***
Rzs(t)=e(t)*h2(t)*h1(t)*h3(t)+e(t)*h1(t)
优点：描述系统简单，方便，直观。
缺点：不易计算卷积，尤其是一些复杂函数的卷积。
(3) 以用杜阿美尔(duhamel)积分求阶跃响应g(t)。
G(t)= e(0+)g(t)+∫tde(τ)g(t-τ)dτ
G(t)= e(t)g(0+)+∫tdg(t-τ)/dte(τ)dτ
2.2 变换域分析方法
基于时域的不可操作性和计算量大的特点，人们提出了变换域的方法。把时域函数变换为频域函数或S域函数，大大简化了系统分析，为系统应用提供了广阔的前景，从而提出了几个重要而且基础性的定理――抽样定理和调制解调原理，为通信理论奠定了基础。
(1) 频域分析(Frequency Domain Analysis)
傅里叶分析(Fourier Analysis)是把时域函数转换为频域函数，对于周期信号其三角函数形式为：
F(t)=a0+Σ［ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)］
其中:A0=∫Tf(t)dt/T，An=2∫Tf(t)cos(nωt)dt/T，Bn=2∫Tf(t)sin(nωt)dt/T。
傅里叶级数(Fourier Progression)的指数形式：
f(t)=Σf(nω0)e-jnωt
fn=f(nω)=∫Tf(t)e-jnωtdt
傅里叶变换：
非周期信号的傅里叶变换：
f(ω)=∫f(t)e-jωtdt
周期信号的傅里叶变换：
f(ω)=2πΣfnδ(ω-nω0)
fn=∫f(t)e-jnω0tdt
把信号转换成频率后，可以对LTI系统的频率进行分析。
频域卷积定理：
若给定的时间函数是f1(t),f2(t),则可以把它转换(利用傅里叶变换)为频域函数F1(ω),F2(ω),
ζ［ f1(t)*f2(t)］=F1(ω)F2(ω)
其中：ζ代表傅里叶变换。
ζ［ f1(t) f2(t)］=F1(ω)*F2(ω)/2π
利用傅里叶分析可以分析***13的频率特性，它很显然是一个低通滤波网络。
***13 RC低通滤波网络的频率响应
由傅里叶分析，提出了抽样定理(见***14)，他奠定了通信理论的基础。下面做一简单的论述。
抽样定理：一个频谱受限的信号f(t),如果频谱只占据-ωm~+ωm的范围，则f(t)可以等间隔的抽样值惟一的表示。最低抽样频率为2fm,fm=ωm/(2π)(时域抽样)。
***14 抽样定理
抽样在现代信息技术中起了很关键的作用，它的一个典型的应用就是MP3工作原理,如***15所示。
***15 MP3原理***
(2) S域分析
拉普拉斯变换(Laplace Transform)：
F(s)=∫tf(t)e-stdt=ζ［f(t)］
其中：ζ表示拉普拉斯变换。
时域与S域的关系,如***16所示。
***16 时域与S域关系***
(3) 卷积
若 ζ［f1(t)］=F1(s)ζ［f2(t)］= F2(s),则:
ζ［f1(t)* f2(t)］= F1(s) F2(s)
下面利用***16来讨论用S域分析的实例：
① 时域电路元件在S域的等价形式：
R(s)=R，L(s)=Sl，C(s)=1/sC
② r(t)=h(t)*e(t),R(s)=H(s)E(s),H(s)=R(s)/E(s)
以下是***16的S域解答：
H(s)= VC(s)/ E(s)=(1/Cs)/ (R+1/Cs) =1/(1+RCs) =(1/RC)/(s+1/RC)
显然，s=-1/RC为电路或系统的极点。
优点:求解的步骤得到简化;拉氏变换把微分或积分运算化为乘法或除法运算，即微分方程化为代数方程;
可以很好地分析系统的稳定性，零极点。
3 结 语
以上讨论了利用5种方法分析LTI系统。如果要从系统的角度去分析系统，不追求内部的细节，最好使用卷积分析方法；如果要分析系统的频率特性，可以使用傅里叶分析；如果要分析系统的稳定性和可靠性，可采用S域分析。
所以对于大多数连续的LTI系统都可以采用以上方法进行分析，但是他也有局限性：
对于时变系统，非线性系统分析，它无能为力;
只适合分析一维变量，对于多维变量，它无能为力；可采用状态变量分析方法;
就精确度来说，这种分析方法不是很高。
尽管连续LTI系统有很多缺点，但是通过对LTI系统的分析可以培养系统建模和求解能力，为以后分析其他系统作参考。
参考文献
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［8］张肃文.高频电子线路［M］.北京：高等教育出版社，2004.
作者简介 崔本亮 男，1962年出生，副教授。主要研究方向为应用电工技术、应用电子技术和通信技术。
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